Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 2
Текст из файла (страница 2)
— за предоставление великолепного конспекта лекций; Трушина Д. и Малыхина Ю. — за ценные советы и доказательства некоторых теорем;Краснобаева И., Степанову М., Короткова В. — за обнаружение нескольких ошибок и опечаток.Отдельная благодарность выносится Юрию Кудряшову, которого смело можно назвать главным редактором данного издания.К сожалению, часть утверждений в этом курсе пришлось доказывать самостоятельно (лектору они казалисьсовсем очевидными), так что вероятность наличия ошибок не равна нулю, но (по идее) должна стремиться кнему справа. Часть доказательств было заменено их аналогами, взятыми из других источников (в основном этоучебник Э. Б.
Винберга), поскольку они казались более простыми для понимания. Данная версия сего опуса ужедалеко не первая, ибо благодаря стараниям вышеупомянутых лиц в тексте было исправлено огромное количествоошибок и опечаток. Остаётся надеяться, что он будет полезен будущим поколениям слушателей лекций авторакурса.В данной версии была сделано ещё несколько улучшений, на этот раз в основном с целью улучшить читаемость текста.Список литературы••••c МехМат, II курс, первый поток, 2003–2004 уч.г.Конспекты лекций по высшей алгебре.
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал-Пресс, 2002. — 544 с.Кострикин А. И. Введение в алгебру: Основные структуры. — 2-е изд. — М.: ФизМатЛит, 2001. — 272 с.B. L. van der Waerden. Алгебра. — М.: Наука, 1979. — 624 с.Последняя компиляция: 8 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.41. Теория групп1.1.
Основные понятия и теоремы1.1.1. Группы и подгруппыОпределение. Множество с ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом. Моноид, в котором каждый элемент обратим, называется группой.Определение. Подгруппой в группе G называется подмножество H ⊆ G, само являющееся группой.Пусть M1 , . .
. , Ms ⊆ G. Тогда M1 · . . . · Ms := {x1 x2 . . . xs | xi ∈ Mi }. Если Mi конечны, то |M1 · . . . · Ms | 66 |M1 | . . . |Ms |.Определение. Пусть заданы группы (G, ·) и (G′ , ∗). Гомоморфизмом групп G и G′ называется отображение f : G → G′ , такое, что f (a · b) = f (a) ∗ f (b) для ∀ a, b ∈ G. Эпиморфизмом называется сюръективныйгомоморфизм.При гомоморфизме единица переходит в единицу. В самом деле, f (e) = f (e2 ) = f (e)f (e), следовательно,f (e) — единица группы G′ .Определение. Циклической подгруппой элемента a ∈ G называется множество hai := {an } , n ∈ Z.Определение.
Порядком элемента a ∈ G называется число O(a) := min k > 0 : ak = e .1.1.2. Смежные классыОпределение. Левым смежным классом элемента g по подгруппе H группы G называется множествоgH = {gh | h ∈ H}. Аналогично определяется правый смежный класс.Рассмотрим отображение f : H → aH, где элемент a ∈ G — фиксирован, f : h 7→ ah.
Сюръективность fочевидна, докажем инъективность. Действительно, f (h1 ) = f (h2 ) ⇔ ah1 = ah2 ⇔ h1 = h2 . Отсюда следует, что|H| = |aH|.Утверждение 1.1. Смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. aH = bH ⇔ a−1 b ∈ H. Действительно, пусть aH ∩ bH 6= ∅, тогда найдутся h1 , h2 ∈ H такие, что ah1 = bh2 , откуда b = ah1 h−12 .−1Значит, bH = ah1 h−1∈ H. Теперь докажем второе утверждение. Пусть aH = bH. Тогда2 H = aH, т.
к. h1 h2−1ah1 = bh2 , откуда a−1 b = h1 h−1b ∈ H ⇒ a−1 b = h ⇒ bH = ahH = aH. 2 ∈ H. Обратно: aSЗначит, имеется разбиение группы G на левые смежные классы: G = gi H. Есть биекция между левыми иправыми смежными классами: левому классу aH сопоставим правый класс Ha−1 . Это делает корректнымОпределение. Индексом подгруппы H называется число (G : H) смежных классов по этой подгруппе.Из всего вышесказанного вытекаетТеорема 1.2 (Лагранжа). Порядок группы является произведением порядка подгруппы на её индекс.Определение. Подгруппа N ⊆ G называется нормальной в G, если ∀ g ∈ G имеем gN = N g. Обозначение:N ⊳ G.Утверждение 1.3. Следующие утверждения эквивалентны:1◦ Подгруппа N нормальна в G;2◦ ∀ g ∈ G имеем gN g −1 = N ;3◦ ∀ g ∈ G имеем gN g −1 ⊆ N ;4◦ Произведение множеств (g1 N )(g2 N ) — левый смежный класс g1 g2 N ;5◦ Cуществует гомоморфизм f : G → H, такой что N = Ker f .
Эквивалентность пунктов 1◦ и 2◦ очевидна. Докажем, что из 3◦ следует 2◦ . Рассмотрим отображениеϕg (x) = gxg −1 , x ∈ N . Нам дано, что Im ϕ ⊆ N . Проверим инъективность. Пусть ϕg (x1 ) = ϕg (x2 ). Тогдаgx1 g −1 = gx2 g −1 ⇒ x1 = x2 . Проверим пункт 4◦ . Если для ∀ g1 , g2 ∈ G имеем равенство множеств (g1 N )(g2 N ) == g1 g2 N , то для ∀ n1 , n2 ∈ N найдется элемент n3 ∈ N : g1 n1 g2 n2 = g1 g2 n3 . Сократим в равенстве на g1 ,−1домножим справа на g2−1 и слева на n−1= n−11 . Получим g2 n2 g21 n3 ∈ N , то есть при сопряжении с любымэлементом мы снова попадаем в N , а значит, верно свойство 3◦ . Наоборот: если N нормальна, то g1 N g2 N == g1 (N g2 )N = g1 (g2 N )N = g1 g2 N . Теперь докажем эквивалентность 1◦ и 5◦ .
Если N = Ker f , тоf (gN g −1 ) = f (g)f (N )f (g −1 ) = f (g)ef (g −1 ) = f (gg −1 ) = f (e) = e ∈ Ker f = N,(1)то есть выполняется 3◦ . Наоборот: возьмём отображение f , ставящее в соответствие элементу из G его смежныйкласс по подгруппе N . Очевидно, что это гомоморфизм, и его ядро есть N . Определение.
Отношение эквивалентности, сохраняющее операцию, называется конгруэнцией.51.1.3. ФакторгруппыВведём на множестве смежных классов по подгруппе H ⊳ G естественную операцию f H · gH = f gH. Такимобразом, мы получили факторгруппу G/H. (свойства группы легко проверить).Теорема 1.4 (О гомоморфизме). Пусть ϕ : G → H — эпиморфизм, Ker ϕ =: K, а π : G → G/K —канонический гомоморфизм.
Тогда G/K ∼= H. Более точно, ∃! изоморфизм π : G/K → H, такой, что ππ = ϕ. Определим π следующим образом: π(gK) := ϕ(g). Это корректно, т. к. оно не зависит от выбора представителя смежного класса: если g ′ = gk, то ϕ(g ′ ) = ϕ(g)ϕ(k) = ϕ(g). Операция сохраняется:π(g1 K · g2 K) = π(g1 g2 K) = ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 )ϕ(g2 ) = π(g1 K)π(g2 K).(2)Значит, π — гомоморфизм. Докажем его инъективность:π(g1 K) = π(g2 K) ⇔ ϕ(g1 ) = ϕ(g2 ) ⇔ e = ϕ(g1−1 )ϕ(g2 ) = ϕ(g1−1 g2 ) ⇔ g1−1 g2 ∈ K,(3)а тогда по замечанию g1 K = g2 K. Итак, π — изоморфизм.Из условия ππ = ϕ следует единственность π, таккак если ϕ(g) = g ′ , а π(g) = [g], то π([g]) = π π(g) = ϕ(g) = g ′ , т. е.
π определён однозначно. 1.1.4. Произведения подгруппУтверждение 1.5. Пусть K, L ⊂ G. Множество KL является подгруппой ⇔ KL = LK. Докажем, что если LK = KL, то LK — подгруппа. Проверим, что l1 k1 · l2 k2 ∈ LK. Поскольку нашимножества совпадают, то k1 l2 = l′ k ′ ∈ LK. Тогда l1 k1 l2 k2 = l1 l′ k ′ k2 ∈ LK. Обратный элемент: (lk)−1 = k −1 l−1 ∈KL = LK. Таким образом, LK — подгруппа.В обратнуюсторону: пусть H = KL — подгруппа. Мы имеемтождество H −1 = H.
Тогда (KL)−1 = (ab)−1 = b−1 a−1 = LK, что и требовалось. Sdef SЗамечание. Рассмотрим частный случай: L ⊳ G. Тогда KL =gL =Lg = LK.g∈Kg∈KТеорема 1.6 (О соответствии). Пусть есть эпиморфизм ϕ : G → F, Ker ϕ =: H. Рассмотрим все подгруппы в A ⊆ G, содержащие H (назовём их выделенными). Сопоставим каждой выделенной подгруппе A еёобраз U := ϕ(A). Тогда такое сопоставление есть биекция между выделенными подгруппами и всеми подгруппами в F .
