Диссертация (1105361), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Видно, что выражения (3.33) и (3.36)согласуются с уравнениями, представленными в работах [35, 36] (⟨⟩ = (∞,) = в отсутствии процесса, приводящего к отделению кластеров от островка).В работе [72] для некруглых островков было предложено заменить радиус в уравнении (3.35) на эффективный радиус, соответствующий структуре островка. При низких температурах или в отсутствие краевой диффузии, когда на подложке растут островки с дендритной структурой, эффективный радиус имеет степенную зависимость от площади островка( ) ∼ ( ) ,где — число кластеров в островке. Важно отметить, что эффективный радиус пропорционален периметру островка.Параметр ∈ [1/2, 1) характеризует степень ветвистости островка (рисунок 3.7).

Если = 1/2, островок имеет компактную форму. Если → 1, островок представляет собой75γ ≈ 0.55γ ≈ 0.7γ ≈ 0.95Рис. 3.7. Примеры островков, различающиеся параметром ветвистости .дендритную структуру с тонкими ветвями, толщина каждой ветви стремится к размеруодиночного кластера. Необходимо отметить, что −1 соответствует фрактальной размерностиостровка [121]. Параметр определяется какln ( ), →∞ ln ( ) = lim(3.37)где ( ) — периметр островка.В итоге получаемΠ() ∼ [︁√︀]︁√︀1 1 + (1 − Θ) 2 2 .(3.38)Таким образом, поскольку кластеры присоединяются только к границе островка, скорость роста островка зависит от длины его границы, и, в итоге, можно записать следующеевыражение для изменения периметра островка]︁[︁√︀√︀1 1 + (1 − Θ) 2 2 .Π() ∼ (3.39)Предполагается, что на рассматриваемом этапе роста не изменяется с течением времени [111,122]. Для дендритной структуры это означает, что средняя толщина ветвей увеличивается по мере роста островка.

Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение,описывающее размер островка, может быть записано следующим образом˙ = (),(3.40)где () — случайный процесс, зависящий от потока кластеров и коэффициента диффузиикластеров на подложке. Поскольку рассматривается необратимый рост, изменение размераостровка может быть только неотрицательным, в связи с чем () может принимать тольконеотрицательные значения. Уравнение (3.40) рассматривается в приближении Стратоновича [123, 124].76Рассмотрим следующее СДУ= (), ∈ R+ ,(3.41)где () — стационарный гауссовский белый шум со средним ⟨ ()⟩ = > 0 и автокорреляционной функцией ⟨ ()_( + )⟩ = 2( ) + 2 .Соответствующее уравнение Фоккера-Планка для функции плотности распределениявероятностей (,) записывается как [123])︀]︀]︀ 2 [︀(,) [︀(︀ =− + 2−1 (,) + 2 2 (,) .(3.42)Функция (,) удовлетворяет начальному и граничным условиям(, 0) = (),]︂(︀ )︀2−12 − − = 0, =0]︂[︂(︀ )︀2−12 = 0.lim − − →∞[︂(3.43)Здесь () — неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки и обеспечивающая согласование начальных и граничных условий.

В соответствии с граничнымиусловиями поток вероятности исчезает на границах = 0 и = ∞.Переходя к новой переменной = 1− /(1 − ), преобразуем уравнение (3.42) к виду 2= −+ 2.(3.44)Соответствующие начальные и граничные условия задаются следующими выражениями(, 0) = () ≡ (()) [(1 − )] 1− ,[︂]︂ −= 0, =0[︂]︂ lim−= 0.→∞ (3.45)Решение третьей краевой задачи для параболического уравнения (3.44) с условиями (3.45) может быть получено с помощью преобразования Лапласа [125]. Переходя обратно77к переменной , получим решение уравнения (3.42)(, ) = −∫︁∞[︃01√41− − 1−)2 (−+42(1−)⎛⎝ −1−2(1− − 1− )4(1−)2 (1−)−erfc2(︃2−+(1− + 1− )4(1−)2 (1 − ) + 1− + 1−√︀4(1 − )2 ⎞⎠)︃]︃().

(3.46)Получим аналитическое выражение для моментов . Проинтегрируем по произведениестепенной функции и первых двух слагаемых подынтегрального выражения для плотностираспределения вероятностей (3.46) [99]. Третье слагаемое подынтегрального выражения интегрируем по частям, используя разложение неполной гамма-функции [97]. В итоге,(︂)︂]︀ 1 [︀2 2−2 () = √2(1 − ) Γ+11−2(︃)︃∫︁∞[︃ ((1−)+ 1− )21−(1−)+−8(1−)2 − 1−− √︀×−12(1 − )2 02(︃)︃]︃)︂∞ (︂((1−)− 1− ) 1− ∑︁1−2(1−)−−−28(1−) (1−)+−√− √︀(), (3.47)− 1−−1−22(1 − )2 =0где () — функция параболического цилиндра.

Предполагается, что начальное распределение таково, что интегралы (3.46) и (3.47) сходятся (например, () ∈ L2 (R+ )).Если начальные условия представлены в виде дельта-функции (,0) = ( − 0 ), выражение для плотности распределения вероятностей (3.46) приобретает вид− −(, ) = √((1−)−1− +1−)024(1−)2 +2(0 )1−)︂(0 )1−ch2(1 − )2 (︃)︃1−(1 − ) + 1− + 01−− (1−)√︀erfc, (3.48)−24(1 − )2 (︂78и совпадает с распределением, полученным в работе [3] для = 0. Тогда выражение длясреднего значения ())︂(︂]︀ 12−1 [︀2 2−22(1 − ) Γ⟨()⟩ = √1−2[︃ (1−)+1− 2(︃)︃()1−0(1−)+−08(1−)2 × −2 − √︀1−2(1 − )2 2(︃)︃]︃)︂∞ (︂((1−)−1−) 1−1−0∑︁02(1−)−−−08(1−)2 (1−)−√ −2 − − √︀. (3.49)+21−22(1−)=0На больших временах ≫1−0(1−)информация о начальном распределении исчезает, иплотность распределения вероятностей стремится к виду−−(, ) = √42(1− −(1−)) [︂4(1−)2 11 − erfc2(︂√4)︂]︂−1.(3.50)Тогда асимптотические выражения для среднего и дисперсии соответственно приобретаютвид1⟨()⟩ = [(1 − )] 1−(3.51)и 2 () =1+2[(1 − )] 1− .(1 − )(3.52)Если начальное распределение локализовано в области относительно небольших значений , выражение (3.46) можно преобразовать в формулу (3.50) для достаточно большихвремен.Если размер островка достаточно велик, относительное изменение за единицу времени мало, вследствие чего дискретный процесс, динамика которого описывается СДУ (3.40),может быть аппроксимирован непрерывным процессом и, соответственно, уравнением (3.41).Обобщенная модельВ данном подразделе будут учтены некоторые влияющие на рост островков факторы,которые зависят от времени и которые считались постоянными в предыдущем разделе, такие, как поток температуры, число островков, окружающих рассматриваемый островок, илидеформация подложки в результате роста островка.79Для учета зависящих от времени факторов была введена детерминированная фунция(), и СДУ приобрело вид()= (), ∈ R+ ,()(3.53)где () — стационарный гауссовский белый шум с ⟨ ()⟩=>0 и⟨ () ( + )⟩ = 2( ), () — общая функция геометрических параметров исследуемойсистемы.Переходя к переменной =∫︀ −1 (), приведем уравнение Фоккера-Планка к виду 2=−+ 2.() () 2(3.54)Соответствующие начальное и граничные условия будут иметь следующий вид(, 0) = () ≡ (()) [(1 − )] 1− ,[︂]︂ ()−= 0,=0]︂[︂ ()−= 0.lim→∞ (3.55)Решение третьей краевой задачи с зависящими от времени коэффициентами для параболического уравнения (3.54) с условиями (3.55) может быть получено с помощью потенциалапростого слоя [126].

