Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . ⊕ R — свободный модуль. Если R полупроста, то и F разлагаетсяв прямую сумму простых, т. е. является полупростым. А значит, и F/Q по следствию также полупростой. Утверждение 3.15. Всякая простая конечномерная алгебра R является полупростой. Алгебра R конечномерна ⇒ в ней есть минимальные левые идеалы (см. определение идеала в алгебре).Пусть I — некоторый минимальный левый идеал в R. Пусть x ∈ I, r ∈ R. Рассмотрим отображение f : x 7→xr, т. е. f : I → Ir — эпиморфизм. Поскольку Ir — левый идеал, то f будет гомоморфизмом левых модулей(простых).
Тогда его ядро либо нулевое, либо совпадает с I, так как в I нет нетривиальных подмодулей. Значит,либо Ir ∼= I, либо Ir = 0. Теперь рассмотрим все такие идеалы вида Iri для всех ri ∈ R и их суммуXJ :=Iri = {r ∈ R : ∃ xi ∈ I, ri ∈ R (i = 1, . . . , s) : r = x1 r1 + . . . + xs rs } .ri ∈RЭто множество будет двусторонним ненулевым идеалом, содержащим I, так как I — левый идеал, и умножение слева ничего не меняет, а при умножении справа снова получается элемент такого же вида. Но алгебрапростая, и нетривиальных идеалов там нет, а значит, J = R.
В частности, есть разложение для единицы:1 = x1 r1 + . . . + xs rs . Рассмотрим сумму Ir1 + . . . + Irs . Она содержит единицу, а следовательно совпадает с R.Теперь рассмотрим внешнюю прямую сумму V := Ir1 ⊕ . . . ⊕ Irs . Она будет полупростым модулем (суммойпростых). Построим гомоморфизм g : V → R по формуле g(y1 , . . . , ys ) = y1 + . . .
+ ys , где yi = xi ri , xi ∈ I. Онбудет эпиморфизмом левых модулей, а тогда по теореме о гомоморфизме R ∼= V / Ker g. Тогда по следствиюлеммы R будет полупростой. Замечание. Пусть все слагаемые в разложении модуля V между собой изоморфны I. Тогда, так как потеореме Жордана – Гёльдера разложение в прямую сумму простых модулей однозначно с точностью до изоморфизма, то любой подмодуль и фактормодуль в V также однозначно разлагается в прямую сумму модулей,изоморфных I. Значит, R будет прямой суммой минимальных левых идеалов, изоморфных I.32Утверждение 3.16.
Пусть R — полупростая алгебра, R = I1 ⊕. . .⊕Is , где Ii — минимальные левые идеалы.Тогда любой неприводимый R-модуль V изоморфен одному из Ii . Модуль V порождается одним своим элементом. В самом деле, если бы порождающих было больше,то тогда в V существовал бы нетривиальный подмодуль, порождённый одним из них. Пусть V = Rx0 , где0 6= x0 ∈ V .
Рассмотрим эпиморфизм f : R → V : f (r) = rx0 . Тогда V ∼= R/ Ker f . Поскольку R полупроста, тоR = Ker f ⊕ I, где I — некоторый её идеал. Следовательно, I ∼= R/ Ker f ∼= V . Но так как Ker f — подмодуль′полупростого модуля, то он сам полупростой, т. е. Ker f = I1′ ⊕ . . . ⊕ Ik−1, где Ii′ — минимальные левые идеалы.′Значит, R = I1′ ⊕ . .
. ⊕ Ik−1⊕ I. В силу однозначности разложения k = s и слагаемые изоморфны (с точностьюдо перестановки). Следовательно, ∃ j : V ∼=I∼= Ij . Следствие 3.5. Над простой конечномерной алгеброй все простые модули между собой изоморфны.Пример 5.1. Пусть R = Mn (K) (полная матричная алгебра), и V = Kn . Модуль V будет неприводимым,так как не существует подпространства, инвариантного относительно всех операторов. Рассмотрим множествоматриц Ij , у которых j-тый столбец — произвольный, а все остальные столбцы нулевые. Очевидно, что этолевый идеал алгебры, кроме того, он будет минимальным.
Имеем Ij ∼= Kn , Mn (K) = I1 ⊕ . . . ⊕ In . Значит,алгебра Mn (K) полупростая.Задача 3.1. Доказать, что если над полупростой алгеброй все неприводимые модули между собой изоморфны, то она простая.3.6. Кольцо (алгебра) эндоморфизмов модулей3.6.1. Основные понятияОпределение. Эндоморфизмом модуля называется его гомоморфизм на себя.Пусть R — кольцо или алгебра, V, W — R-модули. Рассмотрим множество гомоморфизмов Hom(V, W ). Введёмна нём операцию сложения: (f + g)(x) := f (x) + g(x). Очевидно, что это корректно. Значит, Hom(V, W ) естьабелева группа по сложению.
Если R — алгебра над K, то зададим умножение на элементы поля: (λf )(x) :=λf (x), и группа гомоморфизмов превращается в векторное пространство над K.Теперь рассмотрим End(V ) := Hom(V, V ). В таком множестве можно ввести ещё одну операцию — композицию (умножение). Значит, End(V ) — кольцо.
Оно и называется кольцом эндоморфизмов модулей.Замечание. Эндоморфизм — аналог линейного оператора в векторном пространстве.Если R — алгебра, то End(V ) становится алгеброй. Можно считать, что K ⊂ End(V ), так как можно отождествить скалярные операторы с умножением на числа. Очевидно, что K ⊂ Z(End(V )).Пусть V — конечномерный R-модуль, где R — алгебра над K. Рассмотрим алгебру всех K-линейных операторов Lin(V ).
Имеем End(V ) ⊂ Lin(V ). Как уже говорилось, можно рассматривать элементы из R как линейныеоператоры. По определению гомоморфизма должно выполняться свойство f (rx) = rf (x), а значит, эндоморфизмы — это те операторы, которые коммутируют с операторами из R.3.6.2. Лемма ШураБудем рассматривать гомоморфизмы простых модулей.Лемма 3.17 (Шура). Пусть R — конечномерная алгебра над K, и V, W — простые R-модули. Тогда:1◦ f ∈ Hom(V, W ) ⇒ f либо нулевой, либо изоморфизм;2◦ Любой эндоморфизм V является автоморфизмом, и End(V ) — алгебра с делением;3◦ Если K = C, то любой эндоморфизм простого модуля скалярен, т.
е. End(V ) = C. 1◦ Ядро эндоморфизма — подмодуль, а V простой модуль, значит, либо Ker f = {0}, либо Ker f = V .В первом случае получаем, что f — инъекция. Im f ⊆ W, Im f 6= {0} ⇒ Im f = W , так как W простой модуль.2◦ Очевидно: любой изоморфизм на себя (т. е. автоморфизм) обратим, и значит, End(V ) — алгебра с делением.3◦ Можно сослаться на теорему о том, что все конечномерные алгебры с делением над C совпадают с C.Но не будем «стрелять из пушки по воробьям» и докажем это по-другому.
Пусть f ∈ End(V ). У него естьсобственное значение λ, так как K = C. Если f = λE, то всё ясно, а если нет, то тогда оператор f − λE =6 0также будет эндоморфизмом. Тогда Ker(f − λE) — подмодуль в V , но вследствие простоты это либо {0}, либовесь модуль V . 3.6.3. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы модулейПусть V = V1 ⊕. .
.⊕Vn . Рассмотрим эндоморфизм f : V → V . Пусть мы уже знаем, как устроены Hom(Vi , Vj ).Тогда достаточно задать f на прямых слагаемых. Пусть x = (x1 , . . . , xn ) ∈ V, f (x) = (y1 , . . . , yn ), где yi ∈ Vi .f (0, . . . , xj , . . . , 0) = (y1j , . . . , ynj ).
Рассмотрим fij : Vj → Vi . Этигомоморфизмы можно рассматривать какгомоморфизмы всего модуля, если считать, что fij (x1 , . . . , xn ) = (0, . . . , yij , . . . , 0). Если мы зададим fij для33всех i и j, то тогда мы зададим и весь эндоморфизм f . Пусть x = x1 + . . . + xn , тогда f (x) = f (x1 ) + . . . + f (xn ).Каждый «элементарный» гомоморфизм fij отображает Vj в Vi , а всё остальное переводит в 0. Значит,nf11 . . . f1nX.f=fij = i,j=1fn1 . . . fnnПри таком задании fij сумме эндоморфизмов соответствует сумма, а композиции — произведение матриц:(0, j 6= k;fij · gkl =(f ◦ g)il , j = k.Значит, можно отождествить элементы кольца эндоморфизмов прямой суммы модулей с матрицами из fij .3.7.
Основная теорема о полупростой алгебре над C3.7.1. Гомоморфизмы полупростых модулейРассмотрим частный случай: V — полупростой R-модуль, а R — алгебра над C. Разложим V на простые исгруппируем изоморфные слагаемые в блоки:V = (V1 ⊕ . . . ⊕ Vn1 ) ⊕ (Vn1 +1 ⊕ . . . ⊕ Vn1 +n2 ) ⊕ . . . ⊕ Vs .{z}|{z}|n1n2Пусть ϕij ∈ Hom(Vj , Vi ). Тогда, по лемме Шура, если Vj и Vi в одном блоке, то Hom(Vi , Vj ) ∼= C (толькоумножение на скаляры), а если в разных, то Hom(Vi , Vj ) = {0}.
Значит, матрицы из алгебры эндоморфизмовбудут иметь следующий блочный вид:Mn1 (C) n1 × n1Mn2 (C)n2 × n2...Mns (C)ns × ns00Получается следующееУтверждение 3.18. Алгебру эндоморфизмов полупростого модуля можно отождествить с прямым произведением полных матричных алгебр Mn1 (C) × . . . × Mns (C).3.7.2. Основная теорема и её следствияТеорема 3.19. Полупростая алгебра R над C изоморфна прямому произведению полных матричных алгебр. Рассмотрим алгебру как левый модуль над собой. Представим её как прямую сумму минимальных левыхидеалов, сгруппировав их в блоки:R = (V1 ⊕ . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
