Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 9
Текст из файла (страница 9)
f |g или f |h.2.3. Поля и их расширения2.3.1. Расширения. Алгебраические и трансцендентные элементыОпределение. Говорят, что поле L есть расширение поля K, если K ⊂ L.Если L — расширение K, то L является алгеброй над K.Определение. Размерность расширения L как алгебры над K называется степенью расширения и обозначается dimK L или (L : K).В частности, K ⊂ K[x] (f ).Теорема 2.10. Пусть K — поле, и f (x) ∈ K[x], f (x) 6= const. Тогда ∃ L ⊃ K, в котором f имеет корень. Пусть p(x) — неприводимый множитель f (x). Рассмотрим факторкольцо L := K[x] (p). В силу неприводимости p оно будет полем. Пусть x = x + (p) ∈ L.
Тогда p(x) = p(x) + (p) = 0, т. е. x — корень p(x). Определение. Дано расширение L поля K. Число α ∈ L называется алгебраическим элементом над K, еслисуществует ненулевой многочлен f ∈ K[x], такой, что f (α) = 0, и трансцендентным в противном случае.Можно рассмотреть наименьшее подполе в расширении L, содержащее K и корень α. Это будет поле рациональных функций.Определение. Многочлен f называется аннулирующим для числа α, если f (α) = 0.Теорема 2.11. Если расширение конечное, то любой элемент α в нём является алгебраическим. Пусть R — конечномерная алгебра с 1 и K ⊂ R.
Покажем, что для α есть аннулирующий многочлен.Пусть степень расширения равна n. Тогда рассмотрим элементы 1, α, α2 , . . . , αn . Они линейно зависимы, т. е.∃ λi ∈ K : λ0 + λ1 α + λ2 α2 + . . . + λn αn = 0. Значит, многочлен с коэффициентами λi и будет аннулирующим. Очевидно, что множество всех аннулирующих многочленов для корня α является идеалом.Определение. Минимальный многочлен корня α — его аннулирующий многочлен наименьшей степени.Утверждение 2.12. Пусть α — алгебраический элемент. Тогда его минимальный многочлен p неприводим. Пусть p = gh. Тогда p(α) = g(α)h(α) ⇒ g(α) = 0 или h(α) = 0 ⇒ deg g, deg h < deg p.
Противоречие. 2.3.2. Простое расширениеПусть L — расширение K, число α ∈ L — алгебраический элемент над K, и p — минимальный многочлендля α. Построим гомоморфизмϕ : K[x] → L. Положим ϕ(x) := α, ϕ(g(x)) = g(α). По теореме о гомоморфизмеимеем Im ϕ ∼= K[x] Kerϕ. Ядро ϕ будет множеством всех аннулирующих многочленов, а тогда Im ϕ ∼= K[x] (p).Но мы знаем, что K[x] (p) = {g(x) | deg g < deg p}.
Имеем x = x + (p) 7→ α ⇒ Im ϕ — множество многочленов отα степени меньше deg p. Это множество является полем и, кроме того, это наименьшее поле, содержащее K и α.Оно обозначается K(α) и называется простым расширением поля K. Итак, если p — минимальный многочлендля α, то K(α) ∼= K[x] (p).Утверждение 2.13. Пусть есть расширения L1 , L2 поля K, α1 ∈ L1 , α2 ∈ L2 и минимальные многочлены этих двух корней совпадают. Тогда K(α1 ) и K(α2 ) изоморфны как алгебры над K, т. е.
существуетизоморфизм ϕ : ϕ(α1 ) = α2 , при котором элементы основного поля отображаются тождественно. K(α1 ) и K(α2 ) изоморфны одной и той же факторалгебре. Изоморфизм: ϕ(g(α1 )) := g(α2 ). 23Пример 3.1. Пусть z ∈ C, z ∈/ R, p(x) ∈ R[x], p(z) = 0. Тогда R[x] (p) ∼= R(z) = C.2.3.3. Башни полейБудем рассматривать цепочки вложенных друг в друга полей — так называемые «башни полей».Теорема 2.14.
Пусть K ⊂ L ⊂ F . Тогда (F : K) = (L : K) · (F : L). Выберем базис L над K: {ω1 , . . . , ωm }, и базис F над L: {ξ1 , . . . , ξn }. Докажем, что всевозможные попарные произведения базисных векторов {ωi ξj } образуют базис F над K. Любой элемент выражается:u ∈ F, u =nXj=1Линейная независимость: пустьxj ξj , xj ∈ L,mn XPj=1 i=1|xj =mXi=1aij ωi , aij ∈ K ⇒ u =aij ωi ξj = 0 ⇒ ∀ j{z∈L}mPi=1n XmXaij ωi ξj .j=1 i=1aij ωi = 0 ⇒ aij = 0.
Значит, это базис. Следствие 2.3. Пусть α1 , . . . , αs ∈ L — алгебраические элементы над K. Рассмотрим наименьшее поле,содержащее K и все эти элементы: K(α1 , . . . , αs ) = K(α1 )(α2 ) . . . (αs ). По предыдущей теореме полученноепростое расширение имеет конечную степень над K.Следствие 2.4. Множество всех алгебраических над K элементов в данном расширении является полем. Пусть α1 и α2 алгебраичны над K. Тогда K(α1 , α2 ) — конечное расширение, а по теореме 2.11 любойэлемент в нём (в частности, сумма и произведение любых двух элементов) будет алгебраическим. 2.3.4.
Поле разложения многочленаОпределение. Полем разложения многочлена f над K называется такое расширение L ⊃ K, что в L[x]многочлен f разлагается на линейные множители, и L — наименьшее поле, содержащее все корни f .Теорема 2.15. Для любого многочлена f над полем K существует поле разложения. Докажем индукцией по степени f .
Если deg f = 1, то полем разложения будет поле K. Пусть deg f = nи для многочленов меньшей степени всё доказано. По теореме 2.10 существует поле K1 ⊃ K, в котором f имееткорень (обозначим его α1 ). Тогда над K1 многочлен f имеет разложение f (x) = (x − α1 )g, где g ∈ K1 [x]. Имеемdeg g = n − 1, и можно применить предположение индукции к g и полю K1 . Пусть K2 — поле разложения дляg. Тогда в нём он разлагается на линейные множители. Значит, и f разлагается в K2 на линейные множители:nQf (x) =(x − αi ). Тогда L := K(α1 , . .
. , αn ) будет искомым полем разложения. i=12.3.5. Конечные поляПусть F — конечное поле характеристики p. Очевидно, что F содержит Fp — поле вычетов по модулю p и Fявляется конечным расширениемP для Fp . Пусть (F : Fp ) = n. Выберем базис {w1 , . . . , wn }, тогда любой элементx ∈ F записывается в виде x = ai wi , ai ∈ Fp . Следовательно, |F | = pn .nnПоскольку |F ∗ | = pn − 1, то для ∀ a ∈ F ∗ по теореме Лагранжа имеем ap −1 = 1, то есть ap = a.
Такимnобразом, любой элемент поля F является корнем многочлена f (x) := xp − x ∈ Fp [x], а значит, он разлагаетсянад F на линейные множители. Следовательно, F — поле разложения f (x).Теорема 2.16. Для любого простого числа p и любого числа n ∈ N существует поле из pn элементов.n Рассмотрим Fp ⊃ L – поле разложения многочлена f (x) := xp − x над Fp . Заметим, что f ′ = −1,а значит, многочлен f взаимно прост со своей производной и потому не имеет кратных корней. Рассмотриммножество корней этого многочлена {α1 , . . .
, αpn }. Докажем, что они образуют искомое поле. В самом деле,nnnпусть x, y — корни. Тогда (x + y)p = xp + y p = x + y, т. е. число x + y также является корнем. Аналогичноnnn(xy)p = xp y p = xy. Очевидно, что если x — корень, то и x−1 — тоже корень. Лемма 2.17. Над полем Fp существуют неприводимые многочлены любой степени. Рассмотрим поле F из pn элементов (мы уже знаем, что оно есть), и его мультипликативную группу∗F . Пусть F ∗ = hαi.
Рассмотрим отображение ϕ : Fp [x] → F по правилу ϕ : f 7→ f (α). Поскольку ϕ(0) = 0,а ϕ(xk ) = αk , получаем, что ϕ – эпиморфизм. По теореме о гомоморфизмах колец имеем Fp [x] Ker ϕ ∼= F.Заметим, что Ker ϕ – главный идеал, порождённыйнекоторымнеприводимыммногочленомd.Действительно,если бы он был приводим, то факторкольцо Fp [x] Ker ϕ не было бы полем. Его степень будет в точности n.
Теорема 2.18. Конечные поля, содержащие одинаковое число элементов, изоморфны между собой. Пусть |F1 | = |F2 | = pn . Докажем, что F1 ∼= F2 . Пусть F1 n= Fp (α), p(x) — минимальный многочлендля α степени n. Все элементы F1 — корни многочлена f (x) := xp − x, то есть он является аннулирующим24для α. Пусть f (x) разлагается над Fp так: f (x) = p(x)g(x).
С другой стороны, в поле F2 многочлен f (x) такжеразлагается на линейные множители. Пусть β — некоторый корень f (x) в поле F2 . Тогда F2 = Fp (β). Такимобразом, поля F1 и F2 содержат корни одного и того же многочлена, а значит, изоморфны. Задача 2.1. Доказать, что n ϕ(pn − 1), где ϕ — функция Эйлера, а p — простое число.2.4. Алгебры с делением2.4.1. Определения, примеры. Алгебры с делением над C и RОпределение.
Алгеброй с делением над полем K называется ассоциативная алгебра с единицей, в которой каждый ненулевой элемент обратим по умножению. Другими словами, алгебра с делением — это тело,являющееся алгеброй.Задача 2.2. Доказать, что центр простого кольца с единицей является полем.Утверждение 2.19. Пусть R — алгебра с делением над полем K. Тогда для любого элемента α ∈ R егоминимальный многочлен неприводим над K. От противного: пусть p(x) = g(x)h(x). Тогда p(α) = g(α)h(α) = 0, но так как делителей нуля нет, толибо g(α) = 0, либо h(α) = 0, т. е.
есть аннулирующий многочлен меньшей степени. Противоречие. Рассмотрим минимальную алгебру, содержащую поле K и элемент α, p(x) — минимальный многочлен дляα. Эта алгебра содержит все многочлены от α (линейные комбинации всех степеней α). Совокупность такихвыражений будет подалгеброй (сумма и произведение элементов данного множества принадлежитэтому жемножеству — это следует из пункта 3◦ определения алгебры). {f (α)} = K(α), K(α) ∼= K[x] (p). Но так как p(x)неприводим, то K(α) — поле.Далее слово «алгебра» означает «алгебра с делением».Теорема 2.20. Всякая конечномерная алгебра над C совпадает с C. Поле C алгебраически замкнуто, значит, неприводимыми являются только многочлены первой степени,а значит, минимальный многочлен любого элемента имеет вид p(x) = x − z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
