Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Остальные n − 2 инварианта возникаютиз «условий согласованности». Дело в том, что мы не можем выбирать пары допустимых диффеоморфизмов для каждого кольца независимо: диффеоморфизмы делаются в окрестности особых точек, поэтому выбрав парудля одного кольца, мы задаем один из диффеоморфизмов для каждого изколец-соседей. У нас есть n − 1 кольцо (связывающий диффеоморфизм напоследнем, как уже было замечено, является зависимым от других), соответственно n − 2 пары смежных колец.

Каждая пара дает одно условиесогласованности. Выпишем это условие явно. Пустьφi (z) = αi z + βi z,а допустимые диффеоморфизмы задаются комплексными числами d1 , ...dn .Имеемφei = di φi d−1i−1 ,φei+1 = di+1 φi+1 d−1i ,откуда−1φei (z) = d−1i−1 di αi z + di−1 di βi z,−1φei+1 (z) = d−1i di+1 αi+1 z + di di+1 βi+1 z,откудаαei αei+1βe βei+1di+1,== iαi αi+1di−1β i βi+1откудаνi = argαi αi+1β i βi+1является инвариантом. Рассматривается только аргумент, поскольку модуль этого выражения есть просто произведение µ-инвариантов для соседних колец. Легко показать, что µ-инварианты вместе с ν–инвариантами образуют полный набор C 1 –инвариантов.Примечание 1.9. Эти формулы задают инварианты особенности лишь помодулю действия некоторой дискретной группы. Для полного описания инвариантов, нужно описать преобразования, происходящие c числами νi приэтом действии.После того, как мы выразили инварианты явно через производные связывающих диффеоморфизмов, второе утверждение теоремы становитсяочевидным.

Теорема доказана.В случае n особых точек также верны теорема реализации и следствиеиз нее. Формулируются и доказываются они аналогично случаю двух точек.4822.1Топологическая классификация в многомерном случаеДальнейшие свойства фокусных особенностей сдвумя степенями свободыВ этом разделе мы установим некоторые дополнительные свойства фокусных особенностей с двумя степенями свободы. Эти результаты понадобятсянам при изучении многомерных особенностей, но представляют также исамостоятельный интерес.2.1.1Описание группы автоморфизмовВ этой главе мы выясним, как устроены автоморфизмы фокусных особенностей систем с двумя степенями свободы.

Все особенности предполагаютсянерасщепляемыми.Определение 2.1. Автоморфизм фокусной особенности — это ее послойный симплектоморфизм в себя, тождественный на базе слоения.Пусть Aut(F ) — группа автоморфизмов особенности F . Как устроенаэта группа?Для начала докажем одну общую лемму.Лемма 2.1. Пусть (M 2n , ω, F ) — интегрируемая гамильтонова системаи φ : M 2n → M 2n — симплектоморфизм, тождественный на базе слоения Лиувилля.

Предположим так же, что существует неособая точкаx ∈ M 2n такая, что φ(x) и x лежат в одной орбите пуассонова действия. Тогда найдется функция f : Rn → R такая, что на всех орбитах,проходящих через малую окрестность x, φ есть сдвиг вдоль траекторийsgrad f (F (x)) на время 1.Доказательство. Пусть L — некоторое лагранжево сечение нашего слоения, проходящее через точку x. Пуассоново действие (при фиксированнойсистеме координат на базе слоения f 1 , .

. . f n ) задает отображение Π : L ×Rn → M 2n . По предположению φ(x) = Π(x, y). Легко видеть, что дифференциал Π в точке (x, y) невырожден, и следовательно Π диффеоморфноотображает окрестность (x, y) ∈ (L, Rn ) на окрестность φ(x) ∈ M 2n , откудаφ(z) = Π(z, y(z)) для z, лежащих на L в окрестности x, где y : L → Rn .Поскольку L — сечение, можно считать, что отображение y задано на базеслоения.Рассмотрим на базе слоения 1-форму α = yi df i . Легко видеть, что условие лагранжевости φ(L) равносильно замкнутости этой формы. Следовательно, в малой окрестности точки F (x) существует представление α = df ,и φ, ограниченное на L, есть сдвиг на время 1 вдоль траекторий косогоградиента f .49Пусть ψ — сдвиг вдоль траекторий косого градиента f на единицу.