При этом соответствующие друг другу группы одновременно нормальны и факторгруппы по нимизоморфны, т. е. A ⊳ G, H ⊆ A ⇔ U ⊳ F , и G/A ∼= F/U . Докажем биективность соответствия. Сюръективность: рассмотрим полный прообраз A любой подгруппы U ⊆ F . Единица группы F лежит в U , а полный прообраз единицы и есть ядро. Значит, Ker ϕ ⊆ A, т. е.A — выделенная подгруппа. Теперь докажем инъективность: пусть есть такие выделенные подгруппы A и B,что ϕ(A) = ϕ(B). Тогда ∀ a ∈ A найдется b ∈ B : ϕ(a) = ϕ(b). Следовательно, ϕ(b)−1 ϕ(a) = e ⇔ ϕ(b−1 a) = e, тоесть b−1 a ∈ Ker ϕ.
Но Ker ϕ ⊆ B ⇒ a = bh ∈ B, а значит A ⊆ B. Аналогично B ⊆ A. Значит, A = B и первоеутверждение доказано.Докажем одновременную нормальность соответствующих подгрупп. Пусть A — выделенная подгруппа и A ⊳G. Тогда ∀ g ∈ G имеем gAg −1 = A. Применим ϕ к этому равенству: ϕ(g)ϕ(A)ϕ(g −1 ) = ϕ(A). Так как Im ϕ = F ,то если g пробегает по всей G, то ϕ(g) пробегает по всей F . Тогда подгруппа ϕ(A) нормальна в F .
Остаетсяпоказать изоморфность соответствующих факторгрупп. Обозначим U := ϕ(A) и построим отображение π : G →→ F/U по правилу π(g) = ϕ(g)U . Оно является гомоморфизмом, так какπ(g1 g2 ) = ϕ(g1 g2 )U = ϕ(g1 )ϕ(g2 ) U = ϕ(g1 )U ϕ(g2 )U = π(g1 )π(g2 ).(4)Оно сюръективно, т. к. если g пробегает всю G, то ϕ(g)U пробегает всю факторгруппу F/U . Теперь найдём егоядро: g ∈ Ker π ⇔ π(g) = ϕ(g)U = U ⇔ ϕ(g) ∈ U = ϕ(A) ⇔ g ∈ A. Значит, A = Ker π, а тогда по теореме огомоморфизме G/A ∼= F/U , что и требовалось. ∼ G/K.Следствие 1.1.
Пусть L ⊳ K ⊳ G и L, K ⊳ G. Тогда K/L ⊳ G/L и G/L =K/L Рассмотрим эпиморфизм ϕ : G → G/L и применим к нему утверждение теоремы. Очевидно, что Ker ϕ =G/L ∼= L. Имеем ϕ(K) = K/L, а значит, K/L= G/K. Теорема 1.7 (Об изоморфизме). Пусть K ⊳ G, H ⊆ G, HK — подгруппа в G. Тогда H ∩ K ⊳ H иHK/K ∼= H/(H ∩ K).
Если K ⊳ G, то и подавно K ⊳ HK, значит, можно рассмотреть факторгруппу HK/K. Рассмотримπ0канонический эпиморфизм π : G → G/K. Через π0 обозначим ограничение π на H. Тогда h 7−→hK. Теперьрассмотрим факторгруппу HK/K. Она состоит из смежных классов вида hkK, т. е. из множеств hK. Значит,Im π0 = HK/K. Тогда Ker π0 состоит из тех h ∈ H, для которых π0 (h) = eK = K.
Но hK = K ⇔ h ∈ K,следовательно, имеем h ∈ H ∩ K, т. е. Ker π0 = H ∩ K. По теореме о гомоморфизме HK/K ∼= H/(H ∩ K). 61.2. Автоморфизмы и классы сопряжённости1.2.1. Преобразования. Автоморфизмы. Примеры.SM — группа биективных отображений множества M в себя. Рассмотрим группу движений плоскости, сохраняющих правильный n-угольник.
В ней n вращений на угол 2πkn и n осевых симметрий. Эта группа называется группой диэдра и обозначается Dn . Очевидно, |Dn | = 2n. Обозначим поворот на угол 2πn через a иотражение через b, тогда любое преобразование имеет вид ak b. Композиция отражений есть поворот, значит,b′ b = ak ⇒ b′ = ak b.Определение. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом.Все автоморфизмы группы G образуют группу, обозначаемую Aut G.Утверждение 1.8. Aut hai∞ = id, a 7→ a−1 .k Пусть a — порождающий элемент, ϕ(a) 6= a, a−1ϕ(a) = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
