Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Слоение на модельной фокусной особенности есть слоение на множества уровня голоморфной функции. Комплексная симплектическая форма задается в окрестности каждой особой точки формулойdw ∧ dz — отображения склейки окрестностей сохраняют эту форму. Легковидеть, что элементы Aut0 так же сохраняют эту форму, что и требовалосьдоказать.2.1.3Сингулярная переменная «угол» на фокусной особенностиФундаментальнаягруппафокусной особенности изоморфна Z и порождаетсяциклом «обходящим» особые точки. Покажем, чтоможно в окрестности особого слоя можно построитьнекий аналог переменнойsgrad f1«угол» — функцию f3 , заРис.
6: Особенность F (∞)дающуюпараметризациюэтого цикла. Существованиеэтой «угловой» переменной будет неоднократно использоваться нами вдальнейшем.Поскольку с многозначной угловой переменной работать неудобно, перейдем к универсальному накрытию. А именно рассмотрим универсальноенакрытие над модельной особенностью F (m). Это накрытие одно и то жедля всех m и является модельной особенностью F (∞).Стрелкой на рисунке 6 указано направление потока sgrad f1 . Мы хотимпостроить функцию, растущую в этом направлении.Лемма 2.2. На модельной фокусной особенности F (∞) существует гладкая функция f3 со следующими свойствами:1. f3 принимает последовательные целые значения в особых точках.2.
f3 не имеет особенностей вне особых точек.3. {f1 , f3 } > 0 всюду, кроме особых точек.4. {f2 , f3 } = 0.5. f3 (φ(x)) = f3 (x) + 1, где φ — автоморфизм, переводящий i-ую точкув i + 1-ую.Доказательство. Сначала построим f3 в окрестности одной особой точки.Обозначим эту точку x1 .
В окрестности x1 существуют канонические координаты (p, q) такие, чтоf1 = p1 q1 + p2 q2 ,f2 = p1 q2 − q1 p2 .53Положимf3 = q12 + q22 − p21 − p22 .Имеем{f1 , f3 } = 2(q12 + p21 + q22 + p22 ),{f2 , f3 } = 0Построенная нами функция в окрестности особой точки удовлетворяет всемтребуемым свойствам. Далее, нужно перенести f3 в окрестность каждойособой точки с помощью соответствующего симплектоморфизма.
При этомзначения f3 нужно увеличивать на соответствующие целые числа.Теперь осталось продолжить f3 в области между окрестностями особыхточек. Достаточно сделать это для одной такой области(далее f3 продолжается однозначно), например для области между окрестностями x1 и x2 .Обозначим эту область как G.Без ограничения общности можно считать, что окрестности особых точек — это шары в канонических координатах (p, q). Тогда G расслоена нацилиндры, ограниченные траекториями sgrad f2 . Рассмотрим функцию T ,которая есть время движения вдоль траектории sgrad f1 от одной из границ G. Искомая функция f3 будет функцией от T, f1 , f2 . Она должна удовлетворять условию ∂f3 /∂T > 0 и гладко склеиваться с уже построеннойфункцией в окрестностях x1 , x2 . Такую функцию легко построить при помощи разбиения единицы. f3 так же должна коммутировать с f2 , но этогоусловия всегда можно добиться усреднением построенной функцией по действию окружности.2.22.2.1Топологическая классификация нерасщепляемыхмногомерных фокусных особенностейПравильные кубические разбиения тораВ этом разделе мы определим понятие правильного кубического разбиениятора и установим некоторые свойства таких разбиений.
Правильные кубические разбиения тора понадобятся нам для классификации многомерныхфокусных особенностей.Рассмотрим стандартное разбиение евклидова пространства Rn на единичные кубы.Определение 2.2. Разбиение n-мерного тора на кубы будем называть правильным кубическим разбиением, если его можно получить факторизациейстандартного кубического разбиения Rn по некоторой подгруппе G полногоранга n в группе Zn трансляций этого разбиения.
Число n будем называтьстепенью кубического разбиения, число кубов — его сложностью.Пусть L — правильное кубическое разбиение тора. По определению Lполучается из стандартной решетки факторизацией по подгруппе полногоранга G ⊂ Zn . Действие Zn на стандартной решетке определяет действие54Zn на L. Таким образом, определено отображение δ группы Zn в группуавтоморфизмов L. Образ этого отображения обозначим за Aut0 (L). Ядроδ есть G, поэтому Aut0 (L) ' Zn /G. Aut0 (L) действует на множестве кубовразбиения L, а так же на множестве их вершин, транзитивно и свободно.Насколько однозначно представление L в виде фактора Rn /G?Лемма 2.3. Два кубических разбиения тора Rn /G1 и Rn /G2 изоморфнытогда и только тогда, когда G2 получается из G1 композицией некоторогочисла отражений относительно плоскостей xi = xj и xi = 0.Доказательство.
Предположим, что разбиения Rn /G1 и Rn /G2 изоморфны, φ — изоморфизм. Поскольку группа автоморфизмов правильного кубического разбиения тора действует на нем транзитивно, можно считать,что φ переводит образ начала координат в образ начала координат. Тогда φподнимается до автоморфизма стандартной решетки, сохраняющего началокоординат. Но такой автоморфизм, очевидно, есть целочисленное и ортогональное преобразование, то есть композиция некоторого числа отраженийотносительно плоскостей xi = xj и xi = 0.
При этом G1 он переводит в G2 ,что и требовалось доказать.В обратную сторону утверждение очевидно.Таким образом, действие Zn на L задано неоднозначно, а лишь с точностью до ортогонального автоморфизма Zn .Определение 2.3. Правильное кубическое разбиение тора с фиксированным на нем действием группы Zn мы будем называть ориентированнымправильным кубическим разбиением тора.Очевидно следующееУтверждение 2.7.
Ориентированные правильные кубические разбиениятора находятся во взаимнооднозначном соответствии с подгруппами конечного индекса в Zn .Пусть теперь L — ориентированное правильное кубическое разбиениетора. Обозначим за ∆i автоморфизм, соответствующий i-ому базисномувектору Zn . Будем называть автоморфизмы ∆i базисными сдвигами.Рассмотрим произвольный базисный сдвиг ∆i . Пусть mi — его порядокв Aut0 (L).Утверждение 2.8. Если 0 < k < mi , то ∆ki (K) 6= K для любого куба K.Доказательство.
Предположим, что ∆ki (K) = K для некоторого K. Пустьe — любой другой куб. Тогда Ke = a(K) для некоторого a ∈ Aut0 . ИмеемKe = ∆ki (a(K)) = a(∆ki (K)) = K,e∆ki (K)откуда ∆ki есть тождественное отображение, и k = mi . Здесь мы воспользовались абелевостью Aut0 .55Таким образом, mi — это число сдвигов, которые нужно сделать в направлении i, чтобы куб перешел в себя. mi будем называть порядком i-огобазисного сдвига L.iесть тождественное отображение, действие Zn сводитсяПоскольку ∆miк действию Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmn . Более точно, существует эпиморфизм δe: Zm1 ⊕e где π — стандартная проекция· · · ⊕ Zmn → Aut0 (L), такой что δ = δπ,nZ → Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmn .e Обозначим (единственное) правильное кубическогоe = Ker δ.Пусть Gразбиение окружности сложности m как L(m).Утверждение 2.9.1. Всякое ориентированное правильное кубическое разбиение тораLпредставимо в виде почти прямого произведенияeL ' L(m1 ) × · · · × L(mn )/G,ee = Ker δ.где mi — порядки базисных сдвигов, Ge имеет тривиальное пересечение с Zm в Zm ⊕ · · · ⊕ Zm .2.
Gi1n3. Предположим, что существует другое представлениеeL ' L(k1 ) × · · · × L(kn )/H,причем H имеет тривиальное пересечение с Zki . Тогда• Числа ki и mi совпадают.eиHe совпадают как подгруппы Zm ⊕ · · · ⊕ Zm .• G1nТаким образом, ориентированное правильное кубическое разбиения тора имеет однозначное представление в виде почти прямого произведенияодномерных разбиенийeL ' L(m1 ) × · · · × L(mn )/Ge имеет тривиальное пересечение с Zm .
Если же разбиепри условии, что Giние не ориентировано, то разложение в почти прямое произведение можетзависеть от ориентации. При изменении ориентации числа mi могут меняться местами. Две подгруппы в Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmn задают одинаковое разбиение,если они получаются друг из друга композицией некоторого числа отражений относительно плоскостей xi = 0 и xi = xj (когда mi = mj ).2.2.2Классификация фокусных особенностейВ этом разделе мы будем рассматривать особенности ранга 0 типа (0, 0, n),то есть особенности, имеющие только фокусные компоненты. Мы называемих фокусными особенностями степени n.
Наша задача состоит в классификации таких особенностей с точностью до послойного гомеоморфизма.Далее в тексте F (m) обозначает модельную фокусную особенность степени 1 сложности m56Утверждение 2.10. В окрестности особого слоя фокусной особенностиF степени n существует единственное гамильтоново свободное почтивсюду действие тора Tn .Доказательство. Это утверждение имеет место и в расщепляемом случае.Действительно, такое действие существует и единственно в окрестностипроизвольной особой точки ранга 0 фокусной особенности.
Поскольку этодействие гамильтоново, оно порождается некоторыми функциями на базе слоения, а значит может быть продолжено на всю окрестность особогослоя.Определение 2.4. Фактор особого слоя особенности F по действию Tnбудем называть редуцированным особым слоем фокусной особенности.Образы особых точек различного ранга определяют на редуцированномособом слое структуру клеточного комплекса. Из определения a priori неследует инвариантность этого комплекса при гомеоморфизмах, посколькупослойный гомеоморфизм не обязан коммутировать с действием тора. Длядоказательства инвариантности воспользуемся теоремой ЗунгаТеорема 2.1 (Нгуен Тьен Зунг, [24]).
Всякая нерасщепляемая фокуснаяособенность ранга 0 степени n послойно гомеоморфна особенности видаF = F1 × · · · × Fn /G,где Fi — фокусные особенности степени 1, а действие G свободное, симплектическое, покомпонентное и тождественное на базе слоения.Отсюда следует, что все орбиты пуассонова действия гомеоморфныTm ×Rm .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
