Диссертация (1105361), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.3. Корреляционная функция пуассоновского процесса с задержкой для разныхзначений параметра периодичности ( = 2, 0 = 1): 0 / = 0,8 (сплошная зеленая линия иромбы), 0 / = 0,5 (пунктирная красная линия и круги), 0 / = 0 (пунктирная чернаялиния и квадраты). Вертикальными линиями с символом соответствующей формыпоказаны дискретные части спектральной плотности, значения которых соответствуютамплитудам дельта-функций.
Заметим, что дискретные части совпадают для 0 / = 0,8 и0 / = 0,5.ИПФТ задается следующим образом. Расположим точки на временной оси так, что между двумя соседними точками будет одинаковый интервал . Каждый импульс моделируемойпоследовательности соответствует единственной точке и появляется в ее окрестности на расстоянии от нее. Здесь — случайная величина с характеристической функцией Θ ().Таким образом, -ый импульс возникает в момент времени = + . ИПФТ характеризуется плотностью распределения вероятностей ; характеристическая функция для временного интервала между -ым и -ым импульсом имеет вид Θ () = − |Θ ()|2 , = − .Плотность распределения вероятностей для положений импульса внутри некотороговременного интервала длиной ≤ записывается как() =1, || ≤2(3.12)и Θ () = sinc( /2).
Отношение / характеризует степень периодичности процесса.Плотность распределения вероятностей для временных интервалов между двумя соседними импульсами описывается следующим выражением() = − | − |, | − | ≤ .2(3.13)653ϑT /T =0.2ϑT /T =0.5ϑT /T =1Sη210-30-20-100ω102030Рис. 3.4. Спектральная плотность ИПФТ для различных значений интервала ( = 2,0 = 1): / = 0,2 (сплошная зеленая линия и ромбы), / = 0,5 (пунктирная краснаялиния и круги), / = 1 (пунктирная черная линия и квадраты). Вертикальнымилиниями с символом соответствующей формы показаны дискретные части спектральнойплотности, значения которых соответствуют амплитудам дельта-функций.Среднее и дисперсия интервалов между соседними импульсами имеют вид, соответственно,⟨⟩ = , 2 =2.6(3.14)ИПФТ, как и описанный в предыдущем подразделе ИППЗ, может быть применендля моделирования стохастических процессов с разной степенью случайности.
На рисунках 3.1(d), 3.1(e), 3.1(f) данный процесс показан при разных значениях / . Несмотряна внешнее сходство с пуассоновским импульсным процессом с задержкой, можно отметить существенное отличие его корреляционных свойств от свойств импульсного процессас фиксированными точками; также различным будет влияние этих импульсных процессовна решение СДУ, в которое они включены в качестве мультипликативного шума.Используя уравнения (3.3) и (3.4), получим выражение для спектральной плотностиимпульсного процесса с фиксированными точками[︃(︂)︂]︃∞∑︁202221 − |Θ ()|2 +|Θ ()|2 −.
() ==−∞Спектральная плотность состоит из гребня Дирака или Ш-функции X(3.15)(︀ )︀2(дискрет-ная часть) и непрерывной части (см. рисунок 3.4). Стоит отметить, что (0) = 0 всегда дляэтого типа шума.661.00ϑT /T = 0.2ϑT /T = 0.50.75ϑT /T = 1K0.500.250.00-0.25-6-4-20246tРис.
3.5. Корреляционная функция процесса с фиксированными точками для различныхзначений интервала ( = 2, 0 = 1): / = 0,2 (сплошная зеленая линия и ромбы), / = 0,5 (пунктирная красная линия и круги), / = 1 (пунктирная черная линия иквадраты). Вертикальными линиями с символом соответствующей формы показаныдискретные части спектральной плотности, значения которых соответствуют амплитудамдельта-функций. В данном случае дискретные части совпадают для всех трех случаев.Корреляционная функция импульсного процесса с фиксированными точками выглядитследующим образом⎡ () =102 ⎢⎣() +∞∑︁=−∞̸=0⎤(︂Λ − )︂−1⎥⎦,(3.16)где Λ() — треугольная функция.
На рисунке 3.5 видно, что время корреляции бесконечнодля всех случаев, кроме / = 1.3.1.2Присоединение небольших островковВлияние подвижности небольших островков на динамику роста наноструктур редкоподвергается анализу в связи с тем, что подвижность островков сложно учесть в рамкахраспространенного теоретического метода описания роста островка с помощью кинетических уравнений. Таким образом, во многих работах считалось, что островки, особенно растущие за счет присоединения атомов, а не кластеров, являются практически неподвижными,по крайней мере, в большинстве гомоэпитаксиальных систем [59]. Однако, следует выделитьнесколько работ, где было показано влияние мобильности островков для случая, когда междуприсоединяющимися островками отсутствует слияние и не учитывается испарение с подложки. Влияние оказывается следующим: во-первых, изменяется критическая плотность остров-67ков на подложке, при которой отмечается насыщение (иначе говоря, максимальное значениеплотности островков) [86, 104–106]; было показано, что она может быть найдена с помощьюформулы = 0,3(/)0,42 , если все островки подвижны, причем подвижность обратнопропорциональна их размеру [86].
Во-вторых, насыщение плотности островков достигается при очень низких значениях степени покрытия подложки [86]. Это явление может бытьобъяснено динамическим равновесием между двумя процессами: формированием островкови слиянием, происходящим при низких значениях степени покрытия благодаря диффузииостровков.
В случае, когда движение присуще только мономерам, а более крупные образования неподвижны, островки могут сливаться только при достаточно высоких значенияхстепени покрытия подложки (примерно 10–15% [28,34]); такая коалесценция называется статической. Соответственно, при этих же значениях степени покрытия плотность островковна подложке достигает насыщения. В случае, когда островки тоже способны перемещаться,так называемая динамическая коалесценция начинается в начале процесса роста, и баланс,и, соответственно, насыщение, достигается при очень низких значениях степени покрытия(в [86] приводится оценка покрытия 0,25%).
Также стоит отметить, что подвижность островков сужает распределение размеров островков [106, 107].Перейдем к теоретическому описанию возможности присоединения небольших подвижных островков к большим. Пусть кластер или небольшой островок, состоящий из несколькихкластеров, присоединяется к большому островку в момент времени . Этот процесс можетбыть представлен в виде импульсного процесса() =∑︁ ( − ).(3.17)Каждый импульс соответствуют захвату частицы (кластера или небольшого островка),амплитуда -го импульса пропорциональна числу кластеров в частице, присоединяющейся в момент времени ; таким образом, размер большого островка, иными словами, числокластеров в нем изменяется: ˙ = ().
Этот импульсный процесс является пуассоновским процессом; расстояние между импульсами определяется вероятностью присоединениячастицы в единицу времени. Данный процесс — нестационарный, так как вероятность присоединения зависит от периметра большого островка, к которому присоединяется частица, и,соответственно, от размера островка и возрастает как , где постоянна (см. подробнеев разделе 3.2.1). Рассмотрен дельта-коррелированный импульсный процесс, определяющийсядвумя параметрами: средним значением ⟨⟩ = ⟨ ⟩ и постоянной спектральной плотно-68стью = ⟨ 2 ⟩ .
Оба указанных выше параметра пропорциональны — таким образом,можно заменить аддитивный нестационарный процесс на мультипликативный стационарныйпроцесс () = () с параметрами ⟨⟩ = ⟨ ⟩ и = ⟨ 2 ⟩. Средний временной интервалмежду импульсами обозначается переменной .Пусть небольшой движущийся островок содержит n кластеров. Критический размеростровка, при котором он еще способен перемещаться по подложке, ограничен величиной . Чтобы проанализировать влияние подвижности небольших островков на скорость ростабольших островков, будем считать, что островки диффундируют так же, как и кластеры.Влияние диффузии кластеров на распределение размеров островков было проанализированодля случае необратимого роста компактных островков на двумерной подложке; было предложено несколько механизмов диффузии больших частиц на твердых поверхностях [108–113].В работах показано, что коэффициент диффузии частицы зависит от размера частицы как ∼ n− , где — коэффициент диффузии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
