Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Теперь можно определить редуцированный особый слой комбинаторно: для каждого m объявим 2m-мерные орбиты m-мерными клетками.Инцидентным орбитам будут соответствовать инцидентные клетки. Легковидеть, что определенный таким образом комплекс совпадает с редуцированным особым слоем. Кроме того, этот комплекс инвариантен относительно гомеоморфизмов (действительно, всякий послойный гомеоморфизм сохраняет стратификацию особого слоя на орбиты пуассонова действия, поскольку окрестности точек на орбитах разных размерностей имеют различную топологическую структуру).Утверждение 2.11.

Редуцированный особый слой нерасщепляемой фокусной особенности является правильным кубическим разбиением n-мерноготора.Доказательство. Очевидно, редуцированный особый слой прямого произведения особенностей степени 1 есть правильное кубическое разбиения тора. Если же мы имеем почти прямое произведение, то группа G действуетна этом разбиении просто трансляциями (это следует из нашего описанияавтоморфизмов фокусных особенностей), поэтому фактор также будет правильным кубическим разбиением тора.57Далее нашей целью будет доказать, что особенность однозначно, с точностью до послойного гомеоморфизма, восстанавливается по своему редуцированному особому слою.Используя утверждение 2.5, получаемУтверждение 2.12. Всякая нерасщепляемая фокусная особенность ранга0 степени n послойно гомеоморфна особенности видаF = F (m1 ) × · · · × F (mn )/G,где F (mi ) — модельные фокусные особенности степени 1, аG ⊂ Aut0 (F (m1 )) × · · · × Aut0 (F (mn ))действует свободно, покомпонентно и симплектично.Таким образом, можно рассматривать лишь почти прямые произведениямодельных особенностей.

Отметим важное следствие.Следствие 2.12.1. Всякая чисто фокусная особенность ранга 0 степени nпослойно гомеоморфна некоторой невырожденной особенности комплексной интегрируемой системы с n степенями свободы.Доказательство. Действительно, прямое произведение модельных особенностей имеет указанную структуру, а G действует послойно, биголоморфнои симплектично.Переходя к универсальному накрытию F (∞) → F (m) и используяутверждение 2.12, получаемУтверждение 2.13.

Всякая нерасщепляемая фокусная особенность ранга0 степени n послойно гомеоморфна особенности вида F (∞)n /G, где G ⊂Aut0 (F (∞))n действует свободно, покомпонентно и симплектично.Для решения задачи классификации необходимо дать ответ на вопрос:Какие подгруппы в G ⊂ Aut0 (F (∞))n определяют топологически эквивалентные особенности?Поскольку Aut0 (F (∞))'Z × S1 , определена проекцияnnπ : Aut0 (F (∞)) → Z .Теорема 2.2.

Пусть G1 , G2 — подгруппы в Aut0 (F (∞))n , действующиена F (∞)n свободно. Предположим также, что их проекции на Zn совпадают. Тогда существует послойный диффеоморфизм Ψ : F (∞)n → F (∞)nи изоморфизм ψ : G1 → G2 такие, что для любого элемента g ∈ G1 следующая диаграмма коммутативна:ΨF (∞)n −−−−→ F (∞)ngψ(g)yyΨF (∞)n −−−−→ F (∞)nДругими словами, эти действия гладко сопряжены и особенностиF (∞)n /G1 , F (∞)n /G2 послойно диффеоморфны.58Доказательство.

Пусть π — проекция Aut0 (F (∞))n на Zn . Из условий теоремы следует, что (π|G2 )−1 π|G1 : G1 → G2 является изоморфизмом. Этотизоморфизм мы и возьмем в качестве ψ.Пусть Φ — действие тора. Ψ будем искать в видеΨ(x) = Φ(α(f31 (x), . . . f3n (x)))x, где α : Rn → Tn — гомоморфизм.При этом должно быть выполнено условие Ψ(g(x)) = ψ(g)(Ψ(x)):Φ(α(f3 (g(x))))g(x) = ψ(g)(Φ(α(f3 (x)))x).(17)Заметим, чтоψ(g)(Φ(α(f3 (x)))x) = Φ(α(f3 (x))ψ(g)(x),поэтому уравнение (17), после замены x на g −1 (x), переписывается в видеΦ(α(f3 (x)))x = Φ(α(f3 (g −1 (x)))ψ(g)(g −1 (x)).(18)По условию ψ(g)(g −1 ) ∈ Tn и может быть представлено в виде Φ(β(g)),где β : G1 → Tn — гомоморфизм.

Таким образом, уравнение (18) можнопереписать какΦ(α(f3 (x)))x = Φ(α(f3 (g −1 (x)))Φ(β(g))(x)илиα(f3 (g(x)) − f3 (x)) = β(g).По построению f3 выражение f3 (g(x)) − f3 (x) не зависит от x и линейнопо g. Обозначим его за γ(g). γ есть мономорфизм G1 в Rn , поэтому уравнение α(γ(g)) = β(g) задает α на решетке полного ранга в Rn . Далее αпродолжается на все Rn по линейности.

