Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Таким образом,выбору одной из пар соответствует выбор одного из инвариантных подпространств, а выбор представителя внутри пары — выбору ориентации в этомподпространстве.Без ограничения общности можно считать, что вещественные части собственных значений линеаризации sgrad H отличны от нуля в каждой из особых точек.

Если это не так, то в качестве гамильтониана можно выбратьдругую функцию от H, f , для которой это условие выполнено (посколькунас интересует лишь слоение, выбор гамильтониана не имеет значения).Теперь для каждой особой точки можно выбрать пару собственных значений с положительной вещественной частью. Геометрический смысл этогоусловия состоит в следующем.Рассмотрим поток sgrad H на особом слое. Для каждой особой точки xэтот поток втекает в x по одной сфере, а вытекает — по другой.

Необходимо выбрать пару собственных значений, соответствующую той сфере, покоторой поток вытекает.Чтобы выбрать одно собственное значение из пары, выберем ориентацию на сфере. Это можно сделать для всех сфер одновременно, перенесяориентацию с близкого к особому слою тора.Теорема 1.6. Пусть нам дана особенность типа фокус–фокус с двумя особыми точками x1 , x2 . Обозначим через λ1 , λ2 собственные значения линеаризации sgrad H в точках x1 и x2 соответственно, выбранные описаннымвыше способом. Тогда C1 –инвариант особенности может быть вычисленпо следующей формуле|λ1 − λ2 |µ=.|λ1 + λ2 |Доказательство. Пусть p, q — нормальные координаты в окрестности x1 ,f1 , f2 — соответствующие канонические интегралы.

ИмеемH = αf1 + βf2 + · · · = α(p1 q1 + p2 q2 ) + β(p1 q2 − q1 p2 ) + . . . ,42(13)где∂H(0, 0),∂f1∂Hβ=(0, 0).∂f2α=Следовательно,−αp1 + βp2 −αp2 − βp1 sgrad H =  αq1 + βq2  .αq2 − βq1Линеаризация этого поля естьAH−α −β= 00β−α0000α−β00 .β αСобственные значения этой матрицы есть ±α ± βi. Без ограничения общности можно считать, что α > 0 (иначе можно поменять знак f1 ). Следовательно, согласно описанному выше алгоритму, нужно выбрать пару α ± βi.Далее, в алгоритме указано, что нужно выбрать ориентацию на всехсферах одновременно, перенеся ее с тора.

Другой способ получить ту жеориентацию — задать ее при помощи пары векторов sgrad H, sgrad f2 (внеособой точки эти вектора независимы). Легко видеть, что ориентация задаваемая этими векторами на диске p1 = 0, p2 = 0 отрицательна (с точкизрения координат q1 , q2 ). Значит, нужно выбрать из пары α ± βi собственное значение, задающее отрицательную ориентацию. Легко проверить, чтотаким собственным значением является α − βi. Следовательно, λ1 = α − βi.Для второй точки будем иметьH = γ fe1 + δf2 + . .

. ,(14)fe1 = af1 + bf2 ,(15)и λ2 = γ − δi.Далее,где a, b - компоненты дифференциала связывающего диффеоморфизма.Подставляя (15) в (14), получаемH = γaf1 + (δ + γb)f2 + . . . .43(16)Приравнивая (13) и (16), получаем(α = γa,β = δ + γb,откудаαa = ,γβ−δb =.γИспользуя утверждение 1.11 и учитывая, что c = 0, d = 1 (поскольку особенность симплектическая), будем иметьss|λ1 − λ2 |(a − 1)2 + b2(α − γ)2 + (β − δ)2==,µ=2222(a + 1) + b(α + γ) + (β − δ)|λ1 + λ2 |что и требовалось доказать.1.2.5Теорема реализацииДокажем обещанное утверждение о реализуемости диффеоморфизмов в качестве связывающих.Теорема 1.7 (Теорема реализации). Любой диффеоморфизм вида (4), может быть реализован в качестве связывающего диффеоморфизма какойлибо симплектической особенности типа фокус-фокус с двумя особымиточками на слое.Доказательство.

