Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В частности, это разбиение содержит P n . Прообраз P n является однимиз лагранжевых кусков особого слоя и представляет собой описанное вышемногообразие ZP .Xотя на всем особом слое не существует свободного действия Tm−n , наZP оно все же иногда существует (а именно тогда и только тогда, когда Pреализуем как пространство орбит квазиторического многообразия, [5]) ифактор является квазиторическим многообразием над P .Заметим, что, в отличие от ZP , получающаяся особенность зависит отреалиазации P . Простейший пример: P — отрезок.
Если L задать уравнением x + y = 12 , то особый слой полученной особенности состоит только изтрехмерных сфер. Если же L задать уравнением x + 2y = 12 , то трехмерныесферы будут чередоваться с многообразиями вида S1 × S2 .33.13.1.1Топологические свойства многомерных фокусных особенностейМонодромияМатрица разложения базисных цикловВ этом разделе мы введем понятие матрицы разложения базисных цикловособенности, необходимое для вычисления монодромии.Зафиксируем некоторую подгруппу G в Zn , соответствующую особенности F , и выберем в ней базис. Составим матрицу A(F ) из векторов этогобазиса, записанных по столбцам.Определение 3.1. Матрица A(F ) называется матрицей разложения базисных циклов особенности (для данного базиса).Матрица разложения базисных циклов особенности задана с точностьюдо умножения на обратимую целочисленную матрицу справа и на ортогональную целочисленную матрицу слева.
Фокусная особенность по своей71матрице разложения базисных циклов восстанавливается однозначно (приэтом любая невырожденная целочисленная матрица задает некоторую фокусную особенность).Заметим также, что выбор базиса в G равносилен выбору базиса вH1 (L), где L — ориентированный редуцированный особый слой. Таким образом можно говорить о матрице разложения базисных циклов для базиса вH1 (L). Столбцы этой матрицы — это разложения базисных в H1 (L) цикловпо одномерным ориентированным ребрам L.3.1.2МонодромияЭтот раздел посвящен изучению строения слоения Лиувилля в дополнениик особым слоям вблизи фокусной особенности. Умение вычислять монодромию особенности дает возможность делать выводы о глобальном устройствеслоения Лиувилля системы, зная лишь локальное строение ее особенностей.И наоборот, зная, как устроена система вдали от особенности, мы можемопределить топологический тип особенности.Рассмотрим сначала случай степени 1.
Пусть f2 — периодический интеграл, f1 — произвольный другой, функционально независимый с f2 вне особых точек. Пусть x — точка на базе слоения, близкая к особому значению,γ — петля, обходящая особое значение в плоскости (f1 , f2 ) в положительномнаправлении, γ(0) = γ(1) = x. Пусть v1 — класс одномерных целочисленных гомологий тора Лиувилля, лежащего в прообразе x, соответствующийтраектории косого градиента периодического интеграла f2 , e1 — произвольный цикл, дополняющий v1 до базиса и идущий в направлении траекторииsgrad f1 . Начнем двигаться по петле γ и следить, что происходит с базисом e1 , v1 . Оказывается, что после совершения полного обхода мы получимбазис, отличный от исходного.
Соответствующий оператор на группе одномерных гомологий тора называется оператором монодромии.Теорема 3.1 (см. [32, 25]). В базисе (e1 , v1 ) матрица оператора монодромии имеет вид1 0,m 1где m — число особых точек на слое.Наша задача состоит в обобщении этого результата на случай произвольной степени.Бифуркационная диаграмма в случае фокусной особенности степени n —это n дисков коразмерности 2. Дополнение к бифуркационной диаграммедиффеоморфно Tn × Dn . В его фундаментальной группе имеется выделенный базис из k циклов γ1 , . .
. γn (определенных с точностью до перестановкии изменения ориентации), каждый из которых зацеплен с одним единственным 2n − 2-мерным диском бифуркационной диаграммы. Следовательно,определено n операторов монодромии.72Рассмотрим сначала особенность сложности 1.
С точностью до послойного гомеоморфизма такая особенность единственна и имеет вид F (1)n . Длякаждого из сомножителей выберем базис на торе Лиувилля как описано выше. В результате мы получим базис (e1 , . . . en , v1 , . . . vn ) на торе Лиувилляособенности F (1)n .
Любой базис, построенный таким способом, мы будемназывать стандартным. Очевидно, чтоhi (vj ) = vj ,hi (ej ) = ej + δij vj ,где hi — оператор монодромии, соответствующий обходу вокруг i -ого дискабифуркационной диаграммы.Пусть теперь F — произвольная фокусная особенность степени n. Можно считать, что F есть почти прямое произведение F (∞)n /G.Пусть (e1 , .
. . en , v1 , . . . vn ) — базис на некотором торе Лиувилля, близком к особому слою, такой, что v1 , . . . vn — траектории косых градиентовпериодических интегралов. Легко видеть, что особый слой F является деформационным ретрактом своей окрестности. Стягивая циклы ei на особыйслой и проецируя их на редуцированный особый слой, мы получим базисв одномерных гомологиях редуцированного особого слоя. Таким образом,базис на торе Лиувилля фокусной особенности определяет базисна ее редуцированном особом слое.Лемма 3.1. Пусть (e1 , .
