Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ρ(gh) = ρ(g) ◦ ρ(h). Изопределения следует, что:1◦ ∀ g, h ∈ G, ∀ x ∈ M имеем (gh)x = g(hx), так как (gh)x = ρ(gh)(x) = ρ(g) ◦ ρ(h) (x) = ρ(g)(hx) = g(hx);2◦ ex 7→ x, поскольку ex = ρ(e)(x) = idM (x) = x.1.8.2. Орбиты и стабилизаторыОпределение. Стабилизатором 1 элемента m ∈ M называется подгруппа St(m) := {g ∈ G : gm = m}.Покажем, что это действительно подгруппа. Проверим свойства.
Очевидно, e ∈ St(m) ∀ m. Произведение:если g1 , g2 ∈ St(m), то (g1 g2 )m = g1 (g2 m) = g1 m = m ⇒ g1 g2 ∈ St(m). Обратный элемент: g ∈ St(m) ⇒ gm = m.Умножим равенство слева на g −1 . Тогда m = g −1 m, т. е. g −1 ∈ St(m).Очевидно, что ядро действия есть пересечение всех стабилизаторов.Определение. Орбитой элемента m ∈ M называется множество Orb(m) = Gm := {gm | g ∈ G}. Точка mназывается неподвижной точкой действия, если Orb(m) = {m}. Мощность орбиты называется её длиной.Утверждение 1.38. Элементы орбиты находятся в биективном соответствии с левыми смежнымиклассами по стабилизатору фиксированного элемента m.
Имеем gm = hm ⇔ (h−1 g)m = m ⇔ h−1 g ∈ St(m) ⇔ g ∈ h St(m). Утверждение 1.39. Любые две орбиты либо не пересекаются, либо совпадают. Орбита определяется одним элементом: gm ∈ Orb(m) ⇒ Orb(gm) = G(gm) = (Gg)m = Gm = Orb(m). Следствие 1.6. Имеется разбиение множества M на орбиты.Введём отношение эквивалентности: m1 ∼ m2 ⇔ m1 , m2 лежат на одной орбите ⇔ ∃ g : gm1 = m2 .Определение. Пусть H ⊂ G, g ∈ G. Подгруппа gHg −1 называется сопряжённой с H.Фиксируем некоторый элемент m ∈ M, и рассмотрим стабилизатор элемента gm ∈ M для некоторого g ∈ G:St(gm) = {h ∈ G : h(gm) = gm} = h ∈ G : (g −1 hg)m = m ⇔ g −1 hg ∈ St(m) ⇔ h ∈ g St(m)g −1 .Таким образом, St(gm) = g St(m)g −1 .Следствие 1.7. Если m и m′ лежат на одной орбите, т. е. m′ = gm, то их стабилизаторы сопряжены:St(m′ ) = g St(m)g −1 .1 Иногдастабилизатор называют стационарной подгруппой.17Определение.
Действие транзитивно, если его орбита единственна, т. е. ∀ m1 , m2 ∈ M ∃ g : gm1 = m2 .SИтак, мы имеем разбиение множества M = Orb(mi ). Из утверждения 1.38 и теоремы Лагранжа следует,чтоXX|M| =| Orb(mi )| =G : St(mi ) ,(18)так как длина орбиты элемента mi равна числу левых смежных классов по St(mi ), то есть индексу St(mi ).Пример 8.1. Группа Sn действует на множестве {1, . . .
, n}.Пример 8.2. Группа GLn (K) действует на Kn .1.8.3. Действия группы на себе. Централизаторы и нормализаторыМожно также определить действие группы на самой себе (например, левыми сдвигами): g · x = gx. Вседействия, рассматриваемые выше, были левыми действиями. Правое действие: g · x = xg −1 .Определение. Централизатором элемента x называется множество Z(x) := {g ∈ G : xg = gx}.Рассмотрим действие группы на себе сопряжениями: g · x = gxg −1 . Тогда стабилизатором каждого элементабудет его централизатор, а орбиты превращаются в классы сопряжённости. Пусть x ∈ G, а C(x) — класссопряжённых ему элементов.
Тогда |C(x)| · |Z(x)| = |G|.−1Теперь пусть M — множество всех подгрупп в G. Рассмотрим действие сопряжениями g · H = gHg . Тогда−1имеем St(H) = g : gHg = H . Подгруппа St(H) будет наибольшей подгруппой, в которой H нормальна. Онаназывается нормализатором H и обозначается N (H).Утверждение 1.40. Число подгрупп, сопряжённых с данной, равно индексу её нормализатора. Длина орбиты равна числу подгрупп, сопряжённых с H. Остается применить формулу (18). Пусть S — некоторое подмножество в G. Рассмотрим действие g · S = gS.
Тогда H := St(S) = {h : hS = S}.Если HS = S, то S — объединение смежных классов по H.1.9. Конечные p-группы. Теоремы Силова1.9.1. Формула классов. Конечные p-группыОпределение. Группа G называется p-группой, если p — простое и |G| = pk .GПусть группа G разбита на классы сопряжённых элементов xG1 , . . . , xr . Очевидно, что если x ∈ Z(G), тоGx = {x}. Пусть |Z(G)| = q. Тогда получаем так называемую формулу классов:|G| = |Z(G)| +rXi=q+1rX|G|= |Z(G)| +|xGi |.|Z(xi )|i=q+1Теорема 1.41.
Всякая p-группа имеет нетривиальный центр. Если группа абелева, то тогда её центр есть вся группа. Если она не абелева, то в формуле классовразмер каждого нецентрального класса делится на p. Тогда имеем |G| = pk = |Z(G)| + pm, а значит, и |Z(G)|делится на p, т. е. в центре кроме единицы ещё что-то есть. Следствие 1.8. Всякая p-группа разрешима.
Докажем по индукции по порядку группы. Пусть |G| = pk . Имеем Z(G) ⊳ G. Тогда |G/Z(G)| < |G|, таккак центр нетривиален. Факторгруппа имеет меньший порядок, и можно применить индукцию. Теорема 1.42. Всякая группа G порядка p2 абелева. Центр G имеет порядок либо p, либо p2 . Во втором случае доказывать нечего, а иначе |G/Z(G)| = p, нофакторгруппа неабелевой группы по центру не может быть циклической. Противоречие. Рассмотрим несколько примеров p-групп.Пример 9.1.
Группа кватернионов Q8 .Пример 9.2. Группа унитреугольных матриц UT3 (Fp ).1.9.2. Полупрямое произведение группПусть N ⊳ G, а H — подгруппа в G. Тогда произведение подгрупп N H является подгруппой, так как−1 −1(n1 h1 )(n2 h2 ) = (n1 h1 n2 h−1)(h1 h2 ) ∈ N H, и (nh)−1 = hn h} h−1 ∈ N H.| {z| {z 1 }∈N∈NЭто обстоятельство позволяет дать следующее18Определение. Группа G есть полупрямое произведение подгрупп N и H (обозначение: G = N ⋋ H), если:1◦ N ⊳ G, H ⊂ G;2◦ N H = G;3◦ N ∩ H = {e}.Замечание.
Полупрямое произведение несимметрично!Пусть G = N ⋋ H. Для каждого h ∈ H рассмотрим ограничение внутреннего автоморфизма Φh (x) := hxh−1на подгруппу N . В силу нормальности подгруппы N получаем, что Φh ∈ Aut N и отображение h 7→ Φh являетсягомоморфизмом H → Aut N . Тогда умножение элементов из N ⋋ H происходит так:(n1 h1 )(n2 h2 ) = n1 Φh1 (n2 ) (h1 h2 ).Также можно определить внешнее полупрямое произведение. Пусть есть какие-то группы N и H, заданϕгомоморфизм ϕ : H → Aut N , и элемент h 7−→ Φh .
Определим в декартовом произведении N × H умножение поформуле (n1 , h1 ) · (n2 , h2 ) := n1 Φh1 (n2 ), h1 h2 .Очевидно, что аксиомы группы выполняются. Полученная группа и будет внешним полупрямым произведением групп N ⋋ H. Аналогично прямому произведению, можно отождествить группы N и H с множествамипар {(n, e)} и {(e, h)} соответственно и не различать внешнее и внутреннее произведения.Вернёмся к p-группам. Пусть N = haip2 , H = hbip . Группа автоморфизмов циклической группы изоморфнагруппе обратимых элементов кольца вычетов Z/p2 Z, поэтому имеем | Aut N | = p(p − 1).
В Aut N есть элементпорядка p, следовательно, есть циклическая подгруппа порядка p. Значит, существует нетривиальный гомоморфизм H → Aut N и можно построить полупрямое произведение G = N ⋋ H порядка p3 .1.9.3. Теоремы СиловаОпределение. Пусть |G| = pn m, где p — простое и (p, m) = 1. Рассмотрим подгруппу H ⊂ G порядка pn .Она называется силовской p-подгруппой.Теорема 1.43 (Первая теорема Силова).
Силовская p-подгруппа существует. Если группа G абелева, то разложим её на примарные циклические. Очевидно, что силовской p-подгруппой будет произведение всех тех слагаемых, порядки которых являются степенями числа p. В общем случаеприменим индукцию по |G|. Если |G| = 1, то доказывать нечего. Пусть |G| > 1. Рассмотрим разбиение G наклассы сопряжённых элементов. Возможны 2 случая:1◦ Есть нетривиальный класс C(x), число элементов которого не делится на p.
Тогда, так как |Z(x)| · |C(x)| == |G| = pn m, то |Z(x)| делится на pn . Порядок централизатора меньше |G|, значит, по индуктивному предположению в Z(x) есть силовская p-подгруппа порядка pn . Тогда она же будет искомой подгруппой в G.2◦ Такого класса нет, т. е.
количество элементов во всех нетривиальных классах делится на p. Тогда поформуле классов |Z(G)| делится на p. Пусть |Z(G)| = pk l, и (p, l) = 1. Тогда в центре Z(G) есть подгруппаZ ′ ⊂ Z(G) порядка pk . Факторгруппа G/Z ′ имеет порядок pn−k m, и снова по индуктивному предположениюв ней есть подгруппа порядка pn−k .
Её полный прообраз при каноническом гомоморфизме G → G/Z ′ и будетсиловской p-подгруппой в G. Теорема 1.44 (Вторая теорема Силова). Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской pподгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены. Пусть S ⊂ G — силовская p-подгруппа в G, и T — какая-то p-подгруппа. Рассмотрим действие T на фактормножестве1 G/S левыми сдвигами. При таком действии длина любой нетривиальной орбиты будет делитьсяна p, так как порядок стабилизатора делит порядок группы, и, стало быть, является некоторой степенью числаp. Заметим, что |G/S| не делится на p.
Значит, у данного действия есть неподвижные точки. Пусть gS — такаяточка. Тогда ∀ t ∈ T имеем t · gS ⊆ gS, т. е. ∀ s ∈ S tgs = gs′ . После преобразования этого равенства имеемt = g |s′{zs−1} g −1 , т. е.t ∈ gSg −1 ⇒ T ⊆ gSg −1 .∈SТаким образом, первое утверждение доказано, так как gSg −1 будет некоторой силовской p-подгруппой. А еслипорядки у T и S совпадают, то T = gSg −1 , что и даёт сопряжённость всех силовских p-подгрупп. Теорема 1.45 (Третья теорема Силова).
Число силовских p-подгрупп сравнимо с 1 по модулю p. Пусть S — силовская p-подгруппа в G и C(S) — класс подгрупп, сопряженных с S, т. е. класс всех силовских p-подгрупп. Рассмотрим действие группы G сопряжениями на C(S). При таком действии стабилизаторлюбой подгруппы S ′ равен её нормализатору N (S ′ ). Ограничим это действие на S.
Тогда всё множество C(S)1 G/Sвовсе не обязано быть группой! (Прим. наб.)19разобьётся на нетривиальные орбиты (длина каждой из них делится на p, как и в теореме 1.44), и на неподвижные точки. Докажем, что единственной неподвижной точкой будет сама подгруппа S, откуда и будет следовать,что |C(S)| ≡ 1 (mod p).Пусть S ′ ∈ C(S) — какая-то неподвижная точка. Это значит, что любой элемент из S действует на S ′тождественно, то есть лежит в стабилизаторе St(S ′ ). Таким образом, S ⊂ St(S ′ ) = N (S ′ ).
Тогда S и S ′ будутсиловскими p-подгруппами в группе N (S ′ ) и, значит, сопряжены в ней. Но S ′ — нормальная подгруппа в своёмнормализаторе, то есть сопряжена только сама себе. Следовательно, S ′ = S. Следствие 1.9. Силовская подгруппа единственна ⇔ она нормальна.Следствие 1.10. Из сопряженности всех силовских p-подгрупп вытекает, что их количество Np равноиндексу нормализатора одной из этих подгрупп, т. е.
если |G| = pn m, то Np |m.Следствие 1.11. Если ∀ pi |G| силовская подгруппа Gpi ⊳ G, то G = Gp1 × . . . × Gpq и |G| = |Gp1 | . . . |Gpq |. Докажем, что пересечение каждой подгруппы с произведением остальных тривиально. Допустим противное. Пусть существует x ∈ G : x = x1 = x2 . . . xq , где xi ∈ Gpi . Тогда порядок элемента слева есть некотораястепень p1 , а у любого xi справа порядок не может делиться на p1 . Противоречие. 1.9.4. Группы порядка pqРассмотрим группу G порядка pq, где p и q — простые, и p < q. Рассмотрим силовские q-подгруппы.
Последствию 1.10 имеем Nq |p и Nq ≡ 1 (mod p) ⇒ Nq = 1. Тогда по следствию 1.9 теорем Силова получаем, чтоGq ⊳ G, |Gq | = q, |G/Gq | = p, а значит, группа разрешима. Теперь рассмотрим силовские p-подгруппы. ИмеемNp |q и Np ≡ 1 (mod p). Возможны 2 случая:1◦ q не сравнимо с 1 (mod p) ⇒ Np = 1 ⇒ Gp ⊳ G ⇒ G = Gp × Gq — циклическая группа.2◦ q ≡ 1 (mod p). Тогда покажем, что существует неабелева группа порядка pq. Возьмём группы N : |N | = qи H : |H| = p. Имеем Aut N ∼= F∗q . Тогда Aut N содержит подгруппу порядка p и можно построить вложениеH ֒→ Aut N и получить тем самым внешнее полупрямое произведение групп G = N ⋋ H.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
