Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. ⊕ Vn1 ) ⊕ (Vn1 +1 ⊕ . . . ⊕ Vn1 +n2 ) ⊕ . . . ⊕ Vnk , dim R = n.|{z}|{z}n1n2Из предыдущего утверждения следует, что EndR (R) = Mn1 (C) × . . . × Mnk (C). Теперь построим изоморфизм алгебр между R и EndR (R). Сопоставим каждому элементу алгебры r ∈ R эндоморфизм ϕr (x) := xr.Проверим, что это действительно эндоморфизм: ϕr (x1 + x2 ) = (x1 + x2 )r = x1 r + x2 r = ϕr (x1 ) + ϕr (x2 ), иϕr (λx) = (λx)r = λ(xr) = λϕr (x). Таким образом, получается отображение µ : R → EndR (R). Покажем, что онобиективно. Инъективность: если r 6= 0, то ϕr (1) = r ⇒ ϕr 6= 0. Сюръективность: возьмём любой эндоморфизмϕ ∈ EndR (R), положим r := ϕ(1). Тогда, пользуясь тем, что ϕ — эндоморфизм левых модулей и он перестановочен с умножением на элементы из R, получаем, что ϕ(x) = ϕ(x · 1) = xϕ(1) = xr = ϕr (x), т.
е. любомуэндоморфизму соответствует некоторый ϕr . Биективность доказана. Остается построить изоморфизм алгебр Rи EndR (R). Первым кандидатом на роль изоморфизма является само отображение µ, но беда в том, что еслиr1 , r2 ∈ R, тоϕr1 r2 (x) = x(r1 r2 ) = (xr1 )r2 = ϕr1 (x)r2 = ϕr2 (ϕr1 (x)) = (ϕr1 ◦ ϕr2 )(x).Перемножение происходит в обратном порядке: µ(r1 r2 ) = µ(r2 )µ(r1 ).
Значит, µ не является изоморфизмомалгебр. Теперь «подправим» наше отображение, вспомнив, что произведение транспонированных матриц есть34транспонированное произведение в обратном порядке. Пусть T — отображение транспонирования. Тогда (T ◦ µ)уже будет изоморфизмом алгебр, откуда и следует, что R ∼= Mn1 (C) ⊕ . . . ⊕ Mnk (C). Сформулируем следствия теоремы. R — полупростая алгебра над C. Имеем R ∼= Mn1 (C) × .
. . × Mnk (C).Тогда:Следствие 3.6. Если V — простой модуль над R, то он будет модулем над одним из сомножителейMni (C) для некоторого i. Все простые модули над Mn (C) изоморфны минимальному левому идеалу, состоящему из матриц, у которых все столбцы, кроме одного, нулевые. Таким образом, если есть k блоков, то естьk попарно неизоморфных модулей V над блоками, и dimC V = ni , где ni — размер блока.Следствие 3.7. Размерность полупростой алгебры над C равна сумме квадратов размерностей простыхмодулей над ней, т. е.
dimC R = n21 + . . . + n2k = dim Mn1 (C) + . . . + dim Mnk (C).Следствие 3.8. Имеем Z(R) = Z(Mn1 (C)) × . . . × Z(Mnk (C)). Центр образован скалярными матрицами⇒ Z(R) = Ck , и dimC Z(R) = k, где k – число блоков. Следовательно, число неизоморфных простых модулейнад полупростой комплексной алгеброй равно размерности её центра.Следствие 3.9.
Если полупростая алгебра над C коммутативна, то все простые модули над ней одномерны. Верно также и обратное утверждение. Пусть задана совокупность коммутирующих линейных операторов {Ai } на комплексном конечномерномвекторном пространстве. Докажем, что у них есть общий собственный вектор, т. е. общее одномерное инвариантное подпространство.
Проведём индукцию по n := dim V . Если n = 1, доказывать нечего. Пусть всё доказанодля размерности меньше n. Если все операторы скалярные, то всё ясно. Пусть есть какой-то нескалярный оператор, для определённости A1 , и λ — его собственное значение. Рассмотрим его собственное подпространствоVλ = Ker(A − λE). Очевидно, оно ненулевое и не совпадает со всем пространством.
Покажем, что оно инварикомм.Ai (A1 (x)) = Ai (λx) = λAi (x), т. е. λ будетантно относительно всех Ai . Пусть x ∈ Vλ . Тогда A1 (Ai (x))собственным значением для всех Ai . Имеем dim Vλ < n ⇒ можно применить предположение индукции. Значит,все простые модули одномерны. 4. Линейные представления групп4.1.
Основные понятия4.1.1. Понятие линейного представленияОпределение. Пусть G — группа, V — конечномерное векторное пространство над полем K. Линейнымпредставлением группы G называется гомоморфизм ρ : G → GL(V ).Линейное представление является частным случаем действия группы на векторном пространстве V . Однако каждому элементу группы в данном случае сопоставляется не произвольное биективное отображение V всебя, а линейный оператор. Произведению элементов соответствует композиция операторов: g1 g2 7→ ρ(g1 g2 ) =ρ(g1 )ρ(g2 ).
Единица переходит в тождественный оператор E.Пусть в пространстве V выбран какой-то базис: V = he1 , . . . , en i. Тогда можно перейти к матричному представлению ρ : G → GLn (K).Определение. Размерностью представления называется размерность пространства V .Определение. Пусть есть 2 представления ρ1 : G → GL(V ) и ρ2 : G → GL(W ). Гомоморфизмом линейныхпредставлений называется линейное отображение векторных пространств ϕ : V → W , при котором ϕ ρ1 (g)(x) == ρ2 (g) ϕ(x) для ∀ g ∈ G, т. е. следующая диаграмма коммутативна:ϕ ✲VWρ1ρ2❄Vϕ❄✲WОпределение. Гомоморфизм ϕ линейных представлений ρ1 и ρ2 называется изоморфизмом в том случае,когда он является изоморфизмом векторных пространств. В этом случае говорят, что представления эквивалентны.Выясним, что означает эквивалентность представлений ρ1 и ρ2 в терминах матриц.
Пусть V = he1 , . . . , en i, иW = hf1 , . . . , fn i. Пусть C — матрица изоморфизма ϕ, а ρ1 (g) и ρ2 (g) — матрицы операторов в соответствующихбазисах. Тогда, по определению изоморфизма,ρ2 (g)C = Cρ1 (g) ⇔ ρ2 (g) = Cρ1 (g)C −1 ∀ g ∈ G.35Таким образом, матрицы всех операторов, соответствующих элементам группы, должны быть подобны, и (чтосамое важное) сопрягающая матрица одна для всех элементов группы.4.1.2. Приводимость представленийОпределение. Линейное представление называется приводимым, если существует нетривиальное подпространство W ⊂ V , являющееся инвариантным относительно ρ(g) для всех g ∈ G.
В этом случае индуцируетсяпредставление на пространстве W . Если такого подпространства нет, представление неприводимо.На матричном языке приводимость означает, что если выбрать базис V = he1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en i, такой, чтоW = he1 , . . . , ek i, то у всех операторов ρ(g) будет общий угол нулей.Замечание. Иногда для краткости пишут ρ(g)(x) = gx.Если G = {g1 , . .
. , gm }, то очевидно, что представление неприводимо ⇔ hg1 x, . . . , gm xiK = V .Определение. Линейное представление ρ называется вполне приводимым (полупростым), если оно разлагается в прямую сумму неприводимых, то есть V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vs , где Vi — инвариантные подпространстваотносительно ρ(g) для всех g ∈ G. Обозначение: ρ = ρ1 ⊕ . .
. ⊕ ρs .Вполне приводимость означает, что матрицы ρ(g) в подходящем базисе будут блочно-диагональными, и вкаждом блоке стоит матрица ограничения представления ρi := ρ на подпространство Vi .Vi4.1.3. Примеры линейных представленийПример 1.1. Рассмотрим линейное представление бесконечной циклической группы ρ : hai∞ → GL(V ).Достаточно задать одну невырожденную матрицу ρ(a). Очевидно, два представления будут эквивалентными ⇔матрицы для порождающих элементов подобны, т. е.
обладают одинаковой жордановой формой.Пример 1.2. G = hain . В этом случае опять достаточно задать матрицу для порождающего элемента,такую, что ρ(a)n = E. Аннулирующим для оператора ρ(a) будет многочлен tn − 1, а значит, над полем Cматрица диагонализируема, и все жордановы клетки будут одномерными, так как у многочлена нет кратныхкорней.Замечание.
Над полем C все конечномерные представления будут вполне приводимыми.Пример 1.3. Пусть G — свободная группа с базисом x1 , . . . , xn . На порождающих элементах представлениеможно задавать произвольным образом. Представления эквивалентны, если ρ2 (xi ) = Cρ1 (xi )C −1 , i = 1, n.Рассмотрим более общий случай.
Пусть группа G порождается элементами a1 , . . . , an . Чтобы задать линейноепредставление, нужно определить ρ(a1 ), . . . , ρ(an ), и при этом должны выполняться определяющие соотношения,т. е. если aεi11 . . . aεiss = e, то тогда ρ(ai1 )ε1 . . .
ρ(ais )εs = E.4.1.4. Связь модулей с линейными представлениями группУбедимся в том, что линейное представление — частный случайnмодуля над алгеброй.o Пусть G = {g1 , . . . , gn },PK — поле. Рассмотрим групповую алгебру KG = hg1 , . . . , gn i =ag g | ag ∈ K , т. е. n-мерное векторноеg∈Gпространство над K, у которого базисные векторы формально занумерованы элементами группы. Рассмотриммодуль V над KG. Зададим умножение в модуле на элементы алгебры, т. е.
действие r ∈ KG на x ∈ V . Для этогозададим умножение на базисных векторах: для r = g ∈ G и x ∈ V определим линейный оператор ρ(g)(x) = gx.Наоборот, пусть задано представление ρ : G → GL(V ). Чтобы задать умножение r · x, достаточно задать егона базисных элементах: gx = ρ(g)(x). При этом произведение базисныхпереходит в произведениеP элементовдистр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
