Диссертация (1105361), страница 16
Текст из файла (страница 16)
() = 0 (κ )(3.68)82Такой вид функции () возникает из приближения среднего поля для квазистатического роста круглого островка, когда поток кластеров через границу островка имеет вид(︁√)︁√ 1(︁)︁ .Π() = 2 √0 (3.69)Тогда функция плотности распределения вероятностей для стационарного случая√)︃√√20 (κ )[−2/κ ln [κ 1 (κ )] − 1 ()](, ) = √︀√ exp −42 ()42 ()1 (κ )(︃)︃]︃−1[︃1 ()1. (3.70)× 1 − erfc √︀242 ()(︃На рисунке 3.8 представлены функции плотности распределения вероятностей, масштабированные на среднее значение, для различных значений κ.
Значения параметров = 10−3 , = 10−4 , = 105 ; при расчете были использованы функции следующего вида: () = 1 и () = .Рис. 3.8. Функция плотности распределения вероятностей для размеров островков приразличных значениях κ, полученные с помощью выражения (3.70) ( = 10−3 , = 10−4 , = 105 ).3. () = + , ̸= 83Случай = 1 соответствует ситуации, находящейся вне приближения среднего поля,когда скорость роста островков пропорциональна площади островка. Когда = 0, уравнение (3.53) описывает формирование островков на дефекте подложки, при этом размерамидефекта нельзя пренебречь.Для−1−∈/ Z+ функция плотности распределения вероятностей для стационарного слу-чая⎛ [︁1⎜exp ⎝−(, ) = √︀42 ()( + )1−(1−) 2 1(︁1−,1 +1, −−1−; − −42 ()[︃1× 1 − erfc2(︃)︁]︁2 ⎞− 1 () ⎟⎠ ()√︀ 142 ())︃]︃−1. (3.71)Если = 1, выражение для функции плотности распределения вероятностей приобретает вид⎛ [︁1⎜(, ) = √︀exp ⎝−42 ()( + )]︁2 ⎞− 1 () ⎟⎠42 ()ln(1− +1)(1−)[︃1× 1 − erfc2(︃ ()√︀ 142 ())︃]︃−1.
(3.72)На рисунке 3.9 показаны функции плотности распределения вероятностей, масштабированные на среднее значение, для стационарного случая при различных значениях . Значения других параметров = 0.8, = 1, = 10−3 , = 10−4 , = 105 ; при расчете снова былииспользованы функции следующего вида: () = 1 и () = .3.2.2Влияние присоединения небольших островков на динамикуроста островкаВ данном подразделе рассматривается режим роста островка, в котором число островков на поверхности достигло постоянного значения, и начался процесс объединения островков, причем на начальных этапах происходит процесс присоединения небольших островковк крупным. Данный процесс может проходить двумя путями.
Первый способ заключаетсяв том, что в результате роста островка его граница движется и достигает соседних островков,что приводит к их слиянию. Второй способ связан с тем, что небольшие островки способны84Рис. 3.9. Функция плотности распределения вероятностей для размеров островков приразличных значениях , полученные с помощью выражений (3.71) и (3.72) ( = 0,8, = 1, = 10−3 , = 10−4 , = 105 ).диффундировать по поверхности подложки, достигая границы большого островка и присоединяясь к нему. Подобная мобильность небольших островков была отмечена на ВОПГ.В то же время диффузионное движение крупных островков незначительно [54].Таким образом, рост уже сформированных на подложке островков может происходитькак за счет присоединения кластеров, так и в результате присоединения небольших островков.
Следует отметить, что процесс слияния островков и кластеров с другими островкаминеобратим.Процесс роста островка в результате захвата диффундирующих кластеров и островковимеет стохастическую природу. В связи с этим размер островка рассматривается как нестационарная случайная величина, изменение которой описывается с помощью СДУ. Для получения зависимости размера островка от времени акт присоединения кластера или небольшогоостровка к крупному островку был представлен в виде импульсного процесса (см. подраздел 3.1.2).Было проведено численное интегрирование уравнения (3.40), в котором случайный параметр имел вид импульсного процесса (3.18) с двумя разными распределениями амплитуд,заданными уравнениями (3.19) и (3.20).
В качестве генератора псевдослучайных чисел былиспользован вихрь Мерсенна [127]. Усреднение было проведено по 106 случайных реализацийдля каждого рассмотренного случая. В качестве начального распределения было использо-8522002000N1800i = 11600i = 2i = 3140012001000010002000300040005000tРис. 3.10.
Зависимость среднего размера островка от времени для различных значенийначального критического размера островка ( = 0,6, 0 = 1000, = 5, = 2/3):результат теоретического (уравнение (3.47), непрерывные линии) и численного(уравнение (3.40), символы) расчета.вано обобщенное гамма-распределение [128], где — критический размер островка. Во всехпоследующих вычислениях средний временной интервал между двумя импульсами был равен = 1, масштабирующий фактор для высоты импульса 0 = 0,001. Импульсный процессс вероятностью (3.19) характеризуется предельным числом кластеров в захваченном островке и экспонентой . Значение было выбрано таким образом, чтобы уравнять вероятностидвух следующих событий:1.
