Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Две фокусные особенности сложности 2 с положительными кольцами послойно гладко эквивалентны тогда и только тогда, когда ихeсвязывающие диффеоморфизмы лежат в одной орбите действия Ξ.Доказательство. Первое утверждение является очевидным следствиемлеммы 1.7 и утверждения 1.10.
Действие группы Z2 возникает, потому чтоособые точки можно менять местами. При такой перестановке связывающий диффеоморфизм заменяется на обратный. Теорема доказана.Аналогичное утверждение верно и для C k –эквивалентности, нужнотолько заменить допустимые диффеоморфизмы на C k –допустимые.Займемся теперь описанием класса допустимых диффеоморфизмов.Теорема 1.4 (Об устройстве группы допустимых диффеоморфизмов).Диффеоморфизм φ окрестности нуля в R2 допустим тогда и только тогда, когда он представим в одной следующих форм:1. φ(z) = zψ(z), ψ(0) 6= 0, z = x + iy2. φ(z) = zψ(z), ψ(0) 6= 0, z = x + iyДоказательство.Необходимость.Покажем, что из допустимости следует представимость в указанном виде. По определению допустимости, существует коммутативная диаграммаΦ(C2 , 0) −−−−→ (C2 , 0)zwzwyyφ(C, 0) −−−−→ (C, 0)Пусть Φ = (f, g).
Тогдаφ(zw) = f (z, w)g(z, w)Имеемf (0, w)g(0, w) = φ(0) = 0Отсюда, в силу невырожденности Φ, следует, что в некоторой окрестностинуля один из сомножителей обращается в ноль. Геометрически это означает, что трансверсально пересекающиеся в особой точке плоскости либосохраняются, либо меняются местами.36Без ограничения общности можно считать, что f (0, w) = 0. Тогда существует разложениеf (z, w) = zh(z, w) + zk(z, w)(6)Аналогично,f (z, 0)g(z, 0) = 0При этом g(z, 0) = 0 (в силу диффеоморфности разные плоскости переходятв разные). Имеемg(z, w) = ws(z, w) + wt(z, w)(7)Тогдаφ(zw) = f (z, w)g(z, w) = (zh(z, w) + zk(z, w))(ws(z, w) + wt(z, w))В силу невырожденности, в тейлоровском разложении φ(zw) должны присутствовать члены порядка 2. Поэтому, либо h(0) 6= 0, либо k(0) 6= 0.Рассмотрим случай h(0) 6= 0.
Если при этом t(0) 6= 0, то разложениеφ(zw) содержит член вида czw, что невозможно. Поэтому t(0) = 0, а s(0) 6=0.Выберем разложения (6),(7) так, чтобы в разложении k в ряд по z, w, z, wне было z (все члены, содержащие z можно вынести в первое слагаемое разложения (6)), а в разложении t не было w. Покажем, что k(z, w) = t(z, w) =0.Предположим противное. Пусть m — минимальная степень одночлена,входящего в k, n — в t. Возможно два случая:1. m 6= n. Без ограничения общности, m < n. Тогдаφ(zw) = zwhs + wzs(0)km [z, w, w] + члены порядка > m + 2,(8)где km — полином степени m от z, w, w. Все одночлены wzs(0)km является членами ряда для φ(zw).
Действительно, в двух других слагаемых разложения (8) нет подобных им одночленов. Но все члены рядадля φ(zw) должны иметь вид (zw)α (zw)β . Отсюда km = 0. Противоречие.2. m = n Рассуждая аналогично, получаем, чтоwzs(0)km [z, w, w] + zwh(0)tm [w, z, z] = 0Второе слагаемое должно делиться на w, поэтому zwh(0)tm = 0 иtm = 0.