Теорема доказана.Следствие 2.2.1. Всякая нерасщепляемая фокусная особенность ранга 0степени n послойно гомеоморфна особенности вида F (∞)n /G, где G — подгруппа полного ранга в Zn ⊂ Aut0 (F (∞))n .Теперь мы готовы доказать теорему классификации.Каждое правильное кубическое разбиения тора по определению задается подгруппой G в Zn . Две подгруппы задают одно и то же разбиение,если одна переходит в другую при некотором целочисленном ортогональномпреобразовании (то есть композиции отражений относительно плоскостейxi = 0, xi = xj ).Определение 2.5. Будем называть такие подгруппы ортогонально эквивалентными.Теорема 2.3. Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между классами топологически эквивалентных нерасщепляемыхфокусных особенностей ранга 0 степени n и классами ортогонально эквивалентных подгрупп конечного индекса в Zn . Сложность особенностиравна индексу соответствующей подгруппы.59Доказательство.

Достаточно показать, что группа G из следствия 2.2.1определена с точностью до целочисленного ортогонального преобразования. Предположим, что F (∞)n /G1 ' F (∞)n /G2 . Тогда кубические разбиения тора Rn /G1 и Rn /G2 изоморфны и по лемме 2.3 G2 получается из G1целочисленным ортогональным преобразованием.Пусть теперь G2 получена из G1 некоторым целочисленным ортогональным преобразованием.

Покажем, что действия G2 и G1 на F (∞)n сопряжены. Достаточно рассмотреть два случая:1. G2 получена из G1 транспозицией i-ой и j -ой координаты. Тогда вкачестве сопрягающего диффеоморфизма можно взять перестановкуi-ой и j-ой компоненты в F (∞)n .2. G2 получена из G1 изменением знака i-ой координаты. Тогда в качестве сопрягающего диффеоморфизма можно взять отображение, «переворачивающее» i-ую компоненту F (∞)n .Поскольку любое целочисленное ортогональное преобразование есть композиция этих двух, действия G1 и G2 сопряжены и наши особенности послойногомеоморфны.Теорема 2.4.

Отображение, сопоставляющее фокусной особенности еередуцированный особый слой, является взаимно-однозначным соответствием между классами топологически эквивалентных нерасщепляемыхфокусных особенностей ранга 0 степени n и правильными кубическимиразбиениями n-мерного тора. Сложность особенности равна сложностисоответствующего разбиения.Доказательство. Мы уже показали, что редуцированные особые слои топологически эквивалентных особенностей изоморфны.1. Если редуцированные особые слои двух фокусных особенностей изоморфны, то эти особенности топологически эквивалентны.Действительно, пусть одна из особенностей представлена в видеF (∞)n /G1 , а другая в виде F (∞)n /G2 .

Тогда их редуцированные особые слои имеют вид Rn /G1 и Rn /G2 . Они изоморфны, поэтому G2 иG1 связаны между собой целочисленным ортогональным преобразованием, откуда и следует топологическая эквивалентность особенностей.2. Всякое правильное кубическое разбиение тора является редуцированным особым слоем некоторой фокусной особенности.Всякое кубическое разбиение получается из стандартного разбиенияRn факторизацией по G ⊂ Zn .

Рассмотрим особенность F (∞)n /G. Еередуцированный особый слой будет совпадать с нашим разбиением.60Примечание 2.5. Можно показать, что если фокусные особенности степениn гомеоморфны, то они также и Tn -эквивариантно гомеоморфны (в случаестепени 1 это следствие из леммы 2.5). По-видимому, это проявление общегофакта об особенностях, допускающих гамильтоново действие тора.2.2.3Модель почти прямого произведенияИспользуя уже имеющиеся у нас результаты о представлении правильныхкубических разбиений в виде почти прямых произведений, получаем следующееУтверждение 2.14 (о канонической модели почти прямого произведения всмысле Зунга). Любая нерасщепляемая фокусная особенность гомеоморфнаособенности вида F (m1 )×· · ·×F (mn )/G, где G ⊂ Zm1 ×· · ·×Zmn , G∩Zmi =0.

Числа mi в этом разложении определены однозначно с точностью доперестановки, а подгруппа G — однозначно с точностью до композицииотражений относительно плоскостей xi = 0 и xi = xj (когда mi = mj ).2.2.4Подсчет числа особенностейВ некоторых частных случаях можно явно вычислить число особенностей данной степени и сложности. Обозначим соответствующую функциюξ(n, s), n — степень, s — сложность.Утверждение 2.15. Для любой степени существует единственная сточностью до гомеоморфизма особенность сложности 1. Другими словами, ξ(n, 1) = 1.Для подсчета числа особенностей большей сложности полезна симметричная модель.Утверждение 2.16. Все порядки базисных сдвигов фокусной особенностиделят ее сложность.Доказательство. Порядок базисного сдвига ∆i — это длина орбиты куба под действием этого сдвига.

Характеристики

Список файлов диссертации