Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Pag ρ(g)x.операторов, поэтому аксиомы модуля выполняются автоматически: ( ag g)xТаким образом, мы видим, что рассмотрение линейных представлений равносильно рассмотрению модулей.В частности, практически одинаковым оказывается понятие гомоморфизма, приводимости, и т. д.4.2. Основные теоремы о линейных представлениях4.2.1. Лемма Шура для линейных представлений.
Теорема МашкеПереформулируем лемму Шура для линейных представлений.Лемма 4.1. Пусть V, W — неприводимые линейные представления группы G над полем C. Тогда любойгомоморфизм ϕ : V → W либо изоморфизм, либо нулевой. Гомоморфизм неприводимого комплексного представления в себя является скалярным (Матрица, коммутирующая со всеми операторами, может быть толькоскалярной).Теорема 4.2 (Машке).
Пусть G — конечная группа порядка n, K — поле и char K не является делителемпорядка группы (в частности, char K = 0). Тогда групповая алгебра KG полупроста.36 Покажем, что любой конечномерный модуль V над KG обладает свойством отщепляемости, т. е. если существует инвариантное подпространство L ⊂ V , то существует и дополнительное инвариантное подпространствоL′ такое, что V = L ⊕ L′ .
Это равносильно тому, что существует гомоморфизм модулей π : V → L, являющийсяпроекцией на L, т. е. π(x) = x, если x ∈ L. Если мы найдём такой гомоморфизм, то положим L′ := Ker π иутверждение будет доказано. В самом деле, покажем, что V = Im π ⊕ Ker π. Проектор — это такой оператор π,что π 2 (x) = π(x). Запишем тождество x = π(x)+x−π(x). Поскольку π(x−π(x)) = π(x)−π 2 (x) = π(x)−π(x) = 0,то x − π(x) ∈ Ker π. Таким образом, вектор разлагается в сумму π(x) ∈ Im π и x − π(x) ∈ Ker π. Пересечениеядра с образом нулевое, поэтому сумма прямая.Построим проекцию на L, являющуюся гомоморфизмом модулей. Пусть πe : V → L — произвольнаяP проекцияна L, при которой элементы из L отображаются тождественно.
Построим отображение π(x) := n1geπ (g −1 x).g∈GКоэффициент n1 имеет смысл, так как char K ∤ n и в поле K число n · 1 не равно 0 и, стало быть, обратимо.Покажем, что π является гомоморфизмом модулей, а именно, π(hx) = hπ(x). В самом деле,π(hx) =1 X1 Xgeπ (g −1 hx) =h(h−1 g)eπ (g −1 h)xnng∈Gg∈Gдистр.h·1 X −1(h g)eπ (h−1 g)−1 x .n(1)g∈GЕсли g при суммировании пробегает всю группу, то и h−1 g также пробегает всю группу. Значит, (1) равноhπ(x). Теперь проверим, что это проекция на L. Если x ∈ L, то и g −1 x ∈ L, так как L инвариантное подпространство.
Но тогда и πe(g −1 x) ∈ L, а значит, и geπ (g −1 x) ∈ L. Кроме того,π(x) =1 X −11X1 Xgπe(g −1 x) =gg x =x = x.| {z } nnn | {z }g∈Gg∈G−1gxnx4.2.2. Ортогональные и унитарные представленияПусть V — векторное пространство над полем R или C. Введём скалярное произведение (евклидово илиэрмитово).Определение. Представление называется ортогональным (соответственно, для C – унитарным), если всеоператоры ρ(g) ортогональны (унитарны).Пользуясь этим понятием, можно легко доказать теорему Машке для полей R и C. Рассмотрим случай K = C.Покажем, что можно ввести такое скалярное произведение, относительно которого линейное представление буnPдет унитарным.
Сначала введём обычное эрмитово произведение (x, y) =xi yi . Построим новое скалярноеi=1Pпроизведение hx, yi := n1(gx, gy). Ясно, что это также невырожденная эрмитова форма. Тогда любое предg∈Gставление будет унитарным, поскольку если h ∈ G, тоhhx, hyi =1X1(ghx, ghy) = n hx, yi = hx, yinn(2)(здесь gh также пробегает всю G).Теперь доказательство теоремы Машке тривиально: если есть инвариантное подпространство относительноортогонального (унитарного) оператора, то ортогональное дополнение также инвариантно, а этот факт былдоказан в курсе линейной алгебры.Задача 4.1. Доказать обратную теорему Машке: если групповая алгебра полупроста, то char K ∤ |G|. Идеярешения: от противного, пусть char K делит порядокгруппы.Нужно рассмотреть алгебру KG как модульPнад собой и доказать, что подпространство L :=g не отщепляется.g∈G4.2.3.
Свойства линейных представлений. Регулярное представлениеДано представление ρ : G → GL(V ), где V — векторное пространство над C. Перечислим его свойства.Утверждение 4.3. Любое комплексное представление вполне приводимо (уже доказывалось).Определение. Регулярным Pпредставлениемгруппы G называется представление Λ на групповой алгебреPKG, заданное по правилу Λ(h)(ag g) =ag hg.g∈Gg∈GРазложим групповую алгебру (а вместе с ней и регулярное представление) на неприводимые и сгруппируемизоморфные слагаемые в блоки:37KG = (V1 ⊕ . . . ⊕ Vn1 ) ⊕ (Vn1 +1 ⊕ .
. . ⊕ Vn1 +n2 ) ⊕ . . . ⊕ (Vn1 +...+ns−1 ⊕ . . . ⊕ Vn1 +...+ns ).{z}|{z}||{z}n1n2nsУтверждение 4.4. Любое неприводимое представление входит в регулярное представление.1 Пусть Λ : G → GL(KG) — регулярное представление группы G, и ρ : G → GL(V ) — произвольное неприводимое представление. Фиксируем вектор x ∈ V . Рассмотрим линейное отображение ϕx : KG → V , заданное поPϕx Pправилуag g 7−→ag ρ(g)x. Покажем, что ϕx — гомоморфизм линейных представлений. Имеемg∈Gg∈Gϕx Λ(h)(Xg∈GXXX def Xag g) = ϕxag hg =ag ρ(hg)x = ρ(h)ag ρ(g)x = ρ(h) · ϕxag g .g∈Gg∈Gg∈Gg∈GЗаметим также, что ϕx (e) = ρ(e)(x) = Ex = x. Рассмотрим произвольный гомоморфизм представленийϕ : Λ → ρ.
Тогда найдётся x ∈ V , для которого ϕ = ϕx . В самом деле, положим x := ϕ(e). Тогда для базисныхэлементов имеем ϕ(g) = ϕ(g · e) = ϕ(Λ(g)e) = ρ(g)ϕ(e) = ρ(g)x = ϕx (g), т. е. никаких других гомоморфизмов, кроме ϕx , тут быть не может. Далее, применяя первое утверждение леммы Шура, получаем, что всякоенеприводимое представление изоморфно подпредставлению регулярного представления.
Следствие 4.1. Кратность вхождения неприводимого представления в регулярное представление равнаsPего размерности:n2i = dim KG = |G|.i=1Утверждение 4.5. Число неприводимых комплексных представлений равно размерности центра групповой алгебры и равно числу классов сопряжённости группы. Очевидно,когда он коммутируетс базисом,P что элемент лежит в центре алгебры тогда и только тогда,−1PPт. е. если x =ag g, то x ∈ Z(CG) ⇔ hx = xh ∀ h ∈ G.
А это значит, что hxh = x ⇔ag hgh−1 =ag g.g∈Gg∈Gg∈GТаким образом, у вектора должны быть одинаковые координаты при сопряжённых базисных элементах. Поэтому можно сгруппировать сопряжённые элементы из каждого класса и вынести их за скобки. Следовательно,каждый базисный вектор центра — это сумма элементов в некотором классе сопряжённости. По следствию 3.8основной теоремы число неизоморфных неприводимых модулей (а вместе с тем и число неприводимых представлений) равно размерности центра алгебры. 4.3. Линейные комплексные представления различных классов групп4.3.1.
Представления абелевых группЗдесь и далее предполагаем, что K = C. Всякое неприводимое комплексное представление абелевой группыбудет одномерным, т. е. χ : G → GL1 (C) = C∗ . Эквивалентность представлений в силу коммутативности C∗ естьобычное равенство. Разложим группу на циклические: G = ha1 in1 × . . . × hak ink . Зададим представление напорождающих: χ(ai ) ∈ C∗ , ani i = 1 ⇒ χ(ai )ni = 1, т. е. χ(ai ) — корни ni -той степени из 1.