Фундаментальное решение уравнения 3.54 может быть записано в виде1−ℰ(,,, ) = √︀42 (, )∫︁ ˜ (, ) =. ˜ ()(−1 (, )−)242 (, ), > ,(3.56)Тогда получим∫︁(,) =0∞ℰ(,,,0)() +∫︁0ℰ(,0,, )( ) ,(3.57)где второе слагаемое — потенциал простого слоя с плотностью (). Неизвестная функция() является решением интегрального уравнения Вольтерры второго рода∫︁() =K(, )( ) + (),0(3.58)80где ядро K(, ) и неоднородность () задаются выражениями1−K(, ) = √︀2 (, )∫︁ () =0∞1−√︀2 ()2 12 (, )42 (, )(1 ()+)242 ()(︂(︂()1 (, )−22 (, )1 () + ()−22 ())︂,(3.59))︂().(3.60)Здесь использовано обозначение () ≡ (,0).

Ядро (3.59) является слабосингулярным,и, таким образом, решение уравнения (3.58) может быть получено методом последовательных приближений (см., например, [125]). Единственность решения обсуждается в монографии [126].Решение уравнения (3.54) слишком громоздко, однако можно найти приближенное решение для достаточно больших времен . Допустим, что12 ()= ∞.→∞ 2 ()lim(3.61)Тогда составляющая потока вероятности, соответствующая первому слагаемому уравнения (3.57), стремится к нулю в связи с наличием в ней экспоненциальной функции. Учитываяусловие нормировки, получим выражение для функции плотности распределения вероятностей⎛ [︁∫︀]︁2 ⎞ −1∞ (˜)˜ − 1 () ⎟1⎜(, ) = √︀exp ⎝−⎠42 ()42 ()() 0∫︁[︃1× 1 − erfc2(︃)︃]︃−1∫︀ 1 () + 0 −1 (˜)˜√︀(). (3.62)42 ()Для достаточно больших значений времени информация о начальном распределенииисчезает, и функция плотности распределения вероятностей стремится к1(︃ [︀∫︀ exp −(, ) = √︀42 ()()0]︀2 )︃ −1 (˜)˜ − 1 ()42 ()[︃1× 1 − erfc2(︃ ()√︀ 142 ())︃]︃−1.

(3.63)Следует отметить, что от функции () зависит, насколько быстро исчезает информацияо начальном распределении.81Ниже рассмотрим несколько вариантов функции (), которые могут быть примененыдля анализа роста островков.1. () = Данный случай соответствует модели, в которой скорость роста пропорциональна периметру островка. Такая модель описывает случай, рассмотренный в подразделе 3.2.1.

Также, как и в этом подразделе, проведем замену переменной = 1− /(1 − ). Тогда функцияплотности распределения вероятностей имеет следующий вид2−(, ) = √︀42 ()∫︁∞−(1− −(1−)1 ()− 1− )4(1−)2 2 ()0[︃1× 1 − erfc2(︃(1 − )1 () + 1−√︀4(1 − )2 2 ())︃]︃−1(), (3.64)и ее моменты(︂)︂ ∫︁∞ ((1−)1 ()+ 1− )2]︀1 [︀−8(1−)2 2 () () = √2(1 − )2 2 () 2−2 Γ+11−20(︃)︃ [︃(︃)︃]︃−1(1 − )1 () + 1−1(1 − )1 () + 1−× − 1−− √︀1 − erfc √︀(). (3.65)−122(1 − )2 2 ()4(1 − )2 2 ()Для достаточно больших времен функция плотности распределения вероятностей стремится к2−−(, ) = √︀42 ()(1− −(1−)1 ())4(1−)2 2 ()[︃11 − erfc2(︃ ()√︀ 142 ())︃]︃−1.(3.66)Аналогично уравнениям (3.51) и (3.52) можно получить асимптотические выражениядля среднего и дисперсии1() = [(1 − )1 ()] 1− ,(3.67)2 2 () = 22 () [(1 − )1 ()] 1− .√√ 1 (κ )√2.

Характеристики

Список файлов диссертации