Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Еслитеперь взять xe = x + ay, тоµ(F ) = √|a|,a2 + 4и при разных a мы получаем особенности, неэквивалентные даже в классеC1 . Следовательно, гладкие инварианты фокусных особенностей нетривиальны.Аналогичные результаты для случая большего числа точек на слое приводятся в разделе 1.2.6.Перейдем теперь к главе 2. В этой главе обсуждаются многомерные фокусные особенности, то есть особенности типа (0, 0, kf ), а также почти торические особенности (см.
[28]), то есть особенности типа (ke , 0, kf ). Оказывается, классификация последних легко сводится к фокусным ранга нуль.Теорема 8. Любая нерасщепляемая почти торическая особенность рангаr типа (ke , 0, kf ) топологически эквивалентна прямому произведению особенности ранга 0 типа (0, 0, kf ) (то есть чисто фокусной особенности),ke экземпляров особенности ранга 0 типа (1, 0, 0) (то есть эллиптическойособенности) и слоения без особенности Tr × Dr .Поскольку эллиптическая особенность с точностью до послойного гомеоморфизма (и даже симплектоморфизма) единственна, классификациянерасщепляемых почти торических особенностей сводится к классификации нерасщепляемых чисто фокусных особенностей нулевого ранга. Особенности типа (0, 0, n) ранга 0 для краткости будем называть фокуснымиособенностями степени n.Утверждение 2. В окрестности особого слоя фокусной особенности Fстепени n существует единственное гамильтоново свободное почти всюду действие тора Tn .Определение 8.
Фактор особого слоя особенности F по действию Tn будем называть редуцированным особым слоем фокусной особенности.11Образы особых точек различного ранга определяютна редуцированном особом слое структуру клеