Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Следовательно, ne = n.65Далее, всякая орбита пуассонова действия есть тор на диск. Но вокрестности замкнутой орбиты действие тора «убивает» все нетривиальные циклы. Поскольку в замыкании каждой орбиты есть замкнутая, образ замыкания всякой орбиты есть клетка.Таким образом, редуцированный особый слой является клеточнымкомплексом. То, что этот комплекс является многообразием и то, чтоон прост, следует из локальной структуры слоения. Осталось показать, что он является тором.Рассмотрим действие тора не только на особом слое, но и во всей егоокрестности. Легко видеть, что на факторпространстве слоения Лиувилля попросту тривиально (это следует из локальной структуры).Но образы неособых слоев есть торы. Следовательно, образ особогослоя также есть тор.

Теорема доказана.Гипотеза 2.1. Замыкание любой клетки редуцированного особого слоя фокусной особенности представляет собой простой многогранник.В примерах это всегда так. Для n = 2 это легко доказать: мы имеемдиск с клеточным разбиением на границе. Это многогранник тогда и только тогда, когда число вершин больше двух. Но двухугольников на редуцированном особом слое быть не может, поскольку для любого ребра всегданайдется векторное поле, равное нулю на этом ребре, но не равное нулю напримыкающих ребрах, а также на внутренности клетки.

Для двухугольника такого поля, очевидно, не существует.В многомерном случае проблема состоит в том, что мы не умеем распознавать многогранники: неизвестно, какие условия достаточны для того,чтобы данный клеточный комплекс был комбинаторным многогранником.Как будет показано, всякий простой многогранник P может быть включен в редуцированный особый слой фокусной особенности (вообще говоря,ненулевого ранга).

Соответствующий лагранжев «кусок» особого слоя —это так называемое момент-угол многообразие ZP .2.3.2КонструкцияПредъявим способ конструировать расщепляемые фокусные особенностинулевого ранга. Его идея является развитием примера 4 раздела 5.3 из работы [18] расщепляемой особенности типа седло-седло. Рассмотрим редуцированный особый слой особенности F (∞)n . Он представляет собой стандартное кубическое разбиение Rn .Пусть L — некоторая гиперплоскость, находящаяся в общем положении с этим разбиением. На L возникает некотороеразбиение на многогранники(вообще говоря, не кубическое).

Мы покажем,что существует фокусная особенность, редуцированный особый слой которой совпадает с этим разбиением. На F (∞)n имеется n функций f31 , . . . f3n .Эти функции имеют естественную интерпретацию как координаты на редуцированном особом слое особенности.66Построение нашей особенности разобьем на три шага: сечение, редукциюи компактификацию.1. СечениеПусть плоскость L задана уравнением ha, xi = b.

Пусть также 1 1f3f1  f3 =  ...  , f1 =  ...  .f3nf1nРассмотрим в F (∞)n множество Fe(L), заданное уравнениями(ha, f3 i = b,ha, f1 i = 0.Утверждение 2.21. Если L – гиперплоскость общего положения,то Fe(L) — симплектическое подмногообразие коразмерности 2, накотором задана интегрируемая система с 2n − 1 степенью свободы.Доказательство.{ha, f1 i, ha, f3 i} =Xa2i {f1i , g i }.Если среди чисел ai нет нулей и наша гиперплоскость не проходит через вершины редуцированного особого слоя, то это число не обращается в ноль. Следовательно, наша поверхность есть симплектическоеподмногообразие.