Рассмотрим два экземпляра четырехмерной окрестностиособой точки типа фокус-фокус. Необходимо склеить эти окрестности в одно симплектическое многообразие так, чтобы связывающий диффеоморфизм совпадал с заданным. Возможность такой склейки следует из следующей леммы:Лемма 1.10. Пусть E1 → D2 — лагранжево слоение на кольца, заданноекоммутирующими независимыми функциями f1 и f2 , причем траекторииsgrad f2 замкнуты с периодом 2π, E2 → D2 — такое же слоение, заданноефункциями fe1 и fe2 , траектории sgrad fe2 замкнуты с периодом 2π. Пустьφ — произвольный диффеоморфизм (D2 , 0) → (D2 , 0) вида (4). Пусть фиксирована пара замкнутых траекторий sgrad f2 и sgrad fe2 на слое, висящемнад нулем. Тогда φ можно поднять до послойного симплектоморфизмаокрестностей замкнутых траекторий.

Этот симплектоморфизм сохраняет ориентацию на каждом слое, заданную косыми градиентами f1 , f2для первого слоения и fe1 , fe2 для второго.44Доказательство. Слоение E1 задается функциями f1 и f2 . Положим(fe1 = f (f1 , f2 )fe2 = f2 ,где (f, y) = φ. fe1 и fe2 задают то же самое слоение, причем траекторииsgrad fe2 замкнуты с периодом 2π. Таким образом замена f1 , f2 → fe1 , fe2 сводит задачу к случаю поднятию тождественного диффеоморфизма. Покажем теперь, что p1 = fe1 , p2 = fe2 можно дополнить до канонической системы координат p1 , q1 , p2 , q2 , заданной в окрестности замкнутой траекторииsgrad fe2 . В построенных координатах искомый симплектоморфизм будет задаваться тождественным отображением.Поскольку слоение тривиально, к нему можно выбрать трансверсальноелагранжево сечение v(p1 , p2 ) : D2 → E. На этом сечении положим q1 =q2 = 0. На слоении определено пуассоново действие абелевой группы R2 ,порожденное сдвигами вдоль интегральных траекторий sgrad fe1 , sgrad fe2 .Поскольку траектории sgrad fe2 замкнуты с периодом 2π, оно сводится кдействию цилиндра R×S1 .

С помощью этого действия разнесем координатыq1 , q2 по окрестности замкнутой траектории. Полученная система координатявляется искомой.Сохранение ориентации на слое следует из того, что φ - собственный.Лемма доказана.Закончим теперь доказательство теоремы. Пусть первая особенность задается функциями f1 , f2 , а вторая fe1 , fe2 .

Рассмотрим поведение векторногополя sgrad f1 в окрестности особой точки. Пересечение особого слоя с шаровой окрестностью особой точки — это два трансверсально пересекающихсядиска. Легко видеть, что на одном диске sgrad f1 имеет в особой точке сток,а на другом источник. При склейке двух таких шаровых окрестностей водну особенность будем склеивать сток с источником.Фиксируем в окрестности особых точек на склеиваемых дисках замкнутые траектории sgrad f2 и sgrad fe2 соответственно. По лемме заданный намдиффеоморфизм поднимается до послойного симплектоморфизма окрестностей замкнутых траекторий, при этом он сохраняет ориентацию, заданную sgrad f1 , sgrad f2 .

Это гарантирует нам правильную ориентацию границколец при склейке по симплектоморфизму. Результатом склейки являетсянекомпактное симплектическое многообразие. Рассмотрим на нем функциюH = f1 . Гамильтонова система sgrad H имеет особенность типа фокус-фокусс двумя особыми точками на слое и заданным связывающим диффеоморфизмом. Теорема доказана.Следствие 1.7.1. Существует однопараметрическое семейство гладконеэквивалентных особенностей типа фокус-фокус.45Доказательство. Рассмотрим семейство диффеоморфизмов(xe = x + ayφa =ye = y,где a > 0. Для любого a φa можно реализовать в виде связывающего диффеоморфизма некоторой фокусной особенности. Легко видеть, чтоµ= √a.a2 + 4Следовательно, все эти особенности неэквивалентны даже в классе C 1 .Следствие 1.7.2.