Для каждого ai есть niвозможностей, поэтому всего n1 . . . nk = n = |G| различных гомоморфизмов χ. Разложим регулярное представление абелевой группы на неприводимые. Построим одномерныеявляющиеся собственнымиP подпространства,для всех операторов. Для каждого χ рассмотрим вектор vχ :=χ(g −1 )g ∈ CG. Он будет собственным, т. к.g∈Ghvχ =Xg∈Gχ(g −1 )hg =Xχ(h)χ(g −1 h−1 )hg = χ(h)g∈GXg∈Gχ (hg)−1 (hg) = χ(h)vχ ,и χ(h) — будет собственным значением. Проверка линейной независимости предоставляется читателю в качествеэлементарного упражнения. Таким образом, CG является прямой суммой n собственных подпространств.4.3.2.
Одномерные представления произвольной конечной группыПусть G — конечная группа, χ : G → C∗ — её одномерное представление. Тогда G/ Ker χ = Im χ ⊂ C∗ —абелева группа. Значит, она содержит коммутант G′ группы G. Рассмотрим образ смежного класса gG′ пригомоморфизме χ. Имеем gG′ ⊆ g Ker χ ⇒ χ(gG′ ) ⊂ χ(g Ker χ) = χ(g). Вывод: гомоморфизмы χ находятся вбиективном соответствии с гомоморфизмами G/G′ → C∗ , и число одномерных комплексных представленийравно |G/G′ |.Задача 4.2. Доказать, что у неабелевых групп существуют неприводимые многомерные представления.1 Налекциях это утверждение не доказывалось.
(Прим. наб.)384.3.3. Линейные представления групп Dn , Q8 , Sn , AnРассмотрим группу диэдра Dn . Имеем Dn = ha, bi, где a — поворот, а b — симметрия. Определяющие соотношения: an = e, b2 = e, bab = a−1 . Пусть n нечётно. Тогда |Dn /D′n | = 2, т. е.
существует 2 одномерных представления. Группа диэдра естественным образом действует на плоскости, поэтому положим ρ(b) = b, ρk (a) = akпри k = 1, . . . , n−12 . Соотношения, очевидно, выполняются. Такие представления неприводимы, поскольку собственный вектор симметрии имеет вещественные координаты, а собственный вектор поворота — нет, и значит,не может быть общих собственных векторов (т. е. одномерных инвариантных подпространств).
Построенныепредставления будут неэквивалентными, так как ρk (a) и ρm (a) при k 6= m имеют разные собственные значения,а потому матрицы не могут быть подобными. Итого получилось 2 + 22 n−12 = 2n = |Dn |. Значит, это все неприводимые представления группы Dn при нечётном n. В случае n = 2k имеем |Dn /D′n | = 4. Поступим аналогично,2 n−2только число в данном случае k = 1, . .
. , n−22 . Всего 4 + 22 = 2n. Значит, это все представления.Теперь рассмотрим группу S3 . Можно было бы свести задачу к предыдущей, заметив, что S3 ∼= D3 . Нопоступим по-другому. Имеем |S3 /S′3 | = 2. Значит, есть ещё одно двумерное представление. Пусть V = he1 , e2 , e3 i.Зададим представление (так называемое мономиальное представление), переставляющее базисные векторы, т.еесли π ∈ S3 , то πei = eπ(i) . Рассмотрим подпространство L := he1 + e2 + e3 i.
Оно, очевидно, будет инвариантным.⊥Ортогональное дополнение к нему he1 + e2 + e3 i будет также инвариантным и неприводимым.Перечислим неприводимые представления группы Q8 . Вспомним, что Q8 ⊂ H, C ⊂ H. Рассмотрим H каквекторное пространство над C и зададим умножение на скаляры: λ · x := xλ для ∀ λ ∈ C, x ∈ H. Представление зададим так: пусть g ∈ Q8 , тогда положим ρ(g)(x) = gx (обычное умножениеслева). Это будет линейныйоператор, так как ρ(g)(λ · x) = ρ(g)(xλ) = g(xλ) = (gx)λ = λ · ρ(g)(x) . Это представление двумерно, теперьпокажем, что оно неприводимо.
Допустим противное, пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство. Тогда, так как hQ8 i = H, то оно было бы инвариантным и относительно всех элементов из H, т. е. этобыл бы левый идеал, а в алгебре с делением он совпадает со всей алгеброй. Поскольку |Q8 /Q′8 | = 4, то будет 4одномерных представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
