Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Рассмотрим сначала случай se = s.Имеемfe1 ln (fe12 + fe22 ) − f1 ln (f12 + f22 ) ∈ C ∞ .Пустьf1 = x, f2 = y, fe2 = ±y, fe1 = f (x, y).Имеемf (x, y) ln (f 2 + y 2 ) − x ln (x2 + y 2 ) ∈ C ∞ .Положим ga (x) = f (x, ax).g(0) = 0, поэтому ga (x) = xha (x). Имеемxha ln (x2 h2a + a2 x2 )−x ln (x2 + a2 x2 ) == 2xha ln x − 2x ln x − x ln (a2 + 1) + xha ln (a2 + h2a ) ∈ C ∞ .ha (0) = fx (0) 6= 0 при a = 0, поэтому a2 + h2a 6= 0 и ln (a2 + h2a ) ∈ C ∞ .Но тогда2ga ln x − 2x ln x ∈ C ∞ ,откуда ga (x) = x + плоская функция для любого a. Но отсюда необходимо следует равенствоf (x) = x + плоская функция,то естьfe1 = f1 + плоская функция,что и требовалось доказать.Пусть теперь se = −s.

Рассуждая аналогично случаю se = s, получаемfe1 = −f1 + плоская функция.Лемма доказана.21Из доказательства леммы видно, что канонические интегралы могутбыть вычислены без нахождения нормальной системы координат в окрестности точки. f2 находится как интеграл от формы действия по образующимслоёв в окрестности особой точки. Для вычисления f1 нужно вычислитьописанную выше локальную переменную действия s. При вычислении локальной переменной действия интегрировать можно по траекториям косогоградиента любого интеграла нашей системы, функционально независимогос f2 — выбор интеграла влияет лишь на гладкое слагаемое. f1 находитсякак коэффициент при логарифме в асимптотике s.Утверждение 1.4. Рассмотрим слоение, возникающее в окрестностиособой точки типа фокус-фокус.

Рассмотрим группу Aut автоморфизмовбазы этого слоения, поднимающихся до симплектоморфизма слоения. Онасодержит подгруппу, изоморфную Z2 ⊕ Z2 . Каждая из образующих этойподгруппы меняет знак соответствующего канонического интеграла напротивоположный.Доказательство. Выпишем образующие явно. Первый симплектоморфизмзадаётся формулами pe1 = −q1 pe = −q22(2) qe1 = p1qe2 = p2 .Этот симплектоморфизм сохраняет f2 и меняет знак f1 на противоположный. Второй симплектоморфизм задаётся формуламиpe1 = −p1 pe = p22(3)qe=−q11qe2 = q2 .Этот симплектоморфизм сохраняет f1 и меняет знак f2 на противоположный.Примечание 1.2.

В аналитическом случае эта подгруппа исчерпывает всюгруппу Aut. Это прямое следствие леммы 1.1.1.1.4Топология особого слоя и полулокальная топологическаяклассификацияТеорема 1.1 (Hгуен Тьен Зунг, [25]). Пусть x — особая точка типа фокусфокус, лежащая на особом слое L слоения Лиувилля. Предположим, что1. Особый слой L компактен.222. Все особые точки на L невырождены.3.

Выполнено условие нерасщепляемости.Тогда1. Все особые точки на L — особые точки типа фокус-фокус.2. Особый слой L представляет собой объединение n лагранжевых сфер,трансверсально пересекающихся в особых точках, где n — число особых точек на слое (см. рис. 5).Таким образом, корректно говорить об особомслое типа фокус-фокус.

В этом разделе и далее подфокусной особенностью будет пониматься ростокслоения Лиувилля в окрестности особого слоя типафокус-фокус. Число особых точек на слое называется сложностью особенности.Имеет место следующаяЛемма 1.2 (Nguyen Tien Zung, [25]).

Все особенности типа фокус-фокус фиксированной сложностипослойно гомеоморфны.Рис. 5: Особенностьтипа фокус-фокусДоказательство смотреть, например, в [4].1.1.5 Точность симплектической формы вокрестности особого слояВ этом разделе мы докажем, что симплектическаяформа точна в окрестности особого слоя особенности типа фокус-фокус.Нам понадобится одно утверждение из теории Морса.Утверждение 1.5.

Пусть f — функция Морса на гладком многообразииM , c — некоторое вещественное число, причём некоторая окрестностьповерхности уровня f вида {x : |f (x) − c| ≤ δ} компактна. Тогда всякаясвязная компонента поверхности уровня {x : f (x) = c} является (топологическим) деформационным ретрактом своей малой окрестности.Доказательство. Покажем, что стягивание «по градиенту» f можно задать непрерывным и гомотопным тождественному отображением. Без ограничения общности c = 0.

Выберем ε ∈ (0, δ), такое что 0 — единственноеособое значение f на интервале (−ε, ε). Такое ε можно выбрать в силу компактности поверхности уровня f = 0. Без ограничения общности можносчитать, что ε = 1.Пусть U — ε-окрестность связной компоненты поверхности уровня. Рассмотрим в этой окрестности векторное полеv=grad f.hgrad f, grad f i23Это векторное поле определено везде, кроме некоторого конечного числаособых точек f на поверхности f = 0. Оно выбрано из условия v(f ) ≡ 1.Для t ∈ [0, 1) определим отображение φt : U → U следующим образом:• Если |f (x)| ≥ 1 − t, то φt есть сдвиг на |f | − (1 − t) вдоль векторногополя v в направлении уменьшения модуля f .• Если |f (x)| < 1 − t, то φt (x) = x.Очевидно, что все φt непрерывны и |f (φt (x))| ≤ 1 − t. Покажем, что приt → 1 φt сходится равномерно к некоторому отображению φ1 , которое ибудет искомой ретракцией.Пусть для определенности f (x) ≥ 0. Расстояние d(φh (x), φs (x)) оценивается длиной участка траектории векторного поля v, соединяющего уровниf = 1 − h и f = 1 − s.

