Диссертация (1105361), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Значения параметров следующие: = 1/2, = 1, = 0,7, 0 = 1.с = 2. Значения для других параметров были зафиксированы: = 1, = 2, = 10; = 4, = 2, = 3; = 2, = 3, = 5.Было проведено сравнение теоретических решений, приведенных в уравнениях (4.25),(4.37) и (4.40), когда условие (1 − ) ≪ 1 не выполняется. Были использованы следующиепараметры: 0 = 1, = 0,7, = 1, = 1/2. На рисунке 4.6 хорошо видно, что теоретическое решение (4.40) хорошо согласуется с численным моделированием уравнения (4.35), в то1041000510004hx i10003ϑ0 /T = 0.5910002ϑ0 /T = 0.99ϑT/T = 110001ϑT/T = 0.0241000099990200400600800100012001400tРис. 4.7.
Графики зависимости среднего значения от времени для различных случайныхпроцессов: пуассоновский процесс с задержкой при 0 / = 0,59 (фиолетовые ромбы) и0 / = 0,99 (красные круги); процесс с фиксированными точками при / = 1 (черныеквадраты) и / = 0,024 (зеленые треугольники). Значения остальных параметров былизафиксированы: = 1/2, = 0,1, = 0,1, 0 = 1. Графики для стационарноготеоретического решения, полученного из уравнения (4.25) с = (0)/4 для 0 / = 0,59(фиолетовая линия), 0 / = 0,99 и обеих реализаций процесса с фиксированными точками(красная линия).время, как выражение (4.25) дает завышенную оценку величины ⟨⟩, а уравнение (4.37) —заниженную.На рисунке 4.7 показан результат численного моделирования для случаев, когда случайный процесс имел вид пуассоновского импульсного процесса с задержкой и импульсногопроцесса с фиксированными точками; также на нем изображены теоретические решения, полученные из уравнения (4.25).
Были использованы следующие параметры: = 1/2, 0 = 1, = 0,1, = 0,1, начальное распределение имело вид распределения Рэлея с = 1. Параметры 0 и были выбраны таким образом, чтобы дисперсия расстояния между соседними импульсами была одинакова для обоих случайных процессов. Случайные процессы, всвою очередь, были рассмотрены в случае сильной периодичности 2 = 10−6 (0 / = 0,99и / = 0,024) и слабой периодичности 2 = 0,00167 (0 / = 0,59 и / = 1). Среднеерасстояние между соседними импульсами для обоих типов процессов было одинаково и составляло ⟨⟩ = .
При нахождении теоретического решения были использованы параметры = 0 / и = (0)/4 для соответствующих случайных процессов.Отметим, что масштаб оси на рисунках 4.6 и 4.7 выбран таким образом, чтобы быловидно различие средних значений, полученных из уравнений (4.25), (4.37) и (4.40) для рисунка 4.6 и уравнения (4.25) для рисунка 4.7. Это позволяет подчеркнуть различия в средних1051.08ϑ0 /T = 0.59ϑT/T = 1ϑ0 /T = 0.99ϑT/T = 0.024hx i1.061.041.021.000255075100tРис. 4.8. Графики зависимости среднего значения от времени для различных случайныхпроцессов: пуассоновский процесс с задержкой при 0 / = 0,59 (фиолетовые ромбы), и0 / = 0,99 (красные круги); процесс с фиксированными точками при / = 1 (черныеквадраты), и / = 0,024 (зеленые треугольники).
Значения остальных параметров былизафиксированы: = 1/2, = 1, = 1, 0 = 1. Графики для стационарного теоретического¯ (/2) для 0 / = 0,59 (фиолетоваярешения, полученного из уравнения (4.25) с = сплошная линия), / = 1 (черная сплошная линия), 0 / = 0,99 и / = 0,024 (краснаясплошная линия); и = (0)/4 для следующих значений параметров: 0 / = 0,59(пунктирная фиолетовая линия), 0 / = 0,99 и обеих реализаций процесса сфиксированными точками (пунктирная красная линия).значениях, вызванные различными статистическими свойствами использованных случайныхпроцессов. Однако, отклонения от результатов, полученных теоретически, не так велики, какони кажутся на первый взгляд.
На рисунке 4.6 среднеквадратичное отклонение среднего,√определяемое как ⟨⟩ = / , составляет примерно 0,002 (0,08%). На рисунке 4.7 среднеквадратичное отклонение среднего составляет 0,4 (0,004%) для пуассоновского импульсногопроцесса с задержкой 0 / = 0,59. Для пуассоновского импульсного процесса с задержкой0 / = 0,99 и импульсных процессов с фиксированными точками эта величина намногоменьше: 0,01 и 0 (из уравнения (3.15)), соответственно. В итоге, эти отклонения сравнимыс результатами на других графиках, таких, как рисунок 4.4, где среднеквадратничное отклонение составляет порядка 0,07% для значений параметров = 4, = 2, = 3. Результат,приведенный на рисунке 4.7, указывает на то, что в случае пуассоновского процесса с задержкой увеличения параметра периодичности, что соответствует увеличению задержки,уменьшает интенсивность флуктуаций среднего значения решения уравнения (4.1).
Напротив, менее периодичный процесс приводит к увеличению стационарного значения и к уси-10610.6ϑ0 /T = 010.4ϑ0 /T = 0.59ϑ0 /T = 0.99hx iϑT/T = 1ϑT/T = 0.02410.210.09.80102030405060tРис. 4.9. Графики зависимости среднего значения от времени для различных случайныхпроцессов: пуассоновский процесс с задержкой при 0 / = 0 (голубые треугольники,направленные вниз), 0 / = 0,59 (фиолетовые ромбы), 0 / = 0,99 (красные круги);процесс с фиксированными точками при / = 1 (черные квадраты) и / = 0,024(зеленые треугольники, направленные вверх). Значения остальных параметров былизафиксированы: = 0,4, = 0,5, = 0,5, 0 = 1.
Графики для стационарноготеоретического решения, полученного из уравнения (4.25) с = (0)/4 для 0 / = 0(голубая линия), 0 / = 0,59 (фиолетовая линия), 0 / = 0,99 и обеих реализацийпроцесса с фиксированными точками (красная линия).лению флуктуаций в решениях. Важно отметить, что в случае процесса с фиксированнымиточками изменение периодичности не влияет на стационарное значение решения.Различия между результатами численного моделирования уравнения (4.1) для процессас фиксированными точками с различными 2 не всегда пренебрежимо малы.
На рисунке 4.8этот факт показан для параметров = 1/2, 0 = 1, = 1, = 1 и начального распределенияв виде распределения Рэлея с = 1. Сравнение с результатами численного моделированияи стационарными теоретическими решениями, полученными из уравнения (4.25) с различ¯ (/2) и = (0)/4,ными аппроксимациями значения из уравнений (4.43) и (4.44) ( = соответственно), показывает, что равенство = (0)/4 неверно для (1 − ) ∼ 1. Видно,что условие (1 − ) ≪ 1 выполняется для параметров, использованных для вычислений,результаты которых показаны на рисунке 4.7, но не выполняется для параметров рисунка 4.8.Покажем, что изменится, если результат численного моделирования с пуассоновскимпроцессом с задержкой и процессом с фиксированными точками, а также теоретическоестационарное решение, получаемое из уравнения (4.25), будет найдено для случая, когдазначение отличается 1/2 (см.
рисунки. 4.9 и 4.10). Здесь были использованы параметры10735ϑ0 /T = 0ϑ0 /T = 0.5934ϑ0 /T = 0.99hx iϑT/T = 1ϑT/T = 0.0243332310102030405060tРис. 4.10. Графики зависимости среднего значения от времени для различных случайныхпроцессов: пуассоновский процесс с задержкой при 0 / = 0 (голубые треугольники,направленные вниз), 0 / = 0,59 (фиолетовые ромбы), 0 / = 0,99 (красные круги);процесс с фиксированными точками при / = 1 (черные квадраты) и / = 0,024(зеленые треугольники, направленные вверх). Значения остальных параметров былизафиксированы: = 0,6, = 0,5, = 0,5, 0 = 1. Графики для стационарноготеоретического решения, полученного из уравнения (4.25) с = (0)/4 для 0 / = 0(голубая линия), 0 / = 0,59 (фиолетовая линия ), 0 / = 0,99 и обеих реализацийпроцесса с фиксированными точками (красная линия).0 = 1, = 0,5, = 0,5; начальное распределение имело вид дельта-функции с 0 = 5.Для теоретического решения снова считалось, что = 0 / и = (0)/4.
Отметим, чтотеоретическое решение и результат численного моделирования удовлетворительно согласуются даже для случая (1 − ) . 1. Сравнение рисунков 4.9 и 4.10 показывает, что времярелаксации к стационарному состоянию увеличивается с увеличением .1084.3Случай нелинейной диссипацииОбобщим уравнение (4.1) на случай нелинейной диссипации= − + (), ∈ R+ ,(4.46)где () — стационарный белый гауссовский шум с ненулевым средним, а показатели степениподчиняются следующим неравенствам: 0 ≤ < 1 и > .Перепишем уравнение (4.46), выделяя ненулевое среднее из шумового слагаемого = ⟨()⟩. Тогда получим= − + (),(4.47)где () — белый гауссовский шум, ⟨ ()⟩ = 0 и ⟨ () ( + )⟩ = 2( ).Соответствующее уравнение Фоккера-Планка для функции плотности распределениявероятностей (,) имеет следующий вид)︀]︀]︀ [︀(︀ 2 [︀(,)=− − + 2−1 (,) + 2 2 (,)(4.48)с отражающей границей в = 0 (поток вероятности через границу равен нулю).В общем случае получить решение уравнения (4.48) затруднительно, но можно найтистационарное решение:(︂ () = (1 − )где =−1−(1 − ))︂ 11− −− (1−) (︃ (︀1 Ψ0(1−)(1−))︀⃒ )︃⃒⃒— ⃒1 1, ,(4.49)+ 1, Ψ (.
. . |) — обобщенная гипергеометрическая функция Райта [139] и=(1 − )(︂(1 − ))︂− 1.(4.50)Используя уравнение (4.49), найдем стационарное среднее значение :)︁⃒ )︃⃒⃒1 Ψ0⃒—(︃ (︀ )︀⃒ )︃.1 1 ⃒, ⃒1 Ψ0— ⃒(︃ (︁(︂⟨⟩ =(1 − )1)︂− (1−)1+1,1(1−) (4.51)109Получим выражение для стационарного среднего значения при → ∞⟨⟩ =⎧1⎨(︁ )︁ −⎩1++1−2 −[︃1]︃11− 1⎫⎬,(4.52)⎭используя асимптотическое разложение функции Райта для больших значений аргумента [140].Заключение к главе 4.В данной главе была рассмотрена задача о релаксации решения стохастического дифференциального уравнения к стационарному уровню, значение которого изменяется в зависимости от параметров мультипликативного шума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
