Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 3
Текст из файла (страница 3)
kТогда a , k 6= ±1. Если a порождает всю группу,mто и ϕ(a) также порождает всю группу. Но hϕ(a)i = (a ) | m ∈ Z 6= G, значит, ϕ — не автоморфизм. Аналогично можно показать, что Aut hain = ϕ(a) = ak : (n, k) = 1 . Таким образом, автоморфизмы циклической группы соответствуют обратимым элементам в Z/nZ, т. е.
группа Aut hain изоморфна группе обратимыхэлементов в Z/nZ.Определение. Внутренним автоморфизмом группы G называется отображение вида ϕg (x) = gxg −1 .Определение корректно, так какϕg (x1 x2 ) = gx1 x2 g −1 = (gxg −1 )(gxg −1 ) = ϕg (x1 )ϕg (x2 ),(5)а биективность очевидна. Группа внутренних автоморфизмов обозначается Int G. Покажем, что Int G ⊳ Aut G.Рассмотрим внутренний автоморфизм f (x) = gxg −1 . При сопряжении произвольным автоморфизмом ϕ имеем(ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(x) = ϕ f ϕ−1 (x) = ϕ gϕ−1 (x)g −1 = ϕ(g)xϕ(g)−1 ,(6)т.
е. снова получился некоторый внутренний автоморфизм.Определение. Группа внешних автоморфизмов есть факторгруппа Out G := Aut G/ Int G.1.2.2. Центр группыОпределение. Центром группы G называется множество Z(G) = {g : gx = xg ∀ x}.Рассмотрим отображение π : G → Int G, определенное по правилу g 7→ ϕg . Очевидно, что это гомоморфизм.Посмотрим на его ядро: π(g) = id ⇔ ∀ x gxg −1 = x ⇔ ∀ x gx = xg ⇔ g ∈ Z(G). Значит, Ker π = Z(G).Утверждение 1.9. Если группа G не абелева, то G/Z(G) не может быть циклической. Допустим, G/Z = haZi.
Тогда gZ = (aZ)k = ak Z. Возьмём два элемента g1 = ak z1 и g2 = al z2 . Тогдаимеем g1 g2 = ak z1 al z2 = al z2 ak z1 = g2 g1 , так как z1 и z2 коммутируют со всеми. Противоречие. 1.2.3. Классы сопряженных элементовОпределение. Классом элементов, сопряженных c x ∈ G, называется множество xG := gxg −1 | g ∈ G .Подгруппа H ⊆ G является нормальной, если она является объединением классов сопряженности (очевидно).Пример 2.1. Наличие одинаковой жордановой формы у двух матриц является критерием их сопряженности.Рассмотрим группу перестановок Sn .Утверждение 1.10.
Две перестановки сопряжены ⇔ они имеют одинаковую цикловую структуру. Разложим перестановку π ∈ Sn на независимые циклы: π = (i1 , . . . , ik1 )(ik1 +1 , . . . , ik2 ) · · · (iks +1 , . . . , in ).Имеем i1 i2 . . . ik1 ik1 +1 . . . inj j . . . jk1 jk1 +1 . . . jngπg −1 =π 1 2= (j1 , j2 , . . . , jk1 )(jk1 +1 , . . . , jk2 ) · · · (jks +1 , .
. . , jn ).j1 j2 . . . jk1 jk1 +1 . . . jni1 i2 . . . ik1 ik1 +1 . . . inОтсюда следует, что если перестановки сопряжены, то длины циклов одинаковые. Очевидно также то, что еслиу двух перестановок одинаковая цикловая структура, то они сопряжены — сопрягающую перестановку легкопредъявить.
Теперь рассмотрим An ⊂ Sn — знакопеременную группу чётных перестановок. Наличие одинаковой цикловойструктуры необходимо и для An . Чтобы найти достаточное условие, рассмотрим более общий случай. Вначаледокажем вспомогательноеУтверждение 1.11. Подгруппы индекса 2 всегда нормальны.7 (G : H) = 2 ⇒ имеется только 2 смежных класса: сама подгруппа H = eH = He и некоторый левыйкласс gH, g ∈/ H. Тогда правый класс Hg совпадает либо с H, либо с gH.
Но первая возможность отпадает, таккак g ∈/ H, значит, gH = Hg, что и требовалось. Утверждение 1.12. Пусть H ⊂ G и (G : H) = 2. Тогда для ∀ x ∈ H возможны 2 случая:1◦ xH = xG ⇔ ∃ t ∈/ H : tx = xt.−12◦ xG = xH ∪ xH,t ∈/ H, |xH | = |xH/ H tx 6= xt.1 , x1 = txt1 | ⇔ ∀t ∈◦G Докажем 1 . Пусть x = xH .
Из этого следует, что ∀ z ∈/ H ∃ h ∈ H : zxz −1 = hxh−1 , то есть x =−1−1−1−1−1(z h)x(h z). Положим t = z h ∈/ H, тогда h z = t , то есть x = txt−1 ⇔ tx = xt. Наоборот: пусть∃t ∈/ H : tx = xt. Тогда ∀ z ∈/ H имеем z = ht. Значит,−1 −1−1Hzxz −1 = h |txt{z } h = hxh ∈ x ,(7)xто есть xG = xH .−1 −1Теперь докажем 2◦ . Пусть z, t ∈/ H, z = ht. Тогда zxz −1 = h |txt= hx1 h−1 ∈ xH1 . Докажем, что{z } hH|xH1 |.ϕx1−1|x | =Заметим, что x 7−→ txt — автоморфизм, а при нём классы сопряженных элементов переходяттакже в классы сопряженных.
