Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

СодержаниеВведение31 Гладкие инварианты в случае двух степеней свободы171.1 Фокусные особенности интегрируемых систем с двумя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.1 Нормальная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.2 Локальная топология слоения . . . .

. . . . . . . . . . . 181.1.3 Единственность канонических интегралов и группа локальных автоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.4 Топология особого слоя и полулокальная топологическая классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.5 Точность симплектической формы в окрестности особого слоя .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.6 Совпадение функций f2 для всех особых точек на слое 251.1.7 Согласование знаков канонических интегралов . . . . . 261.2 Гладкая классификация в случае двух степеней свободы . . . 261.2.1 Гладкие особенности типа фокус-фокус . . . . .

. . . . 261.2.2 Случай одной особой точки на слое . . . . . . . . . . . 291.2.3 Случай двух особых точек на слое . . . . . . . . . . . . 321.2.4 Полный C1 –инвариант фокусной особенности сложности два . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.2.5 Теорема реализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2.6 Случай нескольких особых точек на слое .

. . . . . . . 462 Топологическая классификация в многомерном случае492.1 Дальнейшие свойства фокусных особенностей с двумя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.1 Описание группы автоморфизмов . . . . . . . . . . .

. 492.1.2 Всякая фокусная особенность Aut-эквивариантно послойно гомеоморфна модельной . . . . . . . . . . . . . . 512.1.3 Сингулярная переменная «угол» на фокусной особенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Топологическая классификация нерасщепляемых многомерных фокусных особенностей . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 542.2.1 Правильные кубические разбиения тора . . . . . . . . . 542.2.2 Классификация фокусных особенностей . . . . . . . . . 562.2.3 Модель почти прямого произведения . . . . . . . . . . . 612.2.4 Подсчет числа особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.5 Особенности сложности два в случае четырех степенейсвободы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.6 Классификация почти торических особенностей . . . . 642.3 Расщепляемые особенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.1 Действие тора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.2 Конструкция . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3.3Особенности ненулевого ранга . . . . . . . . . . . . . . .3 Топологические свойства многомерных фокусных особенностей3.1 Монодромия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Матрица разложения базисных циклов . . . . . . . .

.3.1.2 Монодромия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 L-тип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Неприводимые особенности . . . . . . .

. . . . . . . . .3.2.3 Устойчивость неприводимых особенностей . . . . . . .6971717172757576774 Гладкие инварианты многомерных особенностей784.1 Гладкая эквивалентность неприводимых особенностей . . . . . 784.2 Препятствие к разложению в гладкое почти прямое произведение . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 C1 –классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822ВведениеНапомним, что гладкое многообразие M 2n называется симплектическим,если на нем задана замкнутая невырожденная 2-форма ω — симплектическая структура.

Пусть H — гладкая функция на симплектическом многообразии M 2n . Векторное полеsgrad H = ω −1 dHназывается косым градиентом функции H. Соответствующая динамическая система называется гамильтоновой, H — ее гамильтонианом. Числоn называется числом степеней свободы гамильтоновой системы.Симплектическая форма определяет еще одну структуру на M — скобкуПуассона, бинарную операцию на пространстве гладких функций, задаваемую формулой{f, g} = ω(sgrad f, sgrad g).Утверждение 1.1. Скобка Пуассона задает на C∞ (M ) структуру алгебры Ли.2.

Отображение sgrad : C∞ (M ) → Vect(M ) является гомоморфизмомалгебр Ли, что означает, чтоsgrad {f, g} = [sgrad f, sgrad g].Доказательство см., например, в [1, 4].Далее, имеет место очевидная формула{f, H} =df,dtгде d/dt — производная вдоль векторного поля sgrad H. Таким образом, fявляется интегралом sgrad H тогда и только тогда, когда скобка Пуассонаf и H равна нулю (в таком случае говорят, что f и H коммутируют, илинаходятся в инволюции). В частности, гамильтониан H всегда являетсяинтегралом sgrad H — «закон сохранения энергии».Более подробное обсуждение понятий симплектического многообразия,гамильтоновой системы и скобки Пуассона можно найти в книгах [1, 4].Определение 1.

Предположим, что гамильтонова система sgrad H на симплектическом многообразии M 2n обладает n интегралами f1 , . . . , fn , причем1. {fi , fj } = 0, то есть интегралы находятся в инволюции.2. f1 , . . . , fn функционально независимы почти всюду.3. Векторные поля sgrad fi полны, что означает, что их траектории могутбыть продолжены на неограниченное время.3В этом случае говорят, что система вполне интегрируема по Лиувиллю (илипросто интегрируема). Кроме того,1. Слоение M 2n на связные компоненты множеств вида {f1c1 , .

. . , fn = cn } называется слоением Лиувилля.=2. Отображение F : M 2n → Rn , заданное формулой F (x)(f1 (x), . . . fn (x)) называется отображением момента.=3. Слой лиувиллева слоения называется неособым, если на нем нет ни одной особой точки отображения момента. Остальные слои называютсяособыми.4. Действие Rn на M 2n , порожденное фазовыми потоками sgrad fi , называется пуассоновым действием. Это действие определено корректно,поскольку [sgrad fi , sgrad fj ] = sgrad {fi , fj } = 0.Теорема 1 (Арнольд-Лиувилль, см.

[1, 4]). Предположим, что гамильтонова система sgrad H интегрируема. Тогда1. Каждый слой слоения Лиувилля есть интегральная поверхность системы.2. Каждый неособый слой есть подмногообразие вида Tr × Dn−r . Ограничение симплектической формы на каждое такое подмногообразиеравно нулю (в таком случае говорят, что подмногообразие являетсялагранжевым).3. Все компактные неособые слои являются торами. Слоение Лиувилляв окрестности такого тора тривиально.В дальнейшем мы будем предполагать, что всеслои слоения Лиувилля компактны (если не оговорено противное).Таким образом, фазовое пространство интегрируемой гамильтоновой системы расслоено на инвариантные поверхности, почти все из которых являются торами. Если мы хотим понять качественнуюкартину динамики системы, нужно изучить топологию этого слоения.

Поскольку в окрестности неособого слоя все слоения Лиувилля устроены одинаково (тривиальное слоение на торы), топология определяется, главным образом, особенностями. Именно особенности и являются предметом настоящейработы.На рисунке 4 изображено слоения Лиувилля сиРис. 1: Слоение Ли- стемы с одной степенью свободы на торе. Гамильтонианом служит функция высоты. Видно, что именувилля на торено особые слои, не являющиеся торами (то есть, в4данном случае, окружностями), определяют глобальную структуру слоения.Теория качественного исследования интегрируемых гамильтоновых систем на основе исследования множества их особенностей была создана в работах А. Т.

Фоменко [13, 14, 15], М. П. Харламова [16], а также Л. М. Лерманаи Я. Л. Уманского [21]. Значительный вклад в развитие этой теории внесли (в алфавитном порядке) А. В. Болсинов (см. [2, 17, 3]), В. С. Матвеев (см.[7]), С. В. Матвеев (см. [2]), Нгуен Тьен Зунг (см. [25, 24, 27]), А. А. Ошемков(см. [8, 9, 10]).Слоения Лиувилля можно изучать:1. Локально, то есть в окрестности особой точки.2.

Полулокально, то есть в окрестности особого слоя.3. На инвариантном подмногообразии, например, на поверхности постоянной энергии.4. Глобально.Если мы ставим себе задачу классификации слоений Лиувилля (в одном изуказанных выше смыслов), то нужно также зафиксировать отношение эквивалентности. В зависимости от этого отношения классификация бывает:1. Топологическая, или лиувиллева — классификация с точностью допослойного гомеоморфизма.2. Гладкая — классификация с точностью до послойного диффеоморфизма.3. Симплектическая — классификация с точностью до послойного симплектоморфизма.Настоящая работа, в основном, посвящена задаче полулокальной топологической и гладкой классификации, а также описанию топологии слоения вокрестности особого слоя.Понятно, что описать всевозможные особенности слоений Лиувилля вразумных терминах нельзя, как нельзя описать всевозможные особенностигладких функций.

Следовательно, нужно ограничиться некоторым классомнаиболее простых особенностей. Сейчас мы этот класс определим.Пусть x — особая точка отображения момента ранга r. Пусть L ⊂Tx M 2n — касательное пространство к орбите пуассонова действия, проходящей через точку x. Поскольку L порождается векторами sgrad fi , ограничение симплектической формы ω на L равно нулю. Следовательно, можнорассмотреть ω на пространстве L⊥ /L, где L⊥ — косоортогональное дополнение к L. Легко видеть, что эта форма невырождена.Заметим теперь, что стабилизатор точки x при пуассоновом действииестественно симплектически действует на Tx M . Поскольку это действиесохраняет L, определен гомоморфизмSt x → Sp(L⊥ /L).5Образом соответствующего гомоморфизма касательных алгебр являетсянекоторая коммутативная подалгебра в sp(L⊥ /L) ' sp(2(n − r), R).Определение 2.

Будем называть особую точку x невырожденной, еслиописанная подалгебра в sp(2(n − r), R) является подалгеброй Картана.Определим теперь, что такое тип невырожденной особой точки.Пусть x — невырожденная особая точка ранга k, а h — соответствующаяподалгебра Картана в sp(2(n−r), R). Рассмотрим регулярный элемент a ∈ h.Поскольку a ∈ sp, спектр этого оператора имеет вид:1.

ke пар вида ±νi, где ν — ненулевое вещественное число.2. kh пар вида ±λ, где λ — ненулевое вещественное число.3. kf четверок вида ±λ ± νi, где λ, ν — ненулевые вещественные числа.При этом ke + kh + 2kf = n − r.Как легко видеть, числа ke , kh , kf не зависят от выбора регулярного элемента a ∈ h.Определение 3 (см. [31]). Определенная описанным выше образом тройка(ke , kh , kf ) называется типом особой точки.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации