Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Значит, все xi различны. Но ониi=1все находятся в ограниченной области, а значит есть предельная точка и противоречие с дискретностью G. 1.6. Нормальные ряды группы. Теорема Жордана – ГёльдераОпределение. Нормальным рядом называется последовательность подгруппG = H0 ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ . . . ⊲ Hk = {e} .(14)Число k называется длиной нормального ряда, а факторгруппы Hk−1 /Hk — факторами нормального ряда.Определение. Пусть дан нормальный ряд G = H0 ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ . . . ⊲ Hk = {e}.
Другой нормальный ряд G == F0 ⊲ F1 ⊲ F2 ⊲ . . . ⊲ Fm = {e} называется уплотнением первого, если все подгруппы первого ряда встречаютсяво втором.В ряду любой член может повторяться несколько раз. Если этого нет, то говорят о ряде без повторений.Определение. Композиционный ряд — нормальный ряд, который нельзя уплотнить (без повторений).Определение. Группа называется простой, если в ней нет нетривиальных нормальных подгрупп.Очевидно, что ряд композиционный ⇔ все его факторы простые.Теорема 1.28 (Жордана – Гёльдера). Пусть G обладает композиционным рядом длины k. Тогда всенормальные ряды в G имеют длину не больше k, а все композиционные ряды имеют одинаковую длину и ихфакторы изоморфны после некоторой перестановки.
Пусть в G есть соответственно композиционный и нормальный рядыG = H0 ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ . . . ⊲ Hk = {e} ,G = K0 ⊲ K1 ⊲ K2 ⊲ . . . ⊲ Km = {e} .Докажем, что m 6 k. Проведём индукцию по числу k. Если k = 1, то группа простая и всё очевидно. Пустьутверждение теоремы верно для рядов длины меньше k, докажем для рядов длины k.1◦ Первый случай: K1 ⊆ H1 . Тогда H1 ⊲ K1 ⊲ K2 ⊲ . . . Km — нормальный ряд в H1 . Но по условию в H1 естькомпозиционный ряд длины k − 1, а тогда по предположению индукции все ряды в H1 имеют длину 6 k − 1.Значит, m − 1 6 k − 1 ⇒ m 6 k.2◦ Второй случай: K1 * H1 .
Но тогда и H1 * K1 , поскольку в противном случае по теореме о соответствииK1 /H1 ⊳ G/H1 , а этого не бывает, так как все факторы простые. Обозначим L := (H1 ∩ K1 ). Итак, имеемL ⊳ H1 , L 6= H1 . Рассмотрим H1 K1 . Имеем H1 & H1 K1 ⊳ G ⇒ H1 K1 = G. По второй теореме об изоморфизмеG/H1 = H1 K1 /H1 ∼= K1 /L и G/K1 = H1 K1 /K1 ∼= H1 /L.
В H1 есть композиционный ряд длины 6 k − 1, а вL есть композиционный ряд длины 6 k − 2, так как L ⊳ H1 . С другой стороны, L ⊳ K1 , L 6= K1 , и K1 /L —14простая группа. Значит, и в K1 есть композиционный ряд длины k − 1. Значит, можно применить индуктивноепредположение, и во втором случае также получаем m 6 k. Отсюда следует, что все композиционные ряды в Gимеют одинаковую длину.Теперь докажем второе утверждение об изоморфности факторов. Пусть в G есть два композиционных рядаG = H0 ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ .
. . ⊲ Hk = {e} ,G = K0 ⊲ K1 ⊲ K2 ⊲ . . . ⊲ Kk = {e} .Проведём индукцию по длине ряда. Рассмотрим два случая. Первый случай: H1 = K1 . Тогда применим предположение индукции к H1 и сведём утверждение к меньшему числу факторов. Второй случай: H1 6= K1 . Тогдарассмотрим подгруппу L2 := (H1 ∩ K1 ). Имеем L2 ⊳ H1 ⊳ G и L2 ⊳ K1 ⊳ G. Тогда имеем ряды(1) G ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ H3 ⊲ . . .(2) G ⊲ H1 ⊲ L2 ⊲ L3 ⊲ L4 ⊲ .
. .(3) G ⊲ K1 ⊲ L2 ⊲ L3 ⊲ L4 ⊲ . . .(4) G ⊲ K1 ⊲ K2 ⊲ K3 ⊲ . . .Здесь L3 ⊲ L4 ⊲ . . . — некоторый композиционный ряд в L2 . Посмотрим на первые два ряда. В H1 имеем1 H2два композиционных ряда длины k − 1, а значит по индуктивному предположению их факторы HH2 , H3 , . . . иH1 L2L2 , L3 , . . . изоморфны после некоторой перестановки. То же самое можно сказать про два последних ряда:K1 L 2H1 K1 ∼ K1H1 K1 ∼ H1K1 K2GGK2 , K3 , . . . и L2 , L3 , . . . Остаётся заметить, что G = H1 K1 , тогда H1 = H1 = L2 , и K1 = K1 = L2 , то естьпервые и вторые факторы во втором и третьем рядах изоморфны «крест-накрест».
Теорема доказана. Пример 6.1. Композиционные ряды векторных пространств есть цепочки вложенных подпространств. Всеряды одинаковой длины ⇒ число элементов в базисе одинаково.1.7. Коммутант. Разрешимые группы. Простые группы1.7.1. КоммутантОпределение. Группа называется разрешимой, если она обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.Попытаемся построить такой ряд. Нужно построить подгруппу N ⊳ G, такую, что G/N — абелева. Для этоговозьмём коммутаторы [a, b] всех элементов группы.Лемма 1.29.
Дана группа G и N ⊳ G. Факторгруппа G/N будет абелевой ⇔ [a, b] ∈ N ∀ a, b ∈ G. G/N — абелева ⇔ [aN, bN ] = eN = N ⇔ (aN )(bN )(a−1 N )(b−1 N ) = aba−1 b−1 N = N ⇔ [a, b] ∈ N . Свойства коммутатора: [a, b]−1 = [b, a]. Кроме того, сопряженный к коммутатору есть коммутатор сопряженных:g[a, b]g −1 = gaba−1 b−1 g −1 = gag −1 gbg −1 ga−1 g −1 gb−1 g −1 = [gag −1 , gbg −1 ].(15)Определение. Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами в группе G, называется коммутантом G иобозначается G′ . Коммутант иногда называют производной подгруппой.Очевидно, что коммутант есть наименьшая нормальная подгруппа в G, факторгруппа по которой абелева.Приведём некоторые другие свойства коммутанта.Лемма 1.30.
При гомоморфизме f : G → K имеем f (G′ ) ⊂ K ′ . Если f — эпиморфизм, то f (G′ ) = K ′ . Имеемf [a, b] = f (a)f (b)f (a)−1 f (b)−1 = f (a), f (b) .(16)Пусть f (a) = x, f (b) = y. По доказанному [x, y] ∈ K ′ . Если f сюръективен, то любой элемент K ′ есть образнекоторого коммутатора, значит, f (G′ ) = K ′ . ′По индукции определяются коммутанты высших порядков: G(i+1) := G(i) . По индукции очевидным образом доказывается предыдущее утверждение для коммутантов произвольного порядка.1.7.2. Разрешимость группПостроим ряд из коммутантов группы: G ⊲ G(1) ⊲ G(2) ⊲ . .
.Теорема 1.31. Группа G разрешима ⇔ ∃ l : G(l) = {e}, т. е. существует нормальный ряд из коммутантовгруппы. Пусть есть ряд с абелевыми факторами G ⊲ H1 ⊲ H2 ⊲ . . . Докажем по индукции, что G(i) ⊆ Hi ∀ i.База: G′ ⊆ H1 , так как G/H1 — абелева. Шаг индукции: пусть G(i−1) ⊆ Hi−1 . Так как Hi−1 /Hi — абелева, то′′Hi−1⊆ Hi . Тогда имеем G(i) ⊆ Hi−1⊆ Hi , что и требовалось доказать. Следствие 1.5.
Всякая подгруппа разрешимой группы разрешима. В самом деле, если G(l) = {e} и H ⊆ G, то H (l) ⊆ G(l) ⇒ H (l) = {e}. 15Утверждение 1.32. Пусть H ⊳ G, группы H и G/H разрешимы. Тогда G разрешима. В силу разрешимости ∃ n, m : (G/H)(n) = {e}, и H (m) = {e}. Рассмотрим гомоморфизм ϕ : G → G/H.По доказанному ϕ(G(n) ) ⊆ (G/H)(n) = {e}, т. е. G(n) ⊆ Ker ϕ = H. Значит, G(n+m) = {e}. 1.7.3. Примеры разрешимых группЛюбая абелева группа, очевидно, разрешима. Группа Dn разрешима, так как в ней есть нормальная подгруппа вращений R, а Dn /R ∼= Z2 — абелева. Группы S3 и A3 разрешимы, так как A3 абелева, а S3 ∼= D3 .Рассмотрим более сложный пример: невырожденные верхнетреугольные матрицы Tn (K) над полем K.Утверждение 1.33. Группа верхнетреугольных матриц Tn (K) разрешима.
Зададим гомоморфизм f : Tn (K) → (K∗ )n , где K∗ — мультипликативная группа поля K:a1∗ f.. 7−→ (a1 , . . . , an )..0anОчевидно, что Ker f = UTn (K) — группа верхних унитреугольных матриц. Im f есть абелева группа (множествовекторов-строк). Остаётся доказать разрешимость Ker f . Проведём индукцию по размерности n. База индукцииочевидна. Пусть утверждение верно для n − 1. Тогда построим гомоморфизм g : UTn (K) → UTn−1 (K), прикотором угловой минор размерности n − 1 отображается тождественно (грубо говоря, отрезаем от матрицыпоследнюю строку и последний столбец).
Сюръективность g очевидна, а Ker g состоит из матриц вида10b1.. .... 01 bn−1 0 ··· 01∼ Kn−1 , т. к. Ker g ∼Тогда Ker g == {(b1 , . . . , bn−1 )}. Произведение матриц при этом переходит в сумму строк,а образ есть абелева группа по сложению, и шаг индукции доказан. По предыдущему утверждению Tn (K)разрешима. Очевидно, что если в нормальном ряду есть хоть один неразрешимый фактор, то и вся группа неразрешима.1.7.4. Простые группыАбелева группа проста ⇔ она циклическая простого порядка.Лемма 1.34.
Группа An порождается тройными циклами. Любая чётная подстановка есть произведение чётного числа транспозиций. Любую пару транспозицийможно получить из тройных циклов: (ac)(bd) = (abc)(abd), а все тройные циклы у нас есть по условию. Лемма 1.35. Если нормальная подгруппа N ⊳ An содержит хотя бы один тройной цикл, то N = An . При n > 5 все тройные циклы сопряжены, а нормальная подгруппа есть объединение классов сопряженности, значит, она содержит все тройные циклы и тем самым по предыдущей лемме порождает An . Теорема 1.36. Группа An при n > 5 простая.
Пусть N ⊳ An и N 6= {e}. Докажем, что в N есть тройной цикл. Тогда утверждение теоремы будет следовать из лемм. Пусть σ = σ1 σ2 σ3 . . . σs ∈ N . Рассмотрим циклическую группу hσi. Она содержит циклическуюгруппу простого порядка, значит, можно считать, что σ имеет простой порядок p, и число p — минимальное.Тогда без ограничения общности можно считать, что первый цикл в σ имеет длину p, т.
е. σ1 = (1, . . . , p). Поскольку все сопряженные с σ элементы лежат в N , то у нас есть перестановка τ = σ1 σ2−1 σ3−1 . . . σs−1 . Тогдаστ = σ12 , т. е. тоже цикл длины p. Для p есть три возможности: p = 2, p = 3, p > 5. Если p = 3, то στ — тройнойцикл и всё доказано.Рассмотрим случай p > 5. Мы уже знаем, что в N есть все циклы длины p, тогда возьмём перестановкиπ1 := (1, 2, 3, 4, 5, .
. . , p) и π2 := (1, 3, 4, 2, 5, . . . , p). Легко видеть, что перестановка π1−1 π2 оставляет на местечисло p, а значит, в ней есть цикл длины меньше p. Противоречие.Теперь рассмотрим случай p = 2. Тогда σ имеет вид (12)(34)ρ, где ρ — произведение некоторых других транспозиций. Рассмотрим сопряжённую перестановку τ := (13)(24)ρ. Поскольку ρ2 = e, то имеем στ = (14)(23) ∈ N .Значит, в N имеются все пары транспозиций. Тогда рассмотрим перестановку π1 := (12)(34) и π2 := (12)(45).Имеем π1 π2 = (345), т. е. тройной цикл. Значит, N = An . Теорема 1.37. Группа SO3 (R) простая.16Из курса аналитической геометрии известно, что любая матрица A ∈ SO3 (R) подобна матрицеcos α − sin α 0A = sin α cos α 0 .001(17)Отсюда следует, что все матрицы в SO3 (R) сопряжены.
Пусть в SO3 (R) есть нетривиальная нормальная подгруппа N . Тогда в ней есть матрица (17) с некоторым фиксированным углом поворота α. Рассмотрим матрицу100B(ϕ) = 0 cos ϕ − sin ϕ0 sin ϕ cos ϕПоложим C(ϕ) := AB(ϕ)A−1 B −1 (ϕ) ∈ N — коммутатор матриц A и B. Докажем, что в N есть матрицы X соследом tr X ∈ [−1; 3]. Рассмотрим функцию f (ϕ) = tr C(ϕ). Имеем f (0) = 3, и f (ϕ) < 3 при ϕ 6= 0. Очевидно,.что f неперерывна. Тогда в N есть матрицы со сколь угодно малым углом поворота ψ, так как cos ψ = tr C−12Но тогда есть и матрица с углом поворота −ψ. Значит, для любой матрицы D с углом поворота ϕ можно найтитакую матрицу G ∈ N и подходящую степень k, что D = Gk .
Тем самым N = SO3 (R). 1.8. Действия групп на множествах1.8.1. Понятие действияОпределение. Действием группы G на множестве M называется гомоморфизм ρ : G → SM , где SM —группа биективных отображений M на себя. Обозначение: G : M. Ядро гомоморфизма ρ называется ядромдействия. Действие называется точным, если Ker ρ = {e}.Иначе говоря, каждому элементу g ∈ G ставится в соответствие некоторое преобразование ρ(g) множестваM. При этом произведению элементов соответствует композиция преобразований, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
