Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Мы будем рассматривать случай n = 2, хотяаналогичная конструкция работает для любой степени.Пусть связывающий диффеоморфизм имеет вид(ze1 = z1 ,ze2 = f (z1 , z2 ).Определим|∂f /∂ z̄2 | µ(z1 ) =|∂f /∂z2 | z2 =0Заметим, что µ(0) — это не что иное, как C 1 –инвариант особенности степени1, лежащей в прообразе диска {z1 = 0} (L2 в смысле главы «Lk -тип»).Лемма 4.2.
µ есть функция {z2 = 0} → R, не зависящая от выбора канонических интегралов.Доказательство. Имеемze2 = f (z1 , z2 ) = z2 g(z1 ) + z̄2 h(z1 ) + . . . .Сделаем допустимые замены z → w, ze → w.e Будем иметьwe2 r(we1 , we2 ) = w2 q(w1 )g(z1 ) + w̄2 q(w1 )h(z1 ) + . . .Следовательно,µe(w1 ) = µ(z1 ),что и требовалось доказать. Несобственные допустимые замены рассматриваются аналогично.Утверждение 4.3. Если особенность разлагается в гладкое почти прямое произведение, то µ(z1 ) = µ(0) = const.Осталось построить особенность, для которой это условие не выполнено.Теорема 4.4 (Теорема реализации). Любой диффеоморфизм (R4 , 0) →(R4 , 0) видаfe1fe2ef3ef4= f1 ,= f2 ,= f (f1 , f2 , f3 , f4 ),= f4 ,где f (x, y, 0, 0) = 0, может быть реализован в виде связывающего диффеоморфизма некоторой особенности, гомеоморфной F (2) × F (1).81Утверждение доказывается также, как и для степени 1.Возьмем fe3 = f3 + f1 f3 .
Имеем1ze2 = z2 + (z1 + z 1 )(z2 + z 2 ),4∂ez21= 1 + (z1 + z 1 ),∂z24∂ez21= (z1 + z 1 ),∂z 24откуда µ(0) = 0, µ(1) = 1/3. Следовательно, наша особенность не можетбыть представлена в виде гладкого почти прямого произведения.4.3C1 –классификацияНа уровне C1 –гладкости все связывающие диффеоморфизмы имеют вид(19). Следовательно, имеет место следующаяТеорема 4.5. Всякая нерасщепляемая фокусная особенность C1 –эквивалентна почти прямому произведению, причем C1 -структуры на сомножителях определены однозначно.Доказательство.
Второе утверждение теоремы следует из того, что этисомножители диффеоморфны особенностям L1 , . . . Ln (точнее, их связнымкомпонентам).Таким образом, C 1 –классификация фокусных особенностей сводится кзадаче C1 –классификации особенностей степени 1. Гладкие структуры насомножителях не произвольны. Дело в том, что наличие действия группыG, переставляющей особые точки, накладывает ограничения на гладкуюструктуру. Задача гладкой классификации особенностей F (m) с действующей группой G эквивалентна задаче гладкой классификации особенностейF (m)/G. Пусть pi (F ) — число орбит действия G на i–ой компоненте почтипрямого произведения. Пусть I(m) — число C1 –инвариантов особенностиF (m):(0, если m = 1,I(m) =2m − 3, если m > 1.Явные выражения для инвариантов могут быть найдены в главе 1.2.Утверждение 4.4.
Число C1 -инвариантов фокусной особенности F степени n равноnXI(pi (F )).i=182С помощью аналогичной техники можно доказать, что всякая невырожденная особенность, удовлетворяющая условию нерасщепляемости и не имеющая фокусных компонент, диффеоморфна почти прямому произведению.Если же особенность имеет фокусные компоненты, то a priori имеет местотолько C1 –эквивалентность почти прямому произведению.
C 1 –инвариантынерасщепимой особенности всегда определяются C1 –инвариантами ее фокусных компонент.83Список литературы[1] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.:Наука, 1989.[2] Болсинов А.В., Матвеев С.В., Фоменко А.Т, Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // Успехи математических наук.1990.
Т. 45. № 2. С. 49-77.[3] Болсинов А.В., Фоменко А.Т., Траекторная эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I;II. Матем. сборник, 185 (4), с. 27–80; 185 (5), с. 27–78 (1994).[4] Болсинов А.В., Фоменко А.Т., Интегруируемые гамильтоновы системы: Геометрия, топология, классификация. Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика издательский дом "Удмуртский университет 1999.[5] Бухштабер В.М., Панов Т.Е., Действия тора и комбинаторика многогранников, Солитоны, геометрия, топология — на перекрестках, Сборник статей.
К 60-летию со дня рождения академика Сергея ПетровичаНовикова, Тр. МИАН, 225, Наука, М., 1999, 96–131.[6] Бухштабер В.М., Панов Т.Е., Торические действия в топологии и комбинаторике, Издательство МЦНМО, 2004.[7] Матвеев В.С., Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точектипа фокус-фокус и седло-седло, Матем. сб., 187:4 (1996), 29–58.[8] Ошемков А.А., Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы для некоторых интегрируемых случаев динамикитвердого тела на so(4) // Успехи матем. наук, 1987, Т.42, Вып.6, С.199–2OO.[9] Ошемков А.А.
Описание изоэнергетических поверхностей для некоторых интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы// Труды семинара по вект. и тенз. анализу, Т.23, М.: МГУ, 1988, С.122–131.[10] Ошемков А.А., Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела // Труды семинара повект. и тенз. анализу, Т.25, М.: МГУ, 1993, С.23–109.[11] Ошемков А.А., Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей, Новые результаты в теории топологической классификации интегрируемых систем, Сборник статей, Тр.
МИАН, 205,Наука, М., 1994, 131–140.84[12] Ошемков А.А., Классификация гиперболических особенностей рангануль интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. сб., 201:8 (2010),63–102.[13] Фоменко А.Т., Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем,Доклады АН СССР. 1986. 287, №5. 1071–1075.[14] Фоменко А. Т., Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. Изв.АН СССР. Сер. матем.1986.
50, № 6. 1276—1307.[15] Фоменко А. Т. , Симплектическая топология вполне интегрируемыхгамильтоновых систем”, УМН, 44:1(265) (1989), 145–173[16] Харламов М.П., Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела, Л.: Издательство Ленинградского университета,1988, 200 с.[17] Bolsinov A.V., Methods of calculation of Fomenko-Zieschang topologicalinvariant, Advances in Sov. Math., 1991, Vol.6, AMS, Providence, pp. 147183.[18] Bolsinov A.V., Oshemkov A.A., Singularities of integrable hamiltoniansystems, Topological Methods in the Theory of Integrable Systems,Cambridge Scientific Publ., 2006, pp.
1-67.[19] Dufour J.-P., Molino P., and Toulet A., Classification des systemsintegrables en dimension 2 et invariants des modeles de Fomenko. Compt.Rend. Acad. Sci. Paris, 318 : 942–952, 1994.[20] Eliasson L.H., Normal forms for Hamiltonian systems with Poissoncommuting integrals - elliptic case, Comm. Math. Helv., 65(1990), 4-35.[21] Lerman L. M. and Umanski Ya.
L., Structure of the Poisson action of R2on a four-dimensional symplectic manifold. I, II. Selecta Math. Sov., 6 :365–396, 1987; 7 : 39–48, 1988.[22] Jerrold Marsden, Alan Weinstein, Reduction of symplectic manifolds withsymmetry, Rep. Mathematical Phys.
5 (1974), pp. 121-130[23] Miranda E., On symplectic linearization of singular Lagrangian foliations.Ph.D. Thesis. Universitat de Barcelona, 2003.[24] Nguyen Tien Zung, Symplectic topology of integrable hamiltonian systems,I: Arnold-Liouville with singularities, Compositio Mathematica, 101(1996),179-215[25] Nguyen Tien Zung, A note on focus-focus singularities, Differentialgeomerty and applications, 7: 123-130, 199785[26] Nguyen Tien Zung, Another note on focus-focus singularities, Lett. Math.Phys. 60(2002), no.
1, 87-99[27] Nguyen Tien Zung, Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems.II : Topological classification. Compositio Math., 138(2) : 125–156, 2003.[28] M. Symington. Four dimensions from two in symplectic topology. InProceedings of the 2001 Georgia International Topology Conference,Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, pages 153–208, 2003.[29] Vey J., Sur certain systemes dynamiques separables.
Amer. J. Math., 100:591–614, 1978.[30] San Vu Ngoc, On semi-global invariants for focus-focus singularities,Topology, 42(2): 365-380, 2003[31] Williamson J., On the algebraic problem concerning the normal forms oflinear dynamical systems, Amer. J. Math., 58:1(1936), 141-163[32] M. Zou, Monodromy in two degrees of freedom integrable systems, J. Geom.Phys., 10(1992), 37-45.86.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