Далее, ограничения f1i , fi2 на наши подмногообразия коммутируют. Достаточно проверить это условие в неособой точке. Пусть q1i , qi2 — координаты, дополняющие f1i , f2i до каноническойсистемы координат. Имеем {f2i , f3i } = 0, поэтому f3i = f3i (f1i , q1i , f2i ).Далее∂f3i6= 0,∂q iпоэтому можно выразить q1i через f3i .q1i = q1i (f1i , f3i , f2i ),Запишем симплектическую форму в координатах f11 , f2i , f3i , q2i .ω = αi df1i ∧ df3i + βi df1i ∧ df2i + df2i ∧ dq2i .Пусть теперь M — наша поверхность. Имеемω|M = aij df1i ∧ df3j + bij df1i ∧ df2j + df2i ∧ dq2i ,откуда и следует наше утверждение.672. РедукцияОсобенности построенной системы имеют ранг 1.На Fe(L) имеется гамильтоново действие тора Tn , порожденное функциями {f2i }.

Рассмотрим в Pэтом торе одномерную подгруппу H, действующую сдвигами вдоль i f2i .Утверждение 2.22. H действует на Fe(L) свободно.Применим к Fe(L) процедуру редукции Марсдена-Вайнштейна(см.[22]) по H. В результате мы получим 4n − 4-мерное симплектическоемногообразие с заданной на нем интегрируемой системой. Обозначимего F (L).Утверждение 2.23. F (L) есть окрестность особого слоя фокуснойособенности ранга 0 степени n − 1, редуцированный особый слой которой совпадает с комплексом, высекаемым кубическим разбиениемRn на L.3. КомпактификацияПредположим, теперь что a — целочисленный вектор.

Пусть Ga =a⊥ ∩ Zn . Ga — подгруппа ранга n − 1. Плоскость L является Ga инвариантной, поэтому Ga действует симплектоморфизмами на FeL ,а следовательно и на F (L). Пусть G — подгруппа полного ранга вGA . Фактор F (L, G) = F (L)/G является особенностью с компактными слоями.Пример 2.1. Пусть n = 3, L задана уравнением x + y + z = 21 , G = GA , тоесть задается в Z3 уравнением x + y + z = 0. Редуцированный особый слойособенности F (L, G) изображен на рисунке 7.Бифуркационная диаграмма этой особенности — три 2-диска, имеющиеобщую точку.Особый слой особенности из примера 2.1 состоит из двух вложенных мно2гообразий CP2 и одного многообразия CP2 #3CP , трансверсально самопересекающегося в трех точках (см.

рисунок 7). Это легко следует из общейтеории квазиторических многообразий.Также легко видеть, что если взять в качеc - dствеподгруппы G множество векторов Ga с четныA CP2 bb ми координатами, то вместо одного погруженногоA 2CP2 #3CP2ACP2 #3CP мы получим четыре вложенных. МожноAпоказать, что для любой расщепляемой фокуснойaa A2особенности можно сделать подмногообразия осоCP- -Aбого слоя вложенными переходом к конечнолистcdРис. 7: Особый слой ному накрытию.Все особенности, построенные описанным вышеособенности из приспособом,распадаются при малом шевелении намера 2.1.68нерасщепляемые. Если особенность имеет степеньn, то на гипергранях редуцированного особого слояможно естественным образом расставить метки 1, .

. . , n+1, унаследованныеот особенности F (∞)n+1 , из которой наша особенность построена. Если выкинуть из редуцированного особого слоя все грани с меткой i, то получитсянекоторое правильное кубическое разбиения тора. Соответственно, определено n + 1 отображение «выкидывания гиперграней» между множествомособенностей вида F (L, G) и множеством нерасщепляемых особенностей.Обозначим эти отображения ξiУтверждение 2.24.

Особенности вида F = F (L, G) при малом возмущении распадаются на особенности ξi (F ).Доказательство. Искомое возмущениеha, f1 i = 0 на уравнение ha, f1 i = ε.строитсязаменойуравненияОсобенность из примера 2.1 распадается при малом возмущении на триособенности сложности один.2.3.3Особенности ненулевого рангаПример 2.2. Пусть n = 2, и L задается уравнением x1 + x2 = 12 . Особенность F (L) в этом случае — это просто F (∞), однако особенность рангаодин Fe(L) — это не прямое произведение.

