Диссертация (1105361), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(4.31)− √︀−1−12 sh[(1 − )]2 sh[(1 − )]Для достаточно больших времен ( ≫ 1/[(1 − )]) функция распределения вероятности (4.30) становится стационарным распределением√︂st () =22 2−2(1 − )− − /2 ,(4.32)и стационарные моменты принимают вид1 = √(︃ √ )︃ 1−(︂)︂21.Γ+2 − 2 2(4.33)Легко видеть, что формулы (4.32) и (4.33) совпадают с уравнениями (4.24) и (4.25)в рассмотренном случае. К тому же, уравнение (4.32) при = 0 представляет собой полунормальное распределение [134].974.1.2Белый импульсный шумРассмотрим решение уравнения (4.1) с шумовым слагаемым, представленным случайным импульсным процессом (), состоящим из дельта-импульсов с постоянной амплитудой0 .
Данный вид случайного процесса представлен в первой части раздела 3.1.1. Свойстваслучайного процесса характеризуются его спектральной плотностью. Как показано в разделе 3.1.1, спектральная плотность рассматриваемого процесса выражается формулой[︃]︃∞∑︁202 () =1+Θ () + Θ (−) .=1(4.34)Необходимо определить, возможно ли применять полученные в предыдущем подразделерезультаты (4.19) и (4.23) в случае, когда случайный процесс имеет вид импульсного процесса. Рассмотрим уравнение (4.1) с белым пуассоновским источником шума (т.е., величинаинтервалов между соседними импульсами имеет экспоненциальное распределение)∑︁= − + 0( − ).Переходя к переменным =√︁2(1−)(︁ 1−0(4.35))︁− 1 и = (1 − ), совпадающим с обо-значениями в уравнении (4.2′ ) при = 02 /2 и = 0 / , можно переписать уравнение (4.35)в виде= − −√︃∑︁√︀2+ 2(1 − )( − ).(1 − )(4.35′ )Функция распределения вероятностей (, ) удовлетворяет следующему уравнению [135](, )=[︃(︃+√︃2(1 − ))︃]︃(, ) +Разложение в ряд Тейлора функции ( −( −√︀2(1 − ) , ) − (, ).(1 − )(4.36)√︀2(1 − ) , ) по первому аргументу вблизи приводит к следующему уравнению∑︁ (−1)(, ) 2 (, )−1 (, )2=[(, )] ++2[2(1−)].
2! =3(4.36′ )Видно, что уравнение (4.36′ ) сводится к уравнению Фоккера-Планка (4.3′ ), когда(1 − ) ≪ 1. Сохраняя в уравнении (4.36′ ) слагаемое с производной третьего порядка98и возвращаясь к переменной , получим стационарное решение () = − 3 1−2 (1−)0[︃Ai6 1−0−]︃1542(6(1 − ) ) 3,(4.37)где Ai() — функция Эйри.Для преобразования Лапласа стационарного решения уравнения (4.36) по переменной получим∞∫︁2− () = − Ein(0 ) ,¯ () =(4.38)0где Ein() — модифицированная интегральная показательная функция [132]. Тогда стационарные моменты имеют следующий вид = (−1)⃒¯ () ⃒⃒.
⃒=0(4.39)Для = 1/2 получаем⟨⟩ =0202+.2 2 4(4.40)Сравнивая уравнение (4.40) с уравнением (4.26), можно увидеть, что когда случайныйпроцесс имеет вид гауссовского белого шума, возникает дополнительное слагаемое, пропорциональное (− ). Появление этого слагаемого связано с наличием граничного условия дляотражающей границы при = − (или = 0). Следовательно, уравнения (4.26) и (4.40) совпадают (при соответствующем выборе параметров и ), когда − → −∞ или, что то жесамое, когда ≪ 1, т.е. когда характерное время случайного процесса много меньше, чемхарактерное время релаксации системы 1/.4.1.3Коррелированный импульсный шумУравнение (4.2′ ) отличается от хорошо известного уравнения, описывающего процессОрнштейна-Уленбека, только тем, что ≥ − .
Можно рассмотреть вопрос о том, допустимо22ли пренебрегать этим условием напрямую для белого шума, используя неравенство ≪ −,2асимптотически. Здесь — дисперсия белого гауссовского шума.Если к белому шуму можно применить приближение линейного фильтра, его можно2применить и к скоррелированному шуму, так как обычно его дисперсия 2 меньше, чем .Рассмотрим случай = 1/2. Выведем следующее выражение для первого момента ⟨⟩ =2 ⟨ 2 ⟩+ 2 ,2(4.41)99где =∫︀ ∞0 () в , () = () − ⟨()⟩, и = ⟨()⟩.Используя определение спектральной плотности, получим для безразмерного времени и частоты Ω2⟨ ⟩ = (0) =422∫︁∞−∞′ (Ω)Ω2=1 + Ω22∫︁∞− ′ ( ).(4.42)0Здесь были использованы следующие обозначения: =,2′ ( ) = (), Ω =2,′ (Ω) = 2 ().
Возвращаясь к времени вместо , получим итоговое выражение для среднего значения 21⟨⟩ = 2 +2∫︁∞− 2 0(︀ )︀¯ 2 2, () = 2 +2(4.43)где чертой обозначено преобразование Лапласа.Для случая, когда время корреляции шума достаточно мало ≪ 2/, можно упростить уравнение (4.43)21⟨⟩ = 2 +2∫︁∞ () =02 (0)+.28(4.44)Это выражение соответствует хорошо известному приближению для скореллированногопроцесса, когда он описывается марковским процессом [123]. Для временных интервалов,значительно превышающих время корреляции, процесс () можно считать марковским, чтоозначает, что процесс () с корреляционными функциями (1 , . . . , ) может быть заменендельта-коррелированным процессом с корреляционными функциями (2 − 1 ) .
. . ( − 1 ),с такими же коэффициентами интенсивности , как и у исходного процесса ().Таким образом, полученное уравнение (4.44) демонстрирует сильную зависимость среднего решения уравнения (4.1) от корреляционных свойств рассматриваемого случайного процесса.Уравнение (4.44) полностью соответствует уравнению (4.40) в случае пуассоновскогобелого импульсного процесса, но оно отличается от уравнения (4.26) для гауссовского белогошума тем, что в уравнении (4.44) возникает дополнительное слагаемое, пропорциональное (− ).
Это различие можно устранить, если учесть условие отражения на границе с помо∑︀ ˙щью дополнительного слагаемого −2( − 0)1|()=− [136]. Для импульсного процесса0<≤1000.5w(x, t)0.4t=00.3t = 0.050.2t = 0.50.10.0t=50102030xРис. 4.1. Эволюция различных начальных распределений со временем из уравнения (4.45):усеченное двойное нормальное распределение (зеленый), равномерное распределение(красный), распределение в виде дельта-функции (синий). Использованные параметры: = 1/2, = 2, = 1, = 10.с положительными значениями высоты импульсов такая корректировка не требуется, так˙ неотрицательна при = − .как ()В данной главе в уравнении (4.1) было рассмотрено два вида случайного процесса.
Первый — пуассоновский процесс с задержкой [137], второй — импульсный процесс с фиксированными точками [101]. Оба типа случайных процессов подробно описаны в соответствующихподразделах раздела 3.1.1.4.2Численное моделированиеКак было отмечено выше, на достаточно большим временах ( ≫ 1/[(1 − )]) функция плотности распределения вероятностей (4.19) переходит в стационарное распределение (4.24). На рисунке 4.1 показан переход к стационарному распределению (4.24) с течением временем для различных начальных распределений (,0), а именно: распределенияв виде дельта-функции (,0), равномерного (,0) и усеченного двойного нормального1015γ = 0.64γ = 0.53hx iγ = 0.42100246810tРис.
