Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ряды подмодулей. Простые модулиРассмотрим ряд вложенных модулей M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Ms = {0}. Рассмотрим фактормодули Mi /Mi+1 .Определение. Ненулевой модуль называется простым, если в нём нет нетривиальных подмодулей (отличных от нуля и его самого). Простые модули иногда называют неприводимыми.Определение. Ряд из модулей называется композиционным, если все его факторы — простые модули.Для модулей имеет местоТеорема 3.4 (Жордана – Гёльдера). Если модуль обладает композиционным рядом, то любой его рядуплотняется до композиционного, все композиционные ряды имеют одинаковую длину и факторы этих рядовизоморфны после некоторой перестановки.27Следствие 3.1. Пусть есть 2 разложения модуля на простые: M = Q1 ⊕ .
. . ⊕ Qs = P1 ⊕ . . . ⊕ Pt . Тогдаs = t и слагаемые изоморфны после некоторой перестановки. Рассмотрим ряд подмодулей в M :M = M0 ⊃ (Q2 ⊕ . . . ⊕ Qs ) ⊃ (Q3 ⊕ . . . ⊕ Qs ) ⊃ . . . (Qs ) ⊃ {0} .{z} |{z}| {z }|M1M2Ms−1Факторы этого ряда будут простыми по условию: Mi−1 /Mi ∼= Qi . Аналогичным образом построим ряд из Pi .Остается лишь применить теорему Жордана – Гёльдера. Определение.
Длиной модуля называется длина его композиционного ряда.Замечание. Векторное пространство — частный случай модуля, его размерность совпадает с длиной.3.2.3. Системы порождающих модуля. Циклические модулиНачиная с этого момента все рассматриваемые кольца и алгебры — с единицей.Определение. Пусть Q ⊂ M . Система S ⊂ Q называется системой порождающих для Q, если любойэлементP x ∈ Q записывается в виде x = r1 x1 + .
. . + rk xk , где xi ∈ S, ri ∈ R. Обозначение: Q = hSi == { ri xi | xi ∈ S, ri ∈ R}. Если порождающее семейство конечно, модуль называется конечнопорождённым.Кольцо — частный случай модуля, идеалы кольца — подмодули, поэтому можно говорить о системе порождающих для левых идеалов. Пусть N — левый идеал в R. Система S ⊂ N будет системой порождающих дляN , если N = hSi. Очевидно, что любая система S порождает некоторый левый идеал.Определение.
Подмодуль, порождённый одним элементом a, называется циклическим: M = {ra | r ∈ R}.Пример 2.1. В кольце циклическими подмодулями будут главные левые идеалы.Если M — циклический модуль, то и M/Q — также циклический: M = hai ⇒ M/Q = ha + Qi. Очевиднотакже, что любой простой модуль является циклическим.Теорема 3.5.
Всякий циклический R-модуль M изоморфен модулю вида R/I, где I — левый идеал в R. Пусть M = hai. Рассмотрим гомоморфизм ϕ : R → M , при котором ϕ(r) = ra. Очевидно, что ϕ сюръективен. По теореме о гомоморфизме M ∼= R/I, где I = Ker ϕ. Пример 2.2. Любая абелева группа является Z-модулем. Циклические подмодули в ней — циклическиеподгруппы.3.3. Свободные модули. Конечнопорождённые модули над кольцом многочленов3.3.1. Свободные модулиПусть V = he1 , . .
. , en iR — конечномерное векторное пространство над R. В нём любой элемент однозначновыражается через базис. Однако в случае модулей базис есть не всегда.Определение. R-модуль M называется свободным, если в нём существует такая система порождающихe1 , .
. . , en , что любой элемент x ∈ M однозначно представляется в виде x = r1 e1 + . . . + rn en , где ri ∈ R, т. е.модуль обладает базисом.Пример 3.1. Кольцо R, как левый модуль над собой, обладает базисом: R = h1i, а значит, является свободным.Пусть есть свободный R-модуль M = he1 , . . . , en i. Имеем R ∼= hei i (изоморфизм очевиден: r → rei ). Тогдаполучаем, что M = he1 i ⊕ . . . ⊕ hen i ⇒ прямая сумма нескольких экземпляров кольца есть свободный модуль.Теорема 3.6.
∀ конечнопорождённый модуль изоморфен фактормодулю свободного модуля по некоторомуподмодулю. Пусть M = ha1 , . . . , an i. Рассмотрим свободный модуль F = he1 , . . . , en i. Рассмотрим гомоморфизмϕ : F → M , ставящий в соответствие элементу x = r1 e1 + . . . + rn en ∈ F элемент ϕ(x) = r1 a1 + . .
. + rn an .Поскольку F свободен, то отображение задано корректно. Элементы ai — порождающие ⇒ ϕ сюръективен.Обозначая Q := Ker ϕ, получаем, что M ∼= F/Q. 3.3.2. Конечнопорождённые модули над кольцом многочленовРассмотрим алгебру многочленов R := K[λ]. Рассмотрим модуль V над R. Для этого V должно быть векторным пространством над K, и нужно для ∀ x ∈ V задать умножение на λ, т. е. определить линейное отображение(оператор) x → λ · x.
Наоборот, если задано векторное пространство V над K и оператор ϕ, тогда V естественным образом становится модулем над R: зададим умножение на элементы R по правилу f (λ) · x := f (ϕ)x, гдеx ∈ V, f ∈ K[λ], т. е. подействуем на x многочленом от оператора.28Теперь рассмотрим некоторый набор многочленов f1 , . . . , fk ∈ K[λ] и идеал, порождённый этими многочленами: hf1 , . . .
, fk i = {g1 (λ)f1 + . . . + gk (λ)fk }. Поскольку этот идеал главный, то он порождается одним элементоми равен d(x)K[λ], где d(x) = НОД(f1 , . . . , fk ).Рассмотрим R = K[λ] — свободный циклический бесконечномерныймодуль и циклический модуль M , который изоморфен фактормодулю свободного модуля: M ∼= K[λ] (f ), где f ∈ K[λ], f 6= 0. Пусть deg f = n, тогдаdimK M = n. Это число называется порядком модуля.Определение. Конечномерный циклический R-модуль называется примарным, если f (λ) = p(λ)k — степеньнеприводимого многочлена.∼ R/(u) ⊕ R/(v).Лемма 3.7.
Если u, v — взаимно простые элементы кольца R главных идеалов, то R/(uv) =f Рассмотрим отображение f : R → R/(u) ⊕ R/(v), определённый так: x 7−→ x + (u), x + (v) . Оно являетсягомоморфизмом колец. По условию существуют элементы кольца a, b такие, что au + bv = 1. Тогдаf (bv) = bv + (u), bv + (v) = 1 − au + (u), 0 + (v) = 1 + (u), 0 + (v) , и аналогично f (au) = 0 + (u), 1 + (v) .Значит, f сюръективен.
Очевидно, что Ker f = (uv). Остается применить теорему о гомоморфизме. Теорема 3.8. ПустьM — циклическиймодульнадK[λ],иM=K[λ](f ). Пусть f = gh, и g, h взаимно∼просты. Тогда M = K[λ] (g) ⊕ K[λ] (h). Очевидно, что выполняются условия леммы (K[x] — кольцо главных идеалов). Изоморфизм, построенный при доказательстве леммы, является и изоморфизмом модулей. Теорема доказана. Следствие 3.2. Любой конечномерный циклический модуль изоморфен прямой сумме примарных циклических модулей.
Прямая сумма конечномерных циклических модулей является циклическим модулем ⇔ ихпорядки взаимно просты.Замечание. Всё это верно только для модулей над кольцом многочленов.3Теорема 3.9. Всякий конечнопорождённый модуль M над R := K[λ] есть прямая сумма конечного числабесконечномерных циклических модулей и конечного числа примарных циклических модулей.
Докажем по аналогии с абелевыми группами. Пусть M = ha1 , . . . , an i, и F = hx1 , . . . , xn i — свободныймодуль. Мы знаем, что ∃ Q : M ∼= F/Q. Пусть Q = hbi ii∈I , где bj = b1j e1 + . . . + bnj en — соотношения между ai .Составим матрицу B = (bij ) размера n × I. Приведём её с помощью элементарных преобразований и алгоритмаЕвклида к диагональному виду, осуществляя соответствующие замены базиса: B ′ = diag(b′1 , . . . , b′n ). Новыебазисы будут иметь вид F = he′1 , . .
. , e′ni , Q = hb′1 e′1 , .. . , b′n e′n i. Тогда F = Re′1 ⊕ . . . ⊕ Re′n , Q = Rb′1 e′1 ⊕ . . . ⊕⊕ Rb′n e′n . Отсюда следует, что F/Q ∼= R (b′1 ) ⊕ . . . ⊕ R (b′n ). Заметим, что если в каком-то слагаемом bi = 0, тооно будет бесконечномерным. Имеет место и теорема о единственности такого разложения.3.3.3. Альтернативное доказательство теоремы о жордановом базисеПрименим нашу теорию для конечномерного векторного пространства V , на котором задан оператор ϕ.Рассмотрим V как модуль над K[λ] =: R, задав умножение на скаляры так: λ · x := ϕ(x), т.
е. f (λ) · x = f (ϕ)x.Пусть V = he1 , . . . , en iK , оператор ϕ имеет матрицу A = (aij ). Тогдаλ · ej = ϕ(ej ) = a1j e1 + . . . + anj en , j = 1, n ⇒ a1j e1 + . . . + (ajj − λ)ej + . . . + anj en = 0.Пусть F = hu1 , . . . , un iK[λ] — свободный R-модуль.
Представим V как фактормодуль свободного модуля:V = F/N и рассмотрим канонический гомоморфизм π : F → V : π(ui ) = ei . Имеем Ker π = N . Рассмотримэлементы yj := a1j u1 + . . . + (ajj − λ)uj + . . . + anj un ∈ N . Покажем, что {yj } есть набор определяющихсоотношений, т. е.
что они порождают N . Возьмём их линейную оболочку N ′ := hy1 , . . . , yn iK[λ] и докажем,что она совпадает с N . Очевидно, что N ′ ⊆ N . Рассмотрим гомоморфизм F/N ′ → F/N ∼= V , при которомh + N ′ 7→ h + N . Покажем, что F/N ′ как векторное пространство имеет размерность n (достаточно показать,что она не превосходит n). Имеем λuj = a1j u1 + . . . + anj un − yj . Значит, если вместо λ подставить произвольный′′многочленPf (λ), то получается, что f (λ)uj′ ∈ hu1 , . .
. , uk iK + N . Тогда ∀ x ∈ F лежит в hu1 , . . . ′, uk iK + N , таккак x =fi (λ)ui . Значит, если x ∈ F/N , то x ∈ hu1 , . . . , un iK , т. е. факторпространство F/N есть линейнаяоболочка n векторов ⇒ dimK F/N ′ 6 n. Таким образом, N ′ = N .Теперь представим модуль V в виде суммы циклических модулей. Для этого приведём матрицу определяющих соотношений (это в точности A − λE) к диагональному виду:3 Насамом деле не только над K[x]. См.
Э. Б. Винберг. «Курс алгебры». Стр. 368-369 (Прим. наб.)29a11 − λ . . .a1n ......... an1. . . ann − λd1 (λ)0.dn (λ)При этом d1 (λ)| . . . |dn (λ). Таким образом, V ∼= K[x] (d1 ) ⊕ . . . ⊕ K[x] (dn ). В данном случае di 6= 0, таккак пространство конечномерное. Заметим, что характеристический многочлен оператора χϕ (λ) с точностьюдо константы равен d1 (λ) . . . dn (λ).
Минимальный многочлен для ϕ делится на все di ⇒ он равен dn (λ). ТеперьsjQдоразложим каждое слагаемое в сумму примарных циклических модулей: dj (λ) =pji (λ)kji , где pij неприво...0i=1димы.Итак, мы перешли к новым базисам в F и в N следующего вида: F = hu′1 , . . . , u′n i , N = hy1′ , . . . , yn′ i , yj′ =dj (λ)u′j . Порождающие циклических модулей — это образы u′ j элементов u′j в пространстве V (это не обязательно векторный базис!). Выразим u′ j через u′j :a11 − λ . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