Для того, чтобы на гладкой особенности типа фокусфокус с двумя особыми точками на слое можно было ввести симплектическую структуру такую, что координаты p1 , q1 , p2 , q2 в окрестности каждой особой точки являлись бы каноническими, необходимо и достаточно,чтобы связывающий диффеоморфизм в этих координатах имел вид (4).Доказательство. Необходимость была доказана ранее. Докажем достаточность.

Пусть связывающий диффеоморфизм φ данной гладкой фокуснойособенности имеет вид (4). По теореме реализации можно построить симплектическую особенность с таким же связывающим диффеоморфизмом.Поскольку связывающие диффеоморфизмы совпадают, наши гладкая исимплектическая особенность гладко послойно эквивалентны. Перенесемпри помощи этой эквивалентности симплектическую структуру на гладкуюособенность. Утверждение доказано.Следствие 1.7.3. На всякой гладкой особенности типа фокус-фокус с двумя особыми точками на слое можно ввести симплектическую структуру.Доказательство.

Покажем, что заменой координат в окрестности одной изособых точек, можно привести связывающий диффеоморфизм к виду (4).Пусть в исходных координатах связывающий диффеоморфизм φ задаетсяфункциями f1 и f2 . Пусть также φ−1 задается функциями g1 и g2 . По лемме1.4.1 g2 можно включить в допустимый диффеоморфизм ψ. Поскольку ψдопустим, существует замена координат в окрестности второй точки, поднимающая ψ. В новых координатах связывающим диффеоморфизмом будетψφ. Поскольку g2 (f1 , f2 ) = y, это отображение имеет вид (4). Утверждениедоказано.1.2.6Случай нескольких особых точек на слоеРаспространим теперь полученные результаты на общий случай.

Пусть имеется особенность типа фокус-фокус с n особыми точками на слое, n > 2.В окрестности каждой особой точки имеются свои нормальные координаты и, соответственно, свои канонические интегралы f1k , f2k , 1 ≤ k ≤ n. В46симплектическом случае все функции f2k можно считать совпадающими.Особый слой разбивается в объединение n колец, и на каждом кольце возникает свой связывающий диффеоморфизм φk (при этом предполагается,что фиксировано направление обхода особых точек и первая точка).

Возникает набор (φ1 , ...φn ) ∈ Diffeo(R2 , 0)n , φ1 ...φn = id.Лемма 1.11. Если у двух особенностей наборы связывающих диффеоморфизмов совпадают, то они гладко эквивалентны.Аналогично случаю двух точек, это условие не является необходимым.Причина опять же в неоднозначности набора связывающих диффеоморфизмов. Этот набор определен однозначно лишь с точностью до действиягруппы Dn , которая является группой симметрии особенности типа фокусфокус(ее действие переставляет особые точки) и группы An , где A — группадопустимых диффеоморфизмов(каждый сомножитель заменяет координаты в окрестности одной из точек). Опишем эти действия явно.Dn = ha, b|an = e, b2 = eiha, (φ1 , ...φn )i = (φ2 , ...φn , φ1 )−1hb, (φ1 , ...φn )i = (φ−1n , ...φ1 )−1h(d1 , ...dn ), (φ1 , ...φn )i = (d1 φ1 d−12 , ...dn φn d1 )Таким образом, имеет местоТеорема 1.8. Две особенности типа фокус-фокус сложности n послойногладко эквивалентны тогда и только тогда, когда их наборы связывающих диффеоморфизмов лежат в одной орбите описанного выше действиягруппы An h Dn .Доказательство аналогично случаю двух точек.Теорема 1.9 (О полном C 1 –инварианте для случая n точек).1.

У фокусной особенности с n особыми точками на слое имеется 2n −3 C 1 –инварианта. Этот набор является полным C 1 –инвариантомособенности.2. В симплектическом случае эти инварианты могут быть выражены явно через собственные значения линеаризации sgrad H в особыхточках.Доказательство. Заметим, что поскольку речь идет о размерности, можно считать, что порядок точек фиксирован и группа Dn не действует, а также рассматривать только собственные линейные допустимые диффеоморфизмы. Для каждого из n колец, прилегающих к особым точкам, можнозаписать µ–инвариант. Получим n − 1 инвариант (последний связывающий47диффеоморфизм однозначно определен предыдущими, поэтому инвариантов на единицу меньше, чем колец).

Характеристики

Список файлов диссертации