Диссертация (1105361), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Также в дальнейшем будет использоваться термин «свободный кластер» — это кластер, движущийся по подложке, т.е. еще неуспевший присоединиться к островку. Свободный кластер обладает возрастом — это время,прошедшее от момента осаждения кластера до настоящего момента времени или до моментаприсоединения к островку.2.1Уравнение баланса для скоростей кластеровЖизненный цикл кластера можно разделить на несколько основных этапов, называемых также элементарными процессами [59]: осаждение кластера, его диффузия по подложке(в работе считается, что подложка плоская и расположена горизонтально) и присоединениекластера к островку (см. рисунок 2.1).Начальным этапом жизни кластера является осаждение на подложку.
Этот процессхарактеризуется постоянным потоком осаждаемых кластеров и распределением скоростейосаждаемых кластеров ().47Рис. 2.1. Стадии жизненного цикла кластера: осаждение, диффузия, присоединение костровку.После осаждения кластеры начинают диффундировать по подложке. В работе [94] было высказано предположение, что кластеры движутся по подложке с ускорением, поэтомув рассмотрение было включено постоянное ускорение . Поскольку достоверная информацияо зависимости ускорения от времени отсутствует, в данном рассмотрении ускорение в первомприближении считается постоянным.
Можно легко перейти к описанию системы, в которойотсутствует ускорение, путем соответствующей замены параметров. Важно отметить, чтодля данной задачи факт наличия диффузии интересен только с точки зрения величиныскоростей кластеров: неважно, какой конкретно механизм диффузии реализуется в даннойзадаче.Для упрощения рассмотрения процесс движения кластера рассматривался как квазистабильный процесса [3].
Для этого было необходимо обеспечить постоянный баланс междуслучайной и детерминированной частями уравнения, что позволит определить стационарноераспределение скоростей в ансамбле. Таким образом, составим стохастическое дифференциальное уравнение для скорости кластера (), движущегося по подложке; рассмотрим егов интерпретации Стратоновича [3, 95]:()˙ =+√︀() (),(2.1)где () — стационарный гауссовский белый шум с ⟨ ()⟩ = 0 и ⟨ () ( + )⟩ = 2 ( ).Средняя скорость растет линейно со временем ⟨⟩ = ( + /2).48Последним этапом жизни кластера на подложке является его присоединение к островку.Так как во многих экспериментах было показано [32, 59], что кластеры на ВОПГ обладаютаномально большим коэффициентом диффузии, задача рассматривается в приближении,когда скорость роста островка много меньше скорости, с которой движется кластер.
Вероятность присоединения в единицу времени пропорциональна скорости кластера [96], коэффициент пропорциональности , он же параметр захвата, зависит от концентрации островков,их размера и формы.Таким образом, уравнение баланса для плотности скорости кластера выглядит следующим образом:(,)=−[︂(︂)︂]︂2+(,) + 2 [(,)] + () − (,).2(2.2)Первое и второе слагаемое уравнения (2.2) описывают динамику скорости кластера в соответствии с уравнением (2.1); эти слагаемые определяются кинетическими коэффициентамуравнения Фоккера-Планка, соответствующего уравнению (2.1).
Третье слагаемое описываетпроцесс осаждения, четвертое — учитывает процесс захвата кластера островком.Плотность скорости удовлетворяет начальным и граничным условиям(︀[︀[(,)] − + )︀2(,0) = 0 (),]︀(,) =0 = 0,(2.3)(∞,) = 0.√︁√√︀ Перейдем к безразмерным переменным =,=,(,)=(︁√︁)︁×, √, после чего уравнение (2.2) примет вид(, )2= 2 [(, )] −(︂1+ 2)︂(, ) + (︃√︂)︃− (, ),(2.4)с начальными и граничными условиями[︁[(, )] −(︁(,0) = 0 () ≡)︁]︁1+ 2 (, )= 0,=0(∞, ) = 0.√︁ 0(︁√︁)︁,(2.5)49Решение задачи (2.4)–(2.5) может быть представлено в виде(, ) =∫︁ ′0∫︁(︃√︂∞(,, ′ , ′ )0)︃∫︁ ∞ ′′(,, ′ ,0)0 ( ′ ) ′ .
+0(2.6)Здесь (,, ′ , ′ ) ≡ (, ′ , − ′ ) — функция Грина для данной задачи. Функция (, ′ , )является решением уравнения2= 2 [] −(︂1+ 2)︂− ,(2.7)с начальными и граничными условиями[︁ −(︁(, ′ ,0) = ( − ′ ),)︁ ]︁1−2 = 0,(2.8)=0|| < ∞, > 0.Решим задачу (2.7)–(2.8), используя преобразование Лапласа2 [︀]︀¯ − ( − ) = ¯ − 2′(︂1+ 2)︁ ]︁[︁(︁¯1¯ − − 2 =0)︂¯¯− ,= 0,(2.9)(2.10)¯ < ∞.||Здесь черта над символом обозначает преобразование′¯(,,) =∫︁∞− (, ′ , ).(2.11)0¯ = () −1/2 , где =Для каждой из областей < ′ и ′ > подстановка 2− 41 ,сводит уравнение (2.9) к уравнению Уиттекера, таким образом, решение уравнения (2.9)представляет собой суперпозицию линейно независимых выражений −1/2 −/2, (2) и −1/2 −/2, (2), где > 0.
Здесь , () и , () — функции Уиттекера [97]. Используя граничные условия (2.10), получаем′¯(,,) = ⎧⎪⎨()− , (2), < ′ ,2−1/2⎪⎩()− 2 , (2),′>.(2.12)50Одна из неизвестных функций () и () находится из условия непрерывности функции Грина в = ′ . Чтобы найти вторую функцию, проинтегрируем уравнение (2.9) в окрестности точки = ′ для получения условия сшивания⃒⃒¯⃒¯⃒1⃒⃒−= − ′.⃒⃒ =′ +0 =′ −0Используя [97], получим выражение для преобразования функции Грина⎧)︀⎪(︂ )︂−1/2 (︀ 1′′Γ 2 + + 2 ⎨− 2 , (2)− 2 , (2 ), < ,1′¯(, ,) = ′2 ′Γ(1 + 2) ⎪⎩ (2) (2 ′ ), > ′ ,− 2 ,− 2 ,(2.13)или, в более компактной форме,1′¯(,,) = ′2)︀(︂ )︂−1/2 (︀ 1Γ 2 + + 2− 2 , (2< )− 2 , (2> ),′Γ(1 + 2)(2.14)где < = min(, ′ ) и > = max(, ′ ).В итоге, применяя обратное преобразование Лапласа, получим функцию Грина1(, , ) =2′∫︁+∞′¯ (,,),(2.15)−∞где > 0. Интеграл в уравнении (2.15) — это интеграл Бромвича, его можно оценить с помощью теоремы о вычетах.
Поскольку функции Уиттекера являются аналитическими функциями по первому индексу в C, у преобразования функции Грина (2.14) есть только простые(︀)︀полюсы, возникающие из множителя Γ 12 + + 2 : = −(2 + 2 + 1), ∈ Z+ . Тогда−(2+1)(, , ) = ′ Γ(1 + 2)′(︂ )︂−1/2 ∑︁∞(−1) −2+ 1 +, (2< )+ 1 +, (2> ).22′!=0(2.16)Подставляя это выражение в уравнение (2.6) и возвращаясь к переменным и , получим∞)︂(︂√︂)︂ (˜ )˜ < > ˜0√]︂∫︁ [︂∞−(2+1) −1/2 ∑︁ (−1) −2√ ∞ (˜)√+0 (˜) −Γ(1 + 2)!(2+2+1)0=0(︂ √︂)︂(︂ √︂)︂−−1/2× ˜+ 1 +, 2< + 1 +, 2> ˜ , (2.17)22 (,) =∫︁−(︂√︂51где < = min(,˜ ) и > = max(,˜ ). Функции () — функция Инфельда, () — функцияМакдональда. Здесь было использовано соотношение между функциями Уиттекера и функциями Инфельда и Макдональда [97].Отметим, что выражения (2.16) и (2.17) неудобны для анализа на малых временах.Для получения более практичного выражения используем соотношение между функциямиУиттекера и обобщенными полиномами Лагерра [97].
Получим−− ′′(, , ) = 2∞−(2+1) ∑︁!(2)′(2)−2 (2) (2) (2 ).Γ(1 + 2) =0 (2 + 1)2(2.18)Ряд можно просуммировать [98], в итоге получим(︂ )︂ −(+′ ) coth( )(︂ √ ′ )︂2 (, , ) =.2′sh( )sh( )′(2.19)√Для достаточно больших времен ( ≫ 1/[(2 + 1) ]) плотность скорости кластеров,выраженная уравнением (2.17), стремится к постоянному значению{︃ (︂√︂)︂ ∫︁ (︂√︂)︂ −˜ () = ˜ (˜ )˜0}︃(︂√︂(︂√︂)︂ ∫︁ ∞)︂+ ˜− ˜ (˜ )˜ . (2.20)Используя [99], получим стационарную концентрацию кластеров √=4(︂4)︂ +12(︂1Γ +2)︂ ∫︁∞{︃˜− 0(︂√︂)︂)︂}︃(︂√︂ (˜ )˜,˜ − L˜(2.21)где L () — модифицированная функция Струве [97].Отметим, что функция плотности распределения вероятностей для скоростей кластеровпропорциональна плотности скорости кластеров(, )(, ) = ∫︀ ∞.(,)0(2.22)Моменты распределения скоростей кластеров находятся из выражений (2.17) и (2.22)и позволяют характеризовать физические свойства рассматриваемой системы.
В случае () = () выражения (2.20) и (2.21) значительно упрощаются, что позволяет записать52функцию плотности распределения вероятностей для стационарного случая как)︁ +1(︁2(︂√︂)︂4 4)︀ ,() = √ (︀Γ + 12а ее моменты — как(︂ = 2)︂ 2(2.23)Γ())︀ .B + 12 , 2(2.24)(︀Следует отметить, что рассмотрение стационарного случая особенно актуально для данной задачи, поскольку он представляет собой описание ситуации, в которой число осажденных на подложку кластеров равно числу кластеров, присоединившихся к островку.2.2Численное моделированиеВ данном разделе приведены результаты численного моделирования динамики кластеров на подложке.
Каждый кластер осаждается на подложку в случайный момент времени;скорость, с которой он начинает движение по подложке, подчиняется заданному распределению скоростей. Ускорение кластера описывается уравнением (2.1) в приближении Стратоновича. Вероятность того, что кластер присоединится к островку за время ∆, составляет(1 − exp(−∆)). В моделировании была использована схема Мильштейна с временным ша-гом 10−4 . Для получения псевдослучайных чисел был использован зиккурат-алгоритм Марсальи [100]. Общее число кластеров на единицу площади подложки составляло 105 в каждойреализации.0.200.15w(v, t)t = 0.10.10t = 0.3t = 0.50.05t = 0.70.00020406080vРис. 2.2.
Изменение функции плотности распределения вероятностей для скоростейкластеров с течением времени ( = 2, = 2, = 0,2, = 104 , распределение скоростейосаждаемых кластеров имеет вид [0;∞) (5,1)): результаты теоретического (линии) ичисленного (символы) расчета. Начальная плотность скорости 0 [0;∞) (40, 1) с 0 = 5 · 104 .530.4a=2a = 20a = 60w(v)0.30.20.10.00246810vРис. 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