. . en , v1 , . . . vn ) — базис на торе Лиувилля особенности F , лежащем в прообразе точки x, такой, что v1 , . . . vn — траектории косых градиентов периодических интегралов. Тогда существуетпослойное накрытие ρ : F → F (1)n , являющееся гомеоморфизмом на базеслоения и такое, чтоρ(vi ) = vei ,Xρ(ei ) =aji eej .jгде (ee1 , . . . een , ve1 , . . . ven ) — стандартный базис на торе ρ(x), (aij ) — матрица разложения базисных циклов, соответствующая базису на редуцированном особом слое, построенному по (e1 , . .
. en , v1 , . . . vn ).Примечание 3.1. Матрицу разложения базисных циклов можно записатьлишь в том случае, если редуцированный особый слой ориентирован. Здесьречь идёт об ориентации, «поднятой» с особенности F (1)n .Доказательство. Рассмотрим на F (∞)n действие группы Zn . Оно определяет действие группы Zn /G на F . Фактор F по этому действию естьособенность сложности 1, то есть F (1)n .Очевидно, что ρ(vi ) = vei . Для доказательства равенства ρ(ei ) = aji eejзаметим, что именно так связаны между собой базисы на редуцированномособом слое F и F (1)n .73Утверждение 3.1.hi (ej ) = ej + aij vi .Доказательство.
Воспользуемся существованием накрытия, построенногов 3.1. Имеет место очевидное равенствоρ(hi (ej )) = hi (ρ(ej )).Далее,hi (ρ(ej) ) =Xakj hi (eek ) =kXakj (eek + δik vek ) =k!=Xakj eek+ aij vei = ρ(ej + aij vi ),kоткуда и следует требуемое равенство.Теорема 3.2 (О монодромии). Существует способ согласованно выбратьпорядок и ориентации циклов γ1 , . . . γn и базис в группе одномерных гомологий тора Лиувилля так, что матрицы монодромии будут иметь видE 0hγi =,Ai Eгде Ai — матрица, полученная из матрицы разложения базисных цикловобнулением всех строк, кроме i-ой.Доказательство. Это непосредственно вытекает из предыдущего утверждения.Утверждение 3.2. Фокусная особенность восстанавливается по своеймонодромии.Доказательство.Действительно, фокусная особенность восстанавливается по своей матрице разложения базисных циклов, аE 0hγ1 ···γn =.A EСледствие 3.2.1.
C точностью до послойного гомеоморфизма нерасщепляемая почти торическая особенность однозначно восстанавливается понабору операторов монодромии hγi .Поскольку монодромию можно определить в терминах аффинной структуры на базе слоения, это утверждение означает, что аффинная структурана базе почти торического слоения позволяет определить тип его особенностей (по крайней мере, если эти особенности нерасщепляемы).74Пример 3.1. Вычислим монодромию для особенности F (2) × F (2)/Z2 . Матрица разложения базисных циклов имеет вид2 1,0 1откуда10h1 = 2010h2 = 003.23.2.1011000100101001000,0100.01УстойчивостьL-типВ этом разделе мы обсудим понятие L-типа особенности, полезное для исследования устойчивости и гладкой классификации многомерных фокусных особенностей.Понятие L-типа было введено А.
B. Болсиновым ([17]) и перенесено наобщий случай Нгуеном Тьен Зунгом ([24]). В нашем случае оно определяется так: нужно рассмотреть в образе отображения момента двумерные диски, соответствующие критическим точкам, ранг которых не превосходит 2.Пересечение прообраза каждого из этих дисков с множеством критическихточек ранга не более, чем 2 — это четырехмерное симплектическое многообразие. На каждом из таких многообразий задана фокусная особенностьстепени 1 (возможно, несвязная). Набор из n пар вида (многообразие, особенность) и называется L-типом особенности. Поскольку первый элементпары — многообразие — является попросту окрестностью особого слоя, тодопустимо называть L-типом просто набор особенностей.Введем теперь более общее понятие Lk -типа. Нужно лишь заменить вопределении L-типа ранг 2 на ранг 2k.
Lk тип — это набор из Cnk особенностей. Эти особенности индексируются наборами из k индексов. Lm1 ,...mk —это особенность, соответствующая диску, на котором обращаются в нольвсе интегралы из набора z 1 , . . . z n , кроме интегралов с индексами m1 , . . . mk .Здесь z j = f1j + if2j .L1 = (L1 , . . . Ln ) — это обычный L-тип. Ln — это сама особенность F .Пусть наша особенность представлена в виде F = F1 × · · · × Fn /G, гдеG — подгруппа в Zs(F1 ) ⊕ × ⊕ Zs(Fn ) . Рассмотрим в Zs(F1 ) ⊕ × ⊕ Zs(Fn )«координатную плоскость», натянутую на слагаемые с номерами m1 , . .
. mk .Пусть Gm1 ,...mk — перечесение G с этой плоскостью.75Утверждение 3.3. Lm1 ,...mk (F ) есть несвязное объединение особенностейвида Fm1 × · · · × Fmk /Gm1 ,...mk в количествеs(F ).s(Fm1 × · · · × Fmk /Gm1 ,...mk )Следствие 3.2.1. Пусть F = F1 × · · · × Fn /G — каноническая модель дляF . Тогда L-тип F имеет видs(F )s(F )экземпляров F1 , . . .экземпляров Fn .s(F1 )s(Fn )Lk -тип допускает простое геометрическое описание. Редуцированныйособый слой Lk -типа особенности — это в точности k-мерный остов ее редуцированного особого слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