ϕ(x) = x1 ⇒ ϕ(xH ) = xH1 . Вернёмся к группе An . Выясним, когда для чётной перестановки существует коммутирующая с ней нечётная.В следующем утверждении под циклами подразумеваются в том числе и циклы длины 1.Утверждение 1.13. Пусть π ∈ An . Тогда:1◦ ∃ τ ∈/ An : τ π = πτ ⇔ π содержит либо цикл чётной длины, либо 2 цикла равной нечётной длины.2◦ τ π 6= πτ ∀ τ ∈/ An ⇔ все циклы в π разной нечётной длины. Разложим π на независимые циклы: π = σ1 σ2 σ3 · · · σs . Пункт 1◦ .
Пусть (первый случай) σ1 имеет чётнуюдлину. Тогда просто положим τ = σ1 . Второй случай: π = (i1 , . . . , ik )(j1 , . . . , jk )σ3 · · · σs и k = 2n + 1. В этомслучае положим τ = (i1 j1 )(i2 j2 ) · · · (ik jk ). Тогда τ πτ −1 = (i1 , . . . , ik )(j1 , . . . , jk )σ3 · · · σs = π. Пункт 2◦ . Пусть вπ все циклы разной нечётной длины. Заметим, что сопряжение действует на независимые циклы независимо,т.е τ πτ −1 = π ⇔ τ σi τ −1 = σi ∀ i.
Значит, надо выяснить, какие перестановки коммутируют с одним циклом.Достаточно посмотреть, что происходит с циклом σ = (1, 2, . . . , n). Докажем, что не существует перестановкиτ∈/ An : τ σ = στ . Предположим противное. Тогда цикловая структура τ и σ должна быть одинаковая, а значит,τ = σ k .
Но это значит, что τ — чётная перестановка. Противоречие. 1.3. Свободные группы1.3.1. Системы порождающих элементовОпределение. Пусть G — группа.Рассмотримподмножество S ⊂ G и всевозможные произведения элементов из S и обратных к ним: H = sεi11 sεi22 · · · sεikk , εi = ±1.
Оно называется подгруппой, порождённой множествомS. Обозначение: H = hSi.−ε1−1kМножество H действительно будет подгруппой, так как для ∀ a ∃ a−1 = s−εik · · · si1 , e = si1 si1 . Посколькуэлементы не обязательно коммутируют, один и тот же элемент может встречаться несколько раз. Договоримсясчитать пустое произведение единицей. Очевидно, H — наименьшая подгруппа, содержащая S.Пример 3.1. Группа с 1 порождающим элементом — циклическая. Пустая система порождает {e}.Определение. S — система порождающих для G, если для ∀ g ∈ G g = sεi11 sεi22 · · · sεikk , sij ∈ S, εj = ±1.Замечание.
Однозначности разложения в определении не требуется!Пример 3.2. В группе диэдра Dn есть система из двух порождающих — поворот a на уголb относительно некоторой оси.2πnи симметрияОпределение. Будем называть комбинации порождающих элементов словами. Правильными назовём теслова, в которых не встречаются комбинации вида ". . .
si s−1i . . .".Определение. Если в G имеет место равенство двух правильных слов a и b, будем говорить о соотношениимежду этими словами: a = b ⇔ ab−1 = e.Пример 3.3. В группе Dn есть соотношения an = e, b2 = e, (ab)2 = e.1.3.2. Свободные группыОпределение. Если из некоторого набора соотношений следуют все остальные соотношения, то этот наборназывается набором определяющих соотношений.8Пусть S — абстрактное множество. Берём все правильные слова (формальные выражения), составленные изэлементов S и обратных к ним, т.
е. выражений вида "s" и "s−1 ". Определим умножение слов u и v: приписываемодно слово к другому и производим сокращения на стыке слов.Утверждение 1.14. Построенное таким образом множество произведений является группой. Единица — есть (пустое произведение). Обратный элемент также имеется. Проверим ассоциативность.Пусть u, v, w — правильные слова. Докажем, что (uv)w = u(vw). Если на стыках слов нет сокращений, то всёясно, иначе рассмотрим 3 случая.1◦ u = ab, v = b−1 cd, w = d−1 f , и подслово c 6= ∅.
Тогда (uv)w = (abb−1 cd)d−1 f = (acd)d−1 f = acf . С другойстороны, u(vw) = acf .2◦ Если c = ∅, то u = ab, v = b−1 d, w = d−1 f , и также получаем, что (uv)w = u(vw).3◦ u = acb, v = b−1 c−1 d, w = d−1 cf — аналогично. Определение. Построенная таким образом группа называется свободной группой с множеством свободныхпорождающих S. (Название объясняется тем, что в такой группе нет нетривиальных соотношений.) Теперь уточним понятие определяющих соотношений. Пусть есть свободная группа F = Se , Se = {xi }i∈I игруппа G, порожденная семейством S = {si }i∈I . Рассмотрим эпиморфизм f : F → G, определённый по правилуf (xi ) = si . В силу однозначности записи элемента свободной группы заданное отображение корректно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