захват небольшого островка, состоящего из трех кластеров, в результате движенияграницы большого островка;2. захват этого небольшого островка в результате его движения к границе большого островка.Среднее значение размера островка на рисунке 3.10 и его дисперсия на рисунке 3.11были получены для начальных распределений (см.
[128]) с начальным средним размеромостровка 0 = 1000, = 0,6. Случайный процесс характеризовался следующими параметрами: = 5 и = 2/3. Вычисление было проведено для различных критических размеров = 1, 2, 3. Следует отметить, что можно легко объяснить тот факт, что три кривые перекрываются на рисунке 3.10, в то время, как на рисунке 3.11 этого не происходит: это связано865£105i = 13i = 22N42i = 31010002000300040005000tРис. 3.11.
Зависимость дисперсии размеров островка от времени для различных значенийначального критического размера островка ( = 0,6, 0 = 1000, = 5, = 2/3):результат теоретического (уравнение (3.47), непрерывные линии) и численного(уравнение (3.40),символы) расчета.с тем, что при изменении среднее значение начального распределения остается постоянным,в то же время соответствующее среднеквадратичное отклонение изменяется, другими словами, изменение не влияет на динамику среднего размера, но влияет на изменение дисперсии.В работе проанализировано влияние изменения параметров случайного процесса на скорость роста островка.
В частности, на рисунке 3.12 показано влияние изменения значения на рост островка. Вычисления были проведены для = 5, 10, 15. Были использованыследующие значения других параметров: = 0,6, = 2/3, начальное распределение [128]с параметрами 0 = 1000, = 1. На рисунке 3.12 показано, что скорость увеличения среднего размера островка увеличивается с ростом . Этот факт может быть легко объяснен, таккак соответствует предельному размеру небольшого островка, присоединяющегося к большому островку, и увеличение позволяет большим островкам захватывать более крупныеостровки.На рисунке 3.13 показано изменение среднего размера островка с течением временидля случайного процесса с распределением амплитуд импульсов, соответствующим уравнению (3.19); результат был получен для значений параметра = 0,5, = 1, = 1,5.
Значениядругих параметров были = 0.6, = 5, и начальное распределение [128] с 0 = 1000 и = 1.Здесь средний размер островка увеличивается быстрее с уменьшением и, следовательно,872000N = 151800N = 10N16001400N=51200100005001000150020002500tРис. 3.12. Зависимость среднего размера островка от времени для различных значений ( = 0,6, = 2/3, и начального распределения [128] с параметрами 0 = 1000 и = 1):результат теоретического (уравнение (3.47), непрерывные линии) и численного(уравнение (3.40), символы) расчета.с увеличением вероятности присоединения более крупных островков. Этот результат такжепредсказуем: поскольку коэффициент диффузии увеличивается с уменьшением , среднеезначение шума и, следовательно, скорость роста островка также растет.
На том же рисунке 3.13 показаны результаты вычислений для импульсного процесса с геометрическим распределением амплитуд, соответствующим уравнению (3.20), с параметрами = 0,2; 0,3; 0,5;0,9. Следует отметить, что увеличение приводит к уменьшению скорости роста островка,так как с увеличением среднее значение импульсного процесса, равное 1/, убывает, чтоприводит к замедлению роста островка.На рисунке 3.14 показана зависимость скорости роста островка от степени его ветвистости . Видно, что скорость роста островка возрастает с увеличением . Другие параметры,использованные в вычислениях: = 5, = 2/3, начальное распределение [128] с 0 = 1000и = 1.На рисунке 3.15 демонстрируется изменение с течением времени распределения размеров островков, полученного из уравнения (3.46).
Параметры, при которых проводилосьвычисление, были следующими: = 0,6, = 5, = 2/3, начальное распределение [128] с0 = 1000 и = 1. Можно видеть, что с течением времени распределение уширяется, а егомаксимум смещается в сторону больших значений .88= 12000= 1/2p1800= 0.2p= 3/2= 0.3N1600p= 0.51400p120010000100020003000= 0.940005000tРис. 3.13. Зависимость среднего размера островка от времени для различныхраспределений амплитуды случайного процесса ( = 0,6, начальное распределение [128] с0 = 1000 и = 1): результат теоретического (уравнение (3.47), непрерывные линии) ичисленного (уравнение (3.40), символы) расчета; распределение вероятности (3.19) с = 5и = 1/2, 1, 3/2 (непрерывные линии и точки), геометрическое распределениевероятности (3.20) со значениями параметра = 0,2; 0,3; 0,5; 0,9 (пунктирные линии иромбы).3000= 0.95N2500= 0.8= 0.72000= 0.61500= 0.5100005001000150020002500tРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