ИмеемZsZs||v(φt (x))||dt =l=h1dt =||grad f (φt (x))||1−hZ1df||grad f ||1−shЗдесь мы воспользовались тем, что v(f ) = 1 и f можно рассматривать какпараметр на траектории v. Далее, в окрестности каждой особой точки(grad f )i = ±2g ij xj ,откуда||grad f || > CqXx2i > Cp|f |.Аналогичная оценка, очевидно, имеет место и в дополнении к окрестностямособых точек и, таким образом, во всей окрестности U . Получаем1−hZl<√12 √√ dt = ( 1 − h − 1 − s).CC f1−sТаким образом, выполнен критерий равномерной сходимости, и семействоφt равномерно сходится к некоторому непрерывному отображению φ1 . Этои есть искомая ретракция, гомотопная тождественному отображению φ0 .Утверждение доказано.Лемма 1.3.

Особый слой типа фокус-фокус является деформационнымретрактом своей малой окрестности.Доказательство. В работе [25] (смотреть также [4]) построена фокуснаяособенность с n особыми точками на слое, заданная голоморфной функцией F на комплексном многообразии. Поскольку все фокусные особенностификсированной сложности гомеоморфны, можно считать, что мы работаемв этой модели.24Рассмотрим функции f1 = Re F, f2 = Im F . f1 и f2 являются вещественной и мнимой частью голоморфной функции, поэтому их градиенты в любой эрмитовой метрике ортогональны.

Обе они являются функциями Морса. Используя предыдущую лемму, можно сначала стянуть окрестность поградиенту f1 , а потом по градиенту f2 . Поскольку эти градиенты ортогональны, мы получим ретракцию на особый слой.Следствие 1.3.1. Симплектическая форма точна в окрестности особогослоя типа фокус-фокус.Доказательство. В силу леммы двумерные гомологии окрестности особого слоя порождаются образующими в гомологиях самого слоя.

Посколькуособый слой лагранжев, интеграл от симплектической формы по любомудвумерному циклу на нём равен нулю. Следовательно, интеграл по любомудвумерному циклу в окрестности особого слоя также равен нулю. Но тогда,по теореме Де Рама, получаем, что симплектическая форма задаёт нулевойэлемент в двумерных когомологиях окрестности особого слоя.1.1.6Совпадение функций f2 для всех особых точек на слоеРассмотрим особенность типа фокус-фокус с некоторым количеством особых точек на слое. Каждая точка определяет пару канонических интегралов. Поскольку канонические интегралы являются функциями на базе слоения, можно считать, что все они заданы в некоторой окрестности особогослоя.Лемма 1.4.

Для любой пары точек канонические интегралы f2 и fe2 совпадают с точностью до знака.Доказательство. Воспользуемся точностью симплектической формы вокрестности особого слоя. Пусть ω = dα. Как мы уже знаем,Zf2 = α,γгде γ — траектория sgrad f2 на соответствующем слое. Аналогично,Zfe2 = α,γeгде γe — траектория sgrad fe2 на соответствующем слое.Заметим что, траектории sgrad f2 и sgrad fe2 задают один и тот же, либопару противоположных элементов в гомологиях слоя. Действительно, можно рассмотреть траекторию sgrad f2 , целиком лежащую в малой окрестности первой точки, и траекторию sgrad fe2 на том же слое, целиком лежащуюв малой окрестности второй точки. Это два непересекающихся цикла на торе.

Такие циклы обязательно задают один и тот же либо противоположные25элементы в H1 (T2 ).Следовательно,ZZα=±f2 =γα = ±fe2 ,γeчто и требовалось.Примечание 1.3. Функция f2 является переменной действия. При этом f2 и−f2 — единственные переменные действия, которые можно гладко продолжить на особый слой. В силу этого, f2 определяется однозначно и совпадаетдля различных точек на слое.1.1.7Согласование знаков канонических интеграловКаждая особая точка на слое определяет пару канонических интегралов.Канонические интегралы определены с точностью до знака (и, возможно,с точностью до добавления плоской функции).

Укажем способ согласоватьзнаки всех канонических интегралов.Поток sgrad f2 задаёт на окрестности особого слоя действие окружности.Фиксируем ориентацию на действующей окружности. Используя утверждение 1.4, можно выбрать все функции f2 так, чтобы поток их косого градиента тек в выбранном нами направлении. Далее, фиксируем некоторое направление обхода особых точек по особому слою. Это позволяет нам аналогичным образом однозначно выбрать знак f1 в окрестности каждой точки.Теперь все канонические интегралы в окрестности каждой точки выбраныоднозначно (быть может, с точностью до добавления плоской функции).1.21.2.1Гладкая классификация в случае двух степенейсвободыГладкие особенности типа фокус-фокусМы переходим к изучению гладких структур в окрестности особого слояфокусной особенности.

Характеристики

Список файлов диссертации