Действительно, бифуркационнаядиаграмма этой особенности — это две прямые, заданные в R3 уравнениями f11 = 0, f21 = 0 и f11 = 0, f22 = 0, следовательно имеется расщепление.Обе прямые соответствуют фокусным особенностям ранга 1. Малым шевелением эти прямые разводятся друг от друга и мы получаем два семействанерасщепляемых особенностей.Особый слой нашей особенности также не является прямым произведением: он состоит из трехмерных сфер, пересекающихся по окружностям.Действительно, особый слой Fe(L) есть сечение особого слоя F (∞)2 плоскостью g1 + g2 = 12 .S2 × S2 /T2 = p p p p p S3pppppПунктирной линией обозначено наше сечение.

Прообраз этого отрезкаможет быть получен склейкой двух полноторий по граничным торам с помощью отображения, меняющего местами параллель и меридиан. Такаясклейка дает нам трехмерную сферу S3 . Поскольку Fe(L) превращается вF (∞) после S1 -редукции, на этой 3-сфере возникает расслоение со слоемокружность и базой S2 , эквивалентное стандартному расслоению Хопфа.Возникает цепочка:S3 → S2 → ∆1 ,69где ∆i — одномерный симплекс (отрезок). Применяя описанную выше процедуру компактификации, можно получить особенность, особый слой которой представляет собой две пересекающиеся лагранжевы трехмерные сферы (или любое другое четное число). После S1 –редукции эта особенностьпревращается в обычную особенность F (2).nPАналогично можно рассмотреть Fe( xi = 1 ): здесь возникают цепочкиi=12S2n+1 → CPn → ∆n .(первое отображение — обобщенное расслоение Хопфа).Пример 2.3. Фокусные особенности над простыми многогранниками.Можно дать более общую конструкцию нетривиальных расщепляемыхособенностей ненулевого ранга.

Для этого в качестве L надо взять не гиперплоскость, а плоскость коразмерности k. При этом шаг «сечение» проходитбез существенных изменений и мы получаем особенность ранга k. Заметим, однако, что эта конструкция не даст нам новых особенностей нулевогоранга: редукцию провести невозможно. Легко проверяется, что построенная особенность F (L) не допускает свободного действия тора размерностибольше единицы.Рассмотрим теперь произвольный простой комбинаторный многогранник P n , имеющий m гиперграней.

В [5] указано, как по этому многограннику каноническим образом построить многообразие ZP размерности m + n,на котором действует тор Tm , причем пространство орбит совпадает сP (момент-угол многообразие). Геометрическая интерпретация этой конструкции следующая.Рассмотрим произвольную реализацию Pe комбинаторного многогранника P в Rn . Пусть Pe задается системой неравенствnXaij xi ≥ bj , j = 1, . . . m.i=1Поскольку Pe компактен, найдутся такие числа cj > 0, чтоnXaij xi < cj на Pe.i=1Теперь нашу систему можно переписать в видеbj ≤nXaij xi ≤ cj , j = 1, . . . m.i=1ПустьnPXj =aij xi − bji=1cj70.Тогда наша система переписывается в виде0 ≤ Xj ≤ 1.Таким образом, мы реализовали наш многогранник как сечение m-куба nплоскостью.Рассмотрим квазиторическое многообразие (CP1 )m над кубом Im .

Пустьπ : (CP1 )m → Im — проекция. Тогда π −1 (P ) — гладкое подмногообразиеразмерности m + n. Это и есть многообразие ZP . Нетрудно показать, чтоZP зависит лишь от комбинаторного типа P , но не от его реализации.Заметим, что поскольку Xj < 1, то на самом деле мы вложили ZP вCm ⊂ (CP1 )m .Пусть наш многогранник получается сечением Im плоскостью L. Поплоскости L мы можем построить фокусную особенность ранга m − n. Наэтой особенности есть действие тора Tm и фактор особого слоя по этомудействию является разбиением, высекаемым на L кубическим разбиениемRm .

Характеристики

Список файлов диссертации