Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , dn ). При этом d1 |d2 | . . . |dn и итоговый вид матрицы определён однозначно. Докажем индукцией по числу строк (их конечное число). Если матрица нулевая, доказывать нечего.База индукции: n = 1. Выберем наименьший по модулю ненулевой элемент aiγ . Если все остальные элементыделятся на него, то можно путём ЭП первого типа обнулить все эти элементы.
Если существует элемент aiδ ,не делящийся на aiγ , то с помощью столбца γ поделим aiδ с остатком, и получим меньший по модулю элемент(остаток). После конечного числа шагов все элементы строки будут делиться на какой-то из её элементов. Базаиндукции есть.Теперь предположим, что всё доказано для n − 1 строки, тогда докажем для n строк. Выберем наименьшийпо модулю ненулевой элемент, и проведём аналогичные действия для той строки и того столбца, в которомстоит этот элемент. (Если всё на него делится, тогда можно всё кроме него обнулить, а если не делится, топоделим с остатком, и т.д.) Таким образом можно обнулить некоторый «крест» в матрице, а на пересечениистроки и столбца этого креста стоит ненулевой элемент dk , и все остальные элементы на него делятся.
Путёмперестановки строк и столбцов можно сдвинуть крест в левый верхний угол матрицы. Тогда останется матрица с n − 1 строкой, и шаг индукции доказан. Очевидно, что на каждом шаге каждый ненулевой элемент dkделит все элементы минора матрицы порядка k и является наибольшим общим делителем чисел этого минора. Из алгоритма Евклида следует, что при элементарных преобразованиях указанного типа НОДы элементовне меняются (сам алгоритм Евклида есть последовательность таких преобразований).
Значит, набор d1 , . . . , dnопределён однозначно. Изучим влияние ЭП на базис. Очевидно, что ЭП 2 и 3 типа несущественны. Остается разобрать случай ЭПпервого типа. Для строк (i), (j): при ЭП (i) 7→ (i) + λ(j), λ ∈ Z имеемXyγ = (aij + λajγ )xi + ajγ (xj − λxi ) +akγ xk .(12)k6=i,jОчевидно, что такое преобразование соответствует элементарной замене базиса xj 7→ xj − λxi . Рассуждения длястолбцов аналогичны.Теорема 1.22.
Пусть F — свободная абелева группа, H ⊆ F . Тогда можно выбрать новый базис F =hx′1 , . . . , x′n i и новую систему порождающих H = hy1′ , . . . , yn′ i так, что yj′ = dj x′j , d1 |d2 | . . . |dn и H являетсясвободной группой с рангом rk H 6 n. Следует из предыдущей теоремы. Приведением матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями и соответствующими им заменами базисов можно найти требуемый базис и систему порождающих.Пусть d1 , .
. . , dk 6= 0, dk+1 , . . . , dn = 0. Тогда H = hy1′ , . . . , yk′ i. Эти порождающие свободны, так как если быλ1 y1′ + . . . + λk yk′ = 0, то и λ1 d1 x′1 + . . . + λk dk x′k = 0, а это противоречит тому, что {x1 , . . . , xn } — базис F . Теорема 1.23 (Существование разложения). Любая конечно порождённая абелева группа разлагаетсяв прямую сумму конечного числа бесконечных циклических групп и примарных циклических групп.
Пусть G = ha1 , . . . , an i — абелева группа. Поскольку G ∼= F/H, по предыдущей теореме существуетбазис: F = hx1 , . . . , xn i, H = hd1 x1 , . . . , dk xk , dk+1 xk+1 , . . . , dn xn i, где dk+1 = . . . = dn = 0. ИмеемF = hx1 i∞ ⊕ . . . ⊕ hxn i∞ , H = hd1 x1 i∞ ⊕ . . . ⊕ hdk xk i∞ ⊕ hdk+1 xk+1 i∞ ⊕ . . . ⊕ hdn xn i∞ .{z}|0По теореме о факторизации по прямым слагаемымG∼=hx1 ihxk ihxk+1 ihxn i⊕ ...⊕⊕⊕ ...⊕.hd1 x1 ihdk xk i{0}{0}Если di > 1, то i-е слагаемое есть циклическая группа Z/di Z. Если di = 0, остается бесконечное циклическоеслагаемое Z. Если же di = 1, то hxi / hxi = {0}, и такое слагаемое можно отбросить.
Итак, получаем разложениеG∼=kMi=1Z/di Z ⊕ Zn−k .12В свою очередь, каждую конечную циклическую группу разложим на примарные, что и требовалось. Определение. Приведённое выше разложение называется каноническим, если d1 | . . . |dk .Теорема 1.24 (Единственность разложения). В разложении абелевой группы в прямую сумму циклических групп число слагаемых и их порядки определены однозначно. Пусть G = hc1 ipk1 ⊕. . .⊕hcs ipks s ⊕hcs+1 i∞ ⊕. . .⊕hcs+t i∞ . Рассмотрим подгруппу кручения (т. е. подгруппу1элементов конечного порядка)Tor G := {a ∈ G : ma = 0 для некоторого m ∈ Z, m 6= 0} .Очевидно, что Tor G есть сумма конечных слагаемых (s штук).
Тогда имеем G = Tor G ⊕ Zt , или G/ Tor G ∼= Zt .Определение Tor G не зависит от разложения, а значит и число t не зависит от разложения.Разберёмся теперь с конечными слагаемыми. Для каждого p рассмотрим подгруппы p-крученияTorp G := a ∈ G : pk a = 0 для некоторого k ∈ Z ,т. е. суммы p-примарных слагаемых при фиксированном p. Аналогично первому случаю число таких подгруппопределяется однозначно.
Остаётся рассмотреть случай, когда G — примарная группа порядка pk . Пусть естьразложение G = hc1 ipk1 ⊕. . .⊕hcr ipkr , и k1 +. . .+ks = k. Докажем индукцией по k, что набор чисел {k1 , . . . , kr } отразложения не зависит. При k = 1 всё очевидно. Пусть k > 1. Тогда рассмотрим подгруппу pG := {pa | a ∈ G}.Очевидно, чтоpG = hpc1 ipk1 −1 ⊕ . . . ⊕ hpcr ipkr −1 .(13)Если ki = 1, то это слагаемое при умножении на p исчезнет.
Определение pG от разложения не зависит, апо предположению индукции для порядка меньше pk набор чисел {ki } не зависит от разложения. Тем самымтеорема доказана. Замечание. Подгруппу кручения иногда называют периодической частью абелевой группы.Как по разложению определить, изоморфны ли группы? Нужно разложить их в примарные циклические.В силу единственности разложения можно по нему судить об изоморфности групп.1.5.4. Конечные абелевы группыОпределение. Показателем группы называется число d := min k > 0 : xk = e ∀ x ∈ G .Выясним, когда прямая сумма циклических групп циклическая.
Пусть G = ha1 in1 ⊕ . . . ⊕ has ins , и |G| = n == n1 . . . ns . Группа G — циклическая, когда в ней есть элемент порядка n. Для ∀ x = (x1 , . . . , xs ) имеем O(xi )|ni .Возьмём элемент a = (a1 , . . . , as ) — он, очевидно, имеет наибольший порядок. O(a) = НОК {n1 , . . . , ns }. Значит,G — циклическая ⇔ числа n1 , . . . , ns попарно взаимно просты.Утверждение 1.25.
Конечная абелева группа G циклическая ⇔ её показатель d равен порядку группы. Очевидно, что d = НОК {O(x)|x ∈ G}. Разложим группу в прямую сумму циклических групп. Если ихпорядки не взаимно просты, то d < |G| и группа не циклическая. Наоборот, если порядки слагаемых взаимнопросты, то d = |G| и группа циклическая. Есть биекция между конечными абелевыми группами порядка n и разложениями числа n в произведениестепеней простых чисел.Пример 5.1.
|G| = 72 = 8 · 9 = 4 · 2 · 9 = 2 · 2 · 2 · 9 = 8 · 3 · 3 = 4 · 2 · 3 · 3 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.G1 = Z8 ⊕ Z9G2 = Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z9...G6 = Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z31.5.5. Свойства подгрупп в мультипликативной группе поляПусть K — поле, K ∗ = K r {0} — его мультипликативная группа.Утверждение 1.26. Любая конечная подгруппа в мультипликативной группе поля циклическая. Пусть G ⊆ K ∗ , |G| = n, d — показатель G. Имеем xd = 1 ∀ x ∈ G. Поскольку уравнение xd − 1 = 0 имеетне более чем d корней, то |G| 6 d ⇒ |G| = d, что и означает цикличность группы.
131.5.6. Геометрические приложения абелевых групп. Дискретные подгруппы в RnОпределение. Пусть V = Rn — евклидово пространство. Подгруппа G ⊆ (V, +) называется решёткой, если:1◦ G дискретна, т. е. ∃ ε > 0 : {x ∈ V : |x| < ε} ∩ G = {0};2◦ hGi = V , т.
е. линейная оболочка G с вещественными коэффициентами совпадает с V .Теорема 1.27. Любая решётка GPв Rn является свободной абелевой группой, порождённой некоторымбазисом пространства V , т. е. G = { ki ei | ki ∈ Z}. Из второго пунктаP определения G следует, что существует базис u1 , . . . , un пространства V , где ui ∈ G.Пусть x ∈ G, тогда x = ξi ui . Возможны 3 случая для коэффициентов решётки:1◦ ∀ x ∈ G ∀ ξi ∈ Q, и все знаменатели у ξi ограничены сверху;2◦ ξi ∈ Q, но имеют сколь угодно большие знаменатели;2◦ ∃ x, у которого хотя бы одна из координат иррациональна.PПокажем, что из всех случаев возможен только случай 1◦ . Пусть F =ki ui ki ∈ Z — свободная абелевагруппа ранга n (здесь и далее суммирование идёт по i = 1, n).
Взяв НОК всех знаменателей коэффициентов,ϕможно найти N такое, что N x ∈ F для ∀ x ∈ G. Очевидно, что отображение x 7−→ N x есть инъективный∼гомоморфизм G → F . Тогда G = Im ϕ ⊆ F ⇒ G — свободная группа (как подгруппа свободной группы), иrk G 6 n. Но так как hGi = V , то rk G = n. Значит, базис V есть базис G.Докажем, что случаи 2◦ и 3◦ для дискретной подгруппы невозможны.
Во втором случае, так как знаменателикоэффициентов неограниченны,можно отбросить целые части координат и рассмотреть в G подмножествоPM := {x ∈ G | x = ξi ui , ξi ∈ [0, 1]}. Оно, очевидно, ограничено и бесконечно, а значит, обладает предельнойточкой, в любой окрестности которой есть точки из G.
Это противоречит дискретности.В третьем случае пусть x = ξ1 u1 + . . . + ξn un и для определённости координата ξ1 ∈/ Q. Рассмотрим последовательность векторов xm = {mx | m ∈ Z} (аналогично отбросим целые части координат и оставим толькодробные). Докажем, что все элементы этой последовательности различны. Пусть mx = lx, тогда mx − lx =nP=ki ui , ki ∈ Z, а значит, mξ1 − lξ1 = k1 , т. е. ξ1 ∈ Q, а по условию это не так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