Тогдаψ|L = φ|L . Покажем, что они совпадают всюду на орбитах, проходящихчерез L. Пусть x = Π(xL , y), xL ∈ L. Тогдаφ(x) = φ(Π(xL , y)) = Π(φ(xL ), y) = Π(ψ(xL ), y) = ψ(Π(xL , y)).Здесь мы воспользовались тем, что сдвиг вдоль траекторий косого градиента функции на базе слоения коммутирует с любым другим симплектоморфизмом, тождественным на базе слоения. Лемма доказана.Здесь и далее в этом разделе независимые инволютивные интегралынашей особенности мы будем обозначать f1 , f2 , причем траектории косогоградиента f2 замкнуты с периодом 2π.Пусть f = f (f1 , f2 ). Тогда векторное поле sgrad f касается слоев нашего слоения и его поток является автоморфизмом. Будем называть такиеавтоморфизмы гамильтоновыми.Утверждение 2.1.

Предположим, автоморфизм φ фокусной особенностиоставляет на месте все ее особые точки. Тогда φ гамильтонов.Доказательство.1. Если φ оставляет на месте все особые точки, то он оставляетна месте и кольца особого слоя.Противное, очевидно, возможно только если наша особенность имеет ровно две особые точки. Рассмотрим поток sgrad f1 в окрестностиодной из этих точек. На одном из колец этот поток втекает в особуюточку, а на другом вытекает. Поскольку любой автоморфизм обязансохранять поток sgrad f1 , кольца переставиться не могут.2. Если φ оставляет на месте хотя бы одно кольцо, то φ гамильтонов.Если мы рассмотрим произвольную точку x на кольце, то через ееокрестность проходят все торы Лиувилля, достаточно близкие к особому слою.

По лемме 2.1 φ гамильтонов на этих торах. Но тогда понепрерывности он гамильтонов и на особом слое.Множество гамильтоновых симплектоморфизмов образует подгруппу вAut(F ). Обозначим эту подгруппу Ham.Пусть сложность F равна s. Занумеруем особые точки особенности Fчислами 1, . . . s так, что соседние точки получают соседние номера. Любойавтоморфизм F как-то переставляет эти особые точки.

Тем самым определен гомоморфизм в группу перестановок ψ : Aut(F ) → Ss . Очевидно следующееУтверждение 2.2. Образ ψ есть подгруппа в циклической группе, порожденной циклом (1, . . . s).50Утверждение 2.3. Aut(F ) ' Zk × H, где k|s, где Zk = hai, a(xm ) =xm+k (mod s) для всякой особой точки xm .Доказательство. Возьмем произвольный автоморфизм φ такой, чтоψ(φ) = a, где a — произвольная образующая в Im ψ. Тогда φk = h ∈ Ham.Пусть h — это сдвиг вдоль траекторий косого градиента некоторого интеграла f на единицу.

Рассмотрим сдвиг вдоль траекторий косого градиентаf на k1 и обозначим его j. j k = h и, поскольку H лежит в центре Aut(F ),имеем (j −1 φ)k = e. Легко видеть, что Aut(F ) = Ham × hj −1 φi, что и требовалось.Примечание 2.1. Рассмотрим переменные действия в окрестности фокусной особенности. Одна из них — это f2 . Любая другая имеет в особой точкеветвление.

Легко видеть, что элементы группы Zk вне особого слоя действуют как сдвиги на время 1 вдоль траекторий sgrad mk s, где s — многозначнаяпеременная действия в окрестности фокусной особенности.Примечание 2.2. Разложение Aut(F ) = Zk ×Ham не является однозначным.Действительно, если a — образующая Zk , а h — сдвиг вдоль траекторииsgrad 2π mk f2 на единицу, то ah также можно взять в качестве образующей,и мы получим другое разложение.Поскольку траектории sgrad f2 имеют период 2π, сдвиги вдоль этих траекторий порождают в H подгруппу, изоморфную S1 .Утверждение 2.4.

