Диссертация (1105361), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.14. Зависимость среднего размера островка от времени для различных значений ( = 5, = 2/3, начальное распределение [128] с 0 = 1000 и = 1): результаттеоретического (уравнение (3.47), непрерывные линии) и численного (уравнение (3.40),символы) расчета.89Заключение к главе 3.В данной главе была предложена полуфеноменологическая модель роста островковиз кластеров, с помощью которой был описан процесс, в котором островки растут за счетприсоединения кластеров и небольших подвижных островков.
Для описания процесса ростаостровка, а именно, изменения количества кластеров в островке, было получено стохастическое дифференциальное уравнение с мультипликативным шумом. Было найдено решениесоответствующего СДУ уравнения Фоккера-Планка для случая, когда в мультипликативном слагаемом содержится гауссовский белый шум, в том числе и для обобщенной модели.Было проведено численное моделирование СДУ с мультипликативным шумом для случая,когда небольшие островки движутся по подложке, и показано влияние изменения характеристик шумов на динамику роста островков; результаты численного и теоретического расчетахорошо совпадают.Были рассмотрены различные типы случайных процессов (ИППЗ, ИПФТ, импульсныйпроцесс, характеризующий присоединение небольших островков), были проанализированыих статистические характеристики, в частности, показано влияние изменения параметра периодичности на величину спектральной плотности в нуле.£108-4t = 500t = 1000t = 2000t = 3000t = 4000t = 5000w6420010002000N30004000Рис.
3.15. Изменение распределения размеров островков со временем ( = 0,6, = 5, = 2/3, начальное распределение [128] с 0 = 1000 и = 1): результат теоретического(уравнение (3.46), непрерывные линии) и численного (уравнение (3.40), символы) расчета.90Глава 4Режим насыщенияВ данной главе предложена модель, характеризующая стационарный режим роста островка, а именно, достижение величиной, описывающей размер островка, стационарного значения. Данная модель может быть применена для описания задач и приложений, в которыхнеобходимо в течение продолжительного времени обеспечивать постоянный размер островка.4.1Стохастическое дифференциальное уравнение врежиме насыщенияАналогично задаче из предыдущей главы, СДУ, описывающее случай достижения островком постоянного размера [35], будет иметь вид= − + (),(4.1)где 0 ≤ < 1, ∈ R+ , () — случайный процесс с неотрицательным средним.
Отличиеот рассмотренного ранее случая роста островка заключается в добавлении слагаемого (−),где ≥ 0. Это слагаемое отвечает за отделение уже присоединившегося кластера от островка.Данное уравнение описывает релаксацию системы к стационарному состоянию.4.1.1Белый гауссовский шумПерепишем СДУ (4.1) в виде= − + (),(4.2)где () = () − ⟨()⟩ и ⟨()⟩ = ≥ 0. Здесь () — стационарный гауссовский белый шумс ⟨ ()⟩ = 0 и ⟨ () ( + )⟩ = 2( ).91Соответствующее уравнение Фоккера-Планка имеет вид)︀]︀]︀(,) [︀(︀ 2 [︀=− − + 2−1 (,) + 2 2 (,) .(4.3)Функция плотности распределения вероятностей (, ) и поток вероятности Π (,)удовлетворяет следующим начальному и граничным условиям(,0) = (),Π (0,) = 0,(4.4)(∞,) = 0.Здесь () — неотрицательная функция, удовлетворяющая условию нормировки и обеспечивающая согласование начальных и граничных условий.√︁(︀)︀Переходя к новым переменным = 1− − , = (1−)и = (1 − ), приведемуравнение (4.2) к виду= − + ( ),(4.2′ )где ( ) ≥ − = − .
Соответствующее уравнение Фоккера-Планка для новой функциираспределения вероятности (, ) имеет вид(, ) 2 (, )=+ [(, )]2(4.3′ )с начальными и граничными условиями(,0) = () ≡Π(− , ) = 0,1(()) −1( − − ) 1− ,1−(4.4′ )(∞, ) = 0.Решение системы (4.3′ )–(4.4′ ) может быть представлено в виде∫︁∞(, ) =(,, ′ ,0)( ′ ) ′ .(4.5)−Здесь (,, ′ , ′ ) — функция Грина для данной задачи. Функция (, ′ , ) ≡ (,, ′ ,0)является решением следующего уравнения 2=+ (),2с начальными и граничными условиями(4.6)92(, ′ ,0) = ( − ′ ),⃒+ ⃒=− = 0,(4.7)|| < ∞, > 0.Решение системы (4.6)–(4.7) находится с помощью преобразования Лапласа¯ − ( − ′ ) =¯¯ 2 ¯+ ( ),2(4.8)⃒¯⃒+ = 0,=−(4.9)¯ < ∞.||Здесь чертой обозначено преобразование¯(,,) =′∫︁∞− (, ′ , ).(4.10)0¯ = ()−2 /4 сводит уравнеДля каждой области значений < ′ и ′ > подстановка ние (4.8) к уравнению Вебера, таким образом, решение уравнения (4.8) представляет собойсуперпозицию линейно независимых решений −2 /4− () и −2 /4− (−), причем > 0.Здесь − () — функции параболического цилиндра.
Используя граничные условия (4.9),получим′¯(,,) =⎧(︁)︁⎪⎨()−2 /4 − ()−−1 (−− ) + − (−)−−1 (− ) , < ′ ,⎪⎩()−2 /4 − (),(4.11) > ′.Одна из неизвестных функций () и () находится из условия непрерывности функции Грина в = ′ . Чтобы найти вторую функцию, проинтегрируем уравнение (4.8) в окрестности точки = ′ для получения условия сшивания⃒⃒¯⃒¯⃒⃒⃒−= −1. ⃒=′ +0 ⃒=′ −0Используя [97], после алгебраических преобразований получим93⎧(︂)︂(−)⎪−−1−⎪+ − (−)− ( ′ ) , < ′ ,⎨ − ()− ( ′ )2 − ′2 )/4 Γ()()′−(−−1−¯)︂(︂√(,,) = 2 ⎪′′ −−1 (−− )⎪⎩ − ()− ( )+ − ()− (− ) , > ′ ,−−1 (− )(4.12)или, в более компактной форме,(︂−−1 (−− )′−( 2 − ′2 )/4 Γ()¯√(, ,) = − ()− ( ′ )−−1 (− )2)︂+ ( − )− (−)− ( ) + ( − )− (− )− () , (4.13)′′′′где () — функция Хевисайда.
Используя обратное преобразование Лапласа, получим искомое распределение∫︁∞1 ( )2′(, ) =−′∫︁+∞′¯ (,,),(4.14)−∞где > 0. Это интеграл Бромвича, и его значение можно вычислить с помощью теоремыо вычетах.Случай − < 0Преобразование Лапласа функции Грина (4.13) имеет два набора простых полюсов– полюсы Γ(): ∈ Z− ;– корни уравнения− −1 (− ) = 0.(4.15)Действительные корни уравнения (4.15) отрицательны. В работе [129] было показано,что наибольший корень 1 < −1 и√︂(, ) =lim = −.
Тогда получим− →−∞∫︁ ∞22∞2 − /2− /4 ∑︁− −1 (−− )′2 (︁ )︁ + √Γ( )− () /4 − ( ′ )( ′ ) ′ .− erfc √[−−1 (− )]=2 =1−2(4.16)Получимвыражениедляпроизводнойфункциипараболическогоцилиндра−−1 ()/ методом, аналогичным представленному в работе [130]. Функции пара-94болического цилиндра могут быть выражены через вырожденные гипергеометрическиефункции [97]:−−1 (− ) = 2−(+1)/2 2 /4−−[︂(︀ )︀(︀ )︀(︂)︂(︂)︂]︂22Γ 12 + 1 1 −− Γ − 21 + 2 3 −(︀ )︀ 1 1, ,+ √ (︀ +1 )︀ 1 1, ,.2 2 22 2 2Γ +22Γ 22(4.17)Дифференцируя выражение (4.17) по и учитывая, что производная вырожденной гипергеометрической функции по параметру может быть выражена через гипергеометрическиефункции двух аргументов, подобные функциям Кампе де Ферье Θ(1) [131], найдем с учетомвыражения (4.15)[︃{︃(︂)︂ +1 +3 ⃒⃒ 2⃒2√12 /4⃒2 (1) 1,1| 2 , 2 ⃒ − −−( +3)/2 −−)︀ − Θ(︀−−1 (− )⃒=2, +3=|2, 32 ⃒ 2 2Γ 2+22√(︂)︂]︃(︂)︂}︃ +2 +4 ⃒⃒ 2232,1,1| + 1 1 −222 ⃒ − −, ,,− ( + 1) 1 1− (︀ +1 )︀ − Θ(1).
(4.18) +4522 23|2, 2 ⃒ 2 2Γ 22Здесь () — -функция Эрдейи [97].Возвращаясь к переменной , получаем√︂(,) ={︃2−(1− +− ) /22− (︁ )︁(1 − )−erfc √2+−(21− +/4−)2∞∑︁(︀)︀Γ( )− 1− + −=1× (1−)∞∫︁(2′1− +− /4)− −1 (−− )[−−1 (− )]=}︃− ′1− + − (′ )′ . (4.19)(︀)︀0Выведем аналитическое выражение для моментов .
Сначала вычислим интеграл∫︁∞ −1 −(+0 )02 /4 ( + 0 ), ℜ > 0,(4.20)содержащий функцию параболического цилиндра.Используем следующее интегральное представление для функции параболического цилиндра [132]:2 /4 () = √2∫︁+∞−∞1 2−+ 2 , | arg | < /2, > 0.(4.21)95Меняя порядок интегрирования и используя [99], получим∫︁∞−1 −(+0 )2 /40[︂∫︁ ∞]︂∫︁ +∞1−0 + 12 2−1 − ( + 0 ) = √ 2 −∞0∫︁ +∞1 2Γ()2=√−0 + 2 − = Γ()−0 /4 − (0 ). (4.22)2 −∞Используя [99] и полученный выше результат, будем иметь√︂ () =2 −−2 /4 − 1−Γ(︂+11−)︂ {︃− 1−−1 (− )(︁ )︁−erfc √2∞1 ∑︁− −1 (−− )+Γ( )− 1−−1− (− ) 2 =1[−−1 (− )]=}︃∫︁ ∞2(︀)︀′1−× (1−)( +− ) /4 − ′1− + − (′ )′ .
(4.23)0Для достаточно больших времен ( ≫ 1/[(1 − )]) функция распределения вероятностей,приведенная в уравнении (4.19), стремится к стационарному распределению√︂st () =22−( +− )(︁ )︁(1 − )−−erfc √1−/2,(4.24)2которое не зависит от начального распределения. Тогда стационарные моменты имеют вид√︂ =22 −− /4(︁ )︁− erfc √(︂2)︂Γ (2 + 1) −2−1 (− ) .(4.25)2Для = 1/2 получим2 +⟨⟩ = 2 +2 √︂2− (︁)︁ . erfc − √(4.26)Случай − = 0В данном случае можно упростить уравнение (4.13), приведя его к виду(︂′−( 2 − ′2 )/4 Γ()¯√(, ,) = − ()− ( ′ ) + ( ′ − )− (−)− ( ′ )2)︂+ ( − )− (− )− () .
(4.27)′′96Преобразование Лапласа функции Грина (4.27) имеет простые полюсы ∈ Z− . Тогда получим−( 2 − ′2 )/4′√︂(, , ) = ∞2 ∑︁ 2 ()2 ( ′ ) −2. =0(2)!(4.28)Используя соотношение между функциями параболического цилиндра и полиномами Эрмита [97], ряд (4.28) можно просуммировать [133]√︂′(, , ) =(︂)︂ (︂)︂2′22 −2 /2 /2 ′− + √exp −ch, > 0.4 sh 2 sh 2 sh (4.29)Возвращаясь к переменной , получим√︂(,) =2(1−)/22 2−2(1 − )− − /2 √︀2 sh[(1 − )])︂ (︂ 2)︂(︂∫︁ ∞2−2 (′ )1−+ ′2−2−(1−) 2 ch(′ )′ . (4.30)×exp −4sh[(1−)]2sh[(1−)]0Используя [99], получим выражение для моментов (︂)︂− 2−2(︂)︂ ∫︁ ∞)︂(︂1 2 ′2−2(1−)− 1−−(1−) () = √exp −Γ+11−8 sh[(1 − )]2 2 sh[(1 − )]0[︃)︃)︃]︃(︃(︃′1− −(1−)/2′1− −(1−)/2√︀× − 1−+ − 1−(′ )′ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