4.2. Графики зависимости среднего значения от времени для различных значений и постоянных значений других параметров: = 1, = 2, = 10. Сравниваются результатытеоретического (сплошные линии) и численного (точки) расчета, полученные для случаягауссовского белого шума.распределений (,0) (,0) = ( − 0 ), (,0) = ℎ1 , ∈ [0,ℎ],(︁)︁)︁(︁2(−2 )21)1 exp − (−exp−2212222[︁[︁(︁(︁)︁]︁ + √)︁]︁ , ≥ 0. (,0) = √1211√√21 1 − 2 erfc 222 1 − 2 erfc 21(4.45)2Здесь 0 = 20, ℎ = 10, 1 = 1/7, 1 = 10, 1 = 1, 2 = 6/7, 2 = 15, 2 = 3.Было проведено численное интегрирование уравнения (4.1). В вычислениях были использованы три типа случайного процесса: белый гауссовский шум с ненулевым средним;пуассоновский импульсный процесс с задержкой 0 и средним временным интервалом междусоседними импульсами ; импульсный процесс с фиксированными точками, характеризуемый постоянным временным интервалом и временным интервалом , внутри которогоможет возникнуть импульс.Для нахождения численного решения уравнения (4.1) с белым гауссовским шумом былаиспользована сильная схема Тейлора порядка 1.5 [138] с шагом по времени 10−6 .
В случаепуассоновского процесса с задержкой и процесса с фиксированными точками было проведенопрямое моделирование уравнения (4.1). В качестве генератора псевдослучайных чисел былиспользован вихрь Мерсенна [127]. Усреднение было проведено по 106 случайных реализаций.На рисунках 4.2 и 4.3 показано среднее и дисперсия, полученные путем теоретическогорешения (4.23) и численного интегрирования уравнения (4.1) для случая, когда случайный10250γ = 0.640σx230γ = 0.520γ = 0.41000246810tРис. 4.3. Графики зависимости дисперсии от времени для различных значений ипостоянных значений других параметров: = 1, = 2, = 10. Сравниваются результатытеоретического (сплошные линии) и численного (точки) расчета, полученные для случаягауссовского белого шума.5a=4 b=2 D=34a = 1 b = 2 D = 10hx i32a=2 b=3 D=5100246810tРис.
4.4. Графики зависимости среднего значения от времени для различных значений ,, и постоянного значения экспоненты = 1/2. Сравниваются результаты теоретического(сплошные линии) и численного (точки) расчета, полученные для случая гауссовскогобелого шума.процесс представлен в виде гауссовского белого шума, для различных значений параметра .Значения для других параметров были зафиксированы: = 1, = 2, = 10, начальноераспределение имело вид дельта-функции с 0 = 1.На рисунках 4.4 и 4.5 также показаны результаты теоретического и численного расчетадля уравнения (4.1) в случае, когда случайный процесс представлен в виде гауссовскогобелого шума.
При этом = 1/2, и начальное распределение имело вид распределения Рэлея10320a = 1 b = 2 D = 1016a=4 b=2 D=3σx2128a=2 b=3 D=5400246810tРис. 4.5. Графики зависимости дисперсии от времени для различных значений , , ипостоянного значения экспоненты = 1/2.
Сравниваются результаты теоретического(сплошные линии) и численного (точки) расчета, полученные для случая гауссовскогобелого шума.2.42(4.25)(4.40)(4.37)2.41hx i2.402.392.382.37200250300350400450500tРис. 4.6. Графики зависимости среднего значения от времени для пуассоновского белогошума (точки), выведенный из стационарных решений, полученных в следующихуравнениях: уравнение (4.40) (сплошная линия), уравнение (4.37) (прерывистая линия),уравнение (4.25) (пунктирная линия).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