Противоречие.Получаемφ(zw) = f (z, w)g(z, w) = (zh(z, w))(ws(z, w)) = zwhs,37откудаφ(z) = zh(z, 1)s(z, 1),что и требовалось доказать. В случае k(0) 6= 0 аналогично получаемφ(z) = zk(z, 1)t(z, 1)ДостаточностьПусть φ имеет вид zψ(z). Зададим поднятие явными формулами. Положим(zΦ(z, w) =wψ(zw).Это, очевидно, диффеоморфизм. Далее,zewe = zwψ(zw) = φ(zw),что и требовалось доказать.Осталось показать, что комплексное сопряжение — допустимый диффеоморфизм. Зададим поднятие следующими формулами:(ze = zwe=wТеорема доказана.Следствие 1.4.1. Всякую функцию f : (R2 , 0) → (R, 0), такую чтоgrad f (0, 0) 6= 0 можно включить в допустимый диффеоморфизм в качестве компоненты f2 .Доказательство.
Запишем условие допустимости в вещественном виде.f1 + if2 = (x + iy)(u + iv) == xu − yv + i(xv + yu)(f1 = xu − yvf2 = xv + yuВсякую функцию f2 , сохраняющую ноль, можно представить в виде:f2 = xv + yuПоложимf1 = xu − yvУсловие grad f (0, 0) 6= 0 гарантирует то, что u(0, 0) + iv(0, 0) 6= 0. Пара f1 , f2образует допустимый диффеоморфизм. Утверждение доказано.38Вернёмся теперь к вопросу поднятия заданного диффеоморфизма базы до гладкой эквивалентности фокусных особенностей с двумя точкамина слое. Мы знаем, что для существования такого поднятия необходимои достаточно, чтобы этот диффеоморфизм базы поднимался до диффеоморфизма окрестностей особых точек.
Пусть теперь нам заранее известно,что особенности гладко эквивалентны. Пусть некоторый диффеоморфизмбазы поднимается до диффеоморфизма окрестностей первых особых точек. Следует ли отсюда, что он может быть поднят и до диффеоморфизмаокрестностей вторых особых точек? Очевидно, можно переформулироватьэтот вопрос так: Пусть задан некоторый автоморфизм базы особенноститипа фокус-фокус с двумя точками на слое, поднимаемый до послойногоавтоморфизма окрестности первой особой точки. Может ли он быть подняти до автоморфизма окрестности второй особой точки? Ответ, вообще говоря, отрицательный. Дело в том, что возникающие замены каноническихинтегралов имеют вид d, φ−1 dφ, где φ — связывающий диффеоморфизм особенности.
Первая замена, по предположению, допустима. Но отсюда никакне вытекает допустимость второй замены. На языке алгебры это означает,что группа допустимых диффеоморфизмов не является нормальной подгруппой в группе всех диффеоморфизмов. Это можно понять из их явноговида. Достаточно рассмотреть d(z) = iz, φ(z) = z + 2z.1.2.4Полный C1 –инвариант фокусной особенности сложностидваПостроим теперь полный C 1 –инвариант фокусной особенности с двумя особыми точками на слое. Нам понадобитсяЛемма 1.8 (О C k –допустимости). C k -диффеоморфизм (R2 , 0) C k допустим тогда и только тогда, когда его разложение до члена порядка kделится на z или на z.Доказательство.Достаточность.Поступим так же, как и при доказательстве теоремы 1.4. Посколькукомплексное сопряжение является допустимым диффеоморфизмом, достаточно рассмотреть случай делимости на z.
Существует представлениеφ = zh(z),где h(z) ∈ C k−1 . Но тогда, положив(zΦ(z, w) =wh(zw),получим C k –поднятие φ.Доказательство необходимости дословно повторяет доказательство теоремы 1.4.39Действие A(C 1 ) × A(C 1 ) h Z2 на Diffeo(R2 , 0) порождает действие тойже группы на дифференциалах в нуле. Имеет место следующаяЛемма 1.9. Пусть φ1 и φ2 — связывающие диффеоморфизмы некоторыхфокусных особенностей. Тогда следующие условия эквивалентны:1.
Дифференциалы φ1 и φ2 лежат в одной орбите действия A(C 1 ) ×A(C 1 ) h Z2 .2. При некотором, и тогда при любом выборе канонических интегралов|∂φ2 /∂ z̄||∂φ1 /∂ z̄|=|∂φ1 /∂z||∂φ2 /∂z|Доказательство. Очевидно, что достаточно рассматривать лишь линейные допустимые диффеоморфизмы. Пустьdφ(z) = αz + βzПоскольку связывающие диффеоморфизмы всегда являются собственными, левая и правая допустимые замены либо обе собственные, либо обенесобственные.Рассмотрим сначала действия собственными допустимыми диффеоморфизмами.
Собственный линейный допустимый диффеоморфизм — этоумножение на комплексное число. Орбита dφ при лево-правом действииимеет видdφγ,δ (z) = γδαz + γβδz,где γ и δ — произвольные ненулевые комплексные числа. Чтобы найти инвариант этого действия, зададимся вопросом — какие условия надо наложитьнаeedφ(z)=αez + βz,чтобы при некоторых γ и δ выполнялось равенствоedφ(z)= dφγ,δ (z).(9)Имеем,αe = γδαβe = γβδ,откудаδαeβ.=eδβα(10)Выражение в левой части равенства по модулю равно единице, откудаβeβ| | = | |.ααe40(11)Обратно, если верно равенство (11), то уравнение (10) разрешимо относительно δ и представление (9) существует.Таким образом, отношение|∂φ/∂ z̄||∂φ/∂z|является полным инвариантом действия линейных собственных допустимых диффеоморфизмов на линейные связывающие диффеоморфизмы.Аналогично рассматривается несобственный случай.
Наконец, легко показать, что при замене связывающего диффеоморфизма на обратный отношение не меняется. Лемма доказана.Теорема 1.5 (О полном C 1 –инварианте). Пусть φ — связывающий диффеоморфизм фокусной особенности с двумя точками на слое. Тогда выражениеµ(φ) =|∂φ/∂ z̄|,|∂φ/∂z|(12)задает полный C 1 –инвариант особенности.Доказательство. Пусть две особенности C 1 –эквивалентны. Тогда их связывающие диффеоморфизмы лежат в одной орбите действия A(C 1 ) ×A(C 1 ) h Z2 .
Это же, очевидно, верно и для их дифференциалов. Тогда,в силу леммы 1.9, µ–инвариант у них совпадает.Обратно, пусть значения µ–инварианта совпали. Тогда существует C 1 –допустимое преобразование, приводящее dφ1 к dφ2 . Это означает, что допустимыми заменами координат в окрестности особых точек, мы можем добиться того, чтобы дифференциалы связывающих диффеоморфизмов совпали. Тогда φ−11 φ2 имеет тождественный дифференциал. В силу леммы о1C k –допустимости d = φ−11 φ2 C –допустим. Но φ2 = φ1 d, поэтому соответствующие особенности послойно C 1 –эквивалентны. Теорема доказана.Примечание 1.8. Лемма о C k –допустимости в сущности дает нам универсальный рецепт для вычисления полных C k –инвариантов фокусных особенностей: нужно вычислять инварианты лево-правого действия полиномовстепени k, делящихся на z(или z), на всех полиномах той же степени.Укажем формулу для µ в вещественных координатах.Утверждение 1.11.
Если дифференциал связывающего диффеоморфизмаимеет видa bdφ =,c dтоs(a − d)2 + (b + c)2µ=(a + d)2 + (b − c)241Для вычисления µ–инварианта нужно знать производные связывающегодиффеоморфизма особенности. В симплектическом случае их можно выразить через собственные значения линеаризации sgrad H в особых точках.Пусть x — особая точка типа фокус–фокус. Cобственные значения линеаризации sgrad H в точке x имеют вид λ, λ, −λ, −λ. Укажем каноническийспособ выбрать одно из четырех собственных значений для каждой из особых точек на слое.Каждой из пар λ, λ и −λ, −λ соответствует двумерное инвариантное подпространство. Эти подпространства являются касательными плоскостямик трансверсально пересекающимся в особой точке сферам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
