Диссертация (1105361), страница 9
Текст из файла (страница 9)
случайным образом выбрать частицу, с которой будет происходить выбранный процесс;4. передвинуть частицу;5. увеличить время на временной интервал;6. вернуться к пункту 1.Метод КМК часто применяется для упрощенного описания роста пленок [72,77,86]. Методы КМК нашли широкое применение, в частности, для описания роста островков из кластеров. Для применения описанного выше метода необходимо выделить основные элементарные процессы, составляющих процесс роста островка. Говоря об определении элементарныхпроцессов, следует выделить как наиболее популярную ОДП модель («осаждение-диффузияприсоединение») [27], в которой элементарными процессами являются осаждение кластеров,41их диффузия и присоединение к островкам.
Иногда в данную модель также включаетсяиспарение [59]. В модели ОДП используются следующие допущения:– осажденный кластер не может немедленно отскочить от подложки;– считается, что отсутствует диффузия кластеров вдоль границы островка и отделениекластеров от островка;– отсутствует слияние между кластерами;– диффузия кластера является броуновской.Все вышеперечисленные требования выполняются, в частности, для тонких пленок изкластеров сурьмы, полученных методом ОПНК [27].В качестве примера использования метода КМК можно привести моделирование, проведенное в работе [60].
На рисунке 1.15, полученном в этой работе, показано, что форма иповерхностная плотность островков, полученных в моделировании, очень близки к экспериментальным данным.Следует отметить, что метод КМК оказывается крайне ресурсозатратным с точки зрения компьютерных вычислений [87]. При высоких температурах некоторые процессы в рассматриваемой системе могут проходить крайне быстро, что приводит к уменьшению шагапо времени [88] и, в итоге, к еще большей времязатратности. Также отмечается, что времязатратность методов КМК существенно возрастает, если ведется рассмотрение частиц,успевающих пройти большое расстояние по подложке до момента присоединения [89].Таким образом, основной недостаток существующих аналитических методов заключается в том, что для достижения точности в оценках распределения размеров растущих островков или их поверхностной плотности необходимо вводить в рассмотрение большое числопараметров, тем самым сводя аналитические методы к численным.
Недостаток же численныхметодов заключается в их большой ресурсо- и времязатратности. Необходим аналитическийподход, который совмещал бы в себе точность и простоту, позволяющую легко оценить, какбудет происходить рост структур при данных параметрах. В данной работе предложен метод, основанный на решении стохастического дифференциального уравнения для размераостровка.42Рис.
1.16. Разбиение временного интервала, использованное в определении стохастическогоинтегрирования [90].1.3Численное решение стохастическихдифференциальных уравнений1.3.1Интеграл Ито и СтратоновичаРассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение˙ = ((),) + ((),) (),(1.10)где ((),) и ((),) — некоторые известные функции, () — флуктуирующий случайныйчлен, такой, что ⟨ ()⟩ = 0 и ⟨ () (′ )⟩ = ( − ′ ) [90]. Предполагается интегрируемостьуравнения (1.10), в связи с чем интеграл∫︁ () =′ (′ )(1.11)0существует.
Можно показать, что () = (), т.е. является винеровским процессом [90].∫︀Определим стохастический интеграл (′ ) (′ ) как интеграл Римана-Стилтьеса.0Разобьем интервал [0 ,] на подынтервалов с помощью точек разбиения (рисунок 1.16)0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ . .
. ≤ −1 ≤ и выберем промежуточные точки на каждом подынтервале:−1 ≤ ≤ .Искомый стохастический интеграл∫︀(′ ) (′ ) определяется как предел частичных0сумм =∑︁=1( )[ ( ) − (−1 )].(1.12)43Интеграл, определенный как предел , будет зависеть от конкретного выбора промежуточных точек . Будем выбирать эти точки так, чтобы = −1 , таким образом, стохастический интеграл Ито от функции () будет определен как∫︁ (′ ) (′ ) = ms-lim{︃ ∑︁→∞0=1}︃(−1 )[ ( ) − (−1 )] ,(1.13)где под ms-lim понимается среднеквадратичный предел.
(2.9.2)Для получения стохастического интеграла Стратоновича подынтегральная функция() представляется как полусумма 1/2[( ) + (+1 )], отсюда∫︁ (′ ) (′ ) = ms-lim→∞0{︃ ∑︁ ( ) + (+1 ))=12}︃[ ( ) − (−1 )] .(1.14)Путем преобразования слагаемого ((),) можно легко перейти от формы Ито к формеСтратоновича [91].В данной работе вычисление стохастических интегралов будет проводиться в формеСтратоновича.1.3.2Методы математического моделирования стохастическихдифференциальных уравненийРассмотрим систему, на которую действует внешний шум. Для описания динамики системы используется стохастическое дифференциальное уравнение() = ((),) + ((),) ∘ (),(1.15)где () — независимый винеровский процесс.Рассмотрим три наиболее часто используемых метода математического моделирования,основанных на стохастическом аналоге разложения Тейлора [92]: схема Эйлера-Маруямыпорядка 0.5, схема Мильштейна порядка 1.0 и сильная схема Тейлора порядка 1.5.Самым простым методом является схема Эйлера-Маруямы порядка 0.5.
Она имеет следующий вид{︂}︂(+1 ) − ( ) = ∆ + ∆=,(1.16)44где∫︁+1 = +1 − ∆ =и величина∫︁+1 ()∆ =распределена как (0; ∆ ).Схема Мильштейна, являющаяся явным одношаговым сильным методом порядка1.0 [93], также основана на использовании стохастического аналога ряда Тейлора. В нейиспользуется на одно слагаемое больше, чем в предыдущем методе, и она формулируетсяследующим образом [91]{︂}︂1 2(+1 ) − ( ) = ∆ + ∆ + ∆.2! =(1.17)Сильная схема Тейлора порядка 1.5, также являющаяся одношаговым явным сильнымметодом, широко используется при решении стохастических дифференциальных уравнений.Данная схема получается из упомянутых выше путем добавления следующих членов разложения Тейлора. Вычисления с ее использованием проводятся следующим образом{︂(︂)︂1 1 2(+1 ) − ( ) = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ++∆22! 2 (︂}︂)︂ [︁]︁1 3++∆ ∆ − ∆ + ∆, (1.18)3! =где величина∫︁+1∫︁2∆ = (1 )2 .имеет нормальное распределение с нулевым средним, дисперсией 2 = 31 ∆3 и ковариацией⟨∆ ∆ ⟩ = 12 ∆2 .451.4Постановка задачиСуществует задача описания роста двухмерного островка, формирующегося на подложке из высокоориентированного пиролитического графита (ВОПГ) из заранее сформированных кластеров металлов, а также динамики скоростей движущихся кластеров.
Кластерыимеют размер от десятков до тысяч атомов и осаждаются на поверхность ВОПГ с низкимиэнергиями, что позволяет обеспечивать отсутствие повреждения поверхности и разрушениякластеров. Осажденные кластеры диффундируют по подложке и либо объединяются в зародыши островков, либо присоединяются к уже имеющимся островкам.В данной работе рассматривается субмонослойный режим роста, и не рассматриваетсяначальный этап процесса формирования островков, когда кластеры формируют зародыши.Таким образом, в работе предполагается, что на поверхности уже имеются крупные островки, к которым присоединяются движущиеся кластеры или небольшие подвижные островки,обеспечивая тем самым их рост.
Также не рассматривается ситуация, когда островки занимают настолько большую часть подложки, что нельзя пренебречь процессом объединениядвух крупных островков. Формирующиеся островки являются двухмерными, таким образом,считается, что если при осаждении кластер попадает на поверхность островка, он движетсяпо ней, пока не достигнет границы островка и присоединится к ней.В описываемой модели отсутствует отделение уже присоединившихся кластеров от островка и распад островка, а испарение подвижных кластеров не рассматривается отдельно,так как может быть учтено за счет изменения потока осаждаемых кластеров.46Глава 2Распределение скоростей кластеров вприближении медленного роста островкаДанная глава посвящена анализу распределения скоростей кластеров, движущихсяпо подложке из высокоориентированного пиролитического графита (ВОПГ) [6].
Рассмотрен ансамбль движущихся по подложке кластеров, являющийся открытой системой: новые кластеры появляются в ней в результате осаждения на подложку, а старые кластерыпокидают систему, присоединяясь к островкам. Таким образом, динамику системы можноописать уравнением баланса. Состояние ансамбля свободных кластеров описывается зависящей от времени функцией распределения для скоростей кластеров и их времен жизни.Под временем жизни здесь понимается временной отрезок от момента осаждения кластерана подложку до момента его присоединения к островку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
