Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

, λnоператора ρ(g) — комплексные корни из 1 степени n. Поскольку ρ(g −1 ) = ρ(g)−1 , и λ−1= λi для всех i, а следiоператора есть сумма собственных значений, то χ(g −1 ) = χ(g).4◦ χρ1 ⊕ρ2 (g) = χρ1 (g) + χρ2 (g). Это очевидно, поскольку матрица прямой суммы представлений блочнодиагональная, и след такой матрицы равен сумме следовблоков.PPРассмотрим групповую алгебру CG. Пусть r =ag g ∈ CG. Тогда ρ(r) =ag ρ(g) и можно рассмотретьg∈Gg∈GPхарактер представления на всей групповой алгебре: χρ (r) =ag χρ (g). Он будет линейной функцией на CG.g∈G4.4.2.

Основная теорема о характерахРассмотрим пространство X всех комплекснозначных функций на группе G, постоянных на классах сопряжённых элементов. Пусть этих классов s штук и |G| = n. Имеем dimC X = s. Введём на X эрмитово скалярноепроизведение: для f1 , f2 : G → C положим(f1 , f2 ) :=1 Xf1 (g)f2 (g).n(5)g∈GТеорема 4.6. Пусть ρ1 , . . . , ρs — неприводимые представления группы G. Тогда характеры χi := χρi образуют ортонормированный базис в X .

Разложим CG в прямое произведение: CG = Mn1 (C) × . . .× Mns (C). Выберем нумерацию блоков так, чтоρi — представление на минимальном левом идеале в Mni (C). PТогда ρi =P0 на Mnj при i 6= j. Рассмотрим регулярное представление Λ : G → GL(CG). Напомним, что Λ(h)(ag g) =ag hg. Найдём характер регулярногоg∈Gg∈Gпредставления χr .

На базисных элементах имеем Λ(h)(g) = hg. Если h = e, то так как матрица элемента e естьединичная матрица размера n × n, получаем, что χr (h) = n. Если же h 6= e, то hg 6= g (происходит перестановкабазисных векторов), и на диагонали будут нули, т. е. χr (h) =P0.Пусть e = e1 ⊕ . . . ⊕ es , где ei — единица Mni (C), и ei =ag g. Найдём коэффициенты ag . Умножив слеваg∈Gна g −1 , преобразуем равенство к видуg −1 ei = ag +Xah g −1 h.(6)h6=gОтсюда получаем χr (g −1 ei ) = nag + 0 ⇒ ag =1−1ei ).n χr (gsag =Но так как χr =1Xnj χj (g −1 ei ).n j=141sPni χi , тоi=1(7)Поскольку g −1 ei ∈ Mni (C), то останется только одно слагаемое, т.

е. ag =χi (g −1 ) = χi (g −1 e) = χisXj=1ni−1ei ).n χi (gg −1 ej = χi (g −1 ei ),так как все слагаемые, кроме i-того, равны 0. Окончательно получаем ag =ei =Имеемni−1),n χi (g(8)а потомуni Xχi (g −1 )g.n(9)g∈GПрименим к последнему равенству характер χj . Если i = j, тоχi (ei ) = ni =ni Xχi (g −1 )χi (g).n(10)g∈GПоскольку ρi (ei ) — единичная матрица со следом ni , то1nPg∈Gχi (g)χi (g) = 1, то есть (χi , χi ) = 1.

Если же i 6= j,то очевидно, что (χi , χj ) = 0, что и требовалось доказать. Следствие 4.2. Любое представление определяется своим характером.ssPP Пусть ρ =ki ρi . Тогда χρ =ki χi . Имеем ki = (χi , χρ ). Значит, ki однозначно определяются. i=1i=1Следствие 4.3. Представление неприводимо ⇔ скалярный квадрат его характера равен 1.sP Очевидно: (χρ , χρ ) =ki2 = 1. Значит, все ki , кроме одного, равны 0, что и даёт неприводимость. i=142.

Характеристики

Список файлов лекций