Пусть Aut(F ) = Zk × H. Тогда все элементы конечного порядка в Aut(F ) лежат в ее «компактной части» Aut0 (F ) = Zk × S1 .Доказательство. Достаточно проверить, что все элементы конечного порядка в H на самом деле лежат в S1 . Пусть h ∈ H, hk = e. h гамильтонов иявляется сдвигом на единицу вдоль траекторий косого градиента f (f1 , f2 ).Равенство hk = e означает, что траектории sgrad f имеют период k. Тогдаkfтраектории sgrad kf2π имеют период 2π, и, следовательно, 2π — переменнаядействия. Но единственные однозначные переменные действия в окрестно2сти фокусной особенности — это f2 и −f2 .

Следовательно, f = ± 2πfk , и1h∈S .2.1.2Всякая фокусная особенность Aut-эквивариантно послойногомеоморфна модельнойВ книге [4] (раздел 9.8.3) построена «модельная» фокусная особенность сs точками на слое. Эта особенность симметрична и для нее Aut = Zs × H.Модельную сообенность сложности s будем обозначать F (s).Утверждение 2.5. Пусть F — фокусная особенность с s особыми точками на слое.

Тогда существует гомеоморфизм ψ : F → F (s), индуцирующий вложение Aut0 (F ) в Aut0 (F (s)). Другими словами, существуеттакже мономорфизм ψ ∗ : Aut0 (F ) → Aut0 (F (s)) такой, что для любого51φ ∈ Aut0 (F ) следующая диаграмма коммутативна:ψF −−−−→ F (s)ψ∗ (φ)φyyψF −−−−→ F (s)Доказательство. Как мы знаем, Aut0 (F ) ' Zk × S1 , Aut0 (F (s)) ' Zs × S1 .Поскольку k делит s, Zk вкладывается в Zs , а Aut(F ) в Aut(F (s)). Возьмем этот мономорфизм в качестве ψ ∗ . Далее будем считать, что Aut(F )действует на обеих особенностях, имея ввиду построенный мономорфизм.Наша задача состоит в построении Aut(F )-эквивариантного гомеоморфизма ψ.Рассмотрим произвольную особую точку x1 особенности F и произвольную особую точку y1 особенности F (s).

В окрестности особой точки типафокус-фокус существует комплексные координаты z, w такие, что отображения момента в них имеет вид zw. Окрестность U (x1 ) можно отобразитьна окрестность U (y1 ) с помощью отображения, тождественного в этих координатах. Это отображение, очевидно, Aut(F )-эквивариантно. Далее, нашгомеоморфизм однозначным образом продолжается на орбиту U (x1 ).

Если врезультате остались незадействованные точки, процедуру нужно повторитьнеобходимое число раз. При этом может получится так, что гомеоморфизмы, построенные нами для разных точек, различны на базе слоения, и тогдапродолжить их на всю особенность не получится. Для того, чтобы этого избежать, нужно предварительно согласовать выбор z, w для разных точек.Возможность такого согласования следует из S1 -эквивариантного варианта леммы 9.9 из [4]. S1 -эквивариантный гомеоморфизм окрестности особойточки типа фокус-фокус, поднимающий заданный диффеоморфизм φ базы,может быть задан уже известными нам формулами(ze = φ(zw)zw z,we = w.Примечание 2.3. Это отображение непрерывно, но, вообще говоря, не дифференцируемо.Теперь нужно продолжить гомеоморфизм с окрестностей особых точекна окрестность особогослоя U (L).

Сделать это не составляет труда, поSскольку на U (L)\( U (xi )) наше действие свободно и имеет сечение.Примечание 2.4. Существование S1 -эквивариантного гомеоморфизма между фокусными особенностями одинаковой сложности было отмечено в [26].Отметим еще одно важное свойство модельной особенности.Утверждение 2.6. Модельная фокусная особенность имеет структурукомплексной интегрируемой гамильтоновой системы с одной степеньюсвободы. Aut0 действует на ней биголоморфно и симплектично.52Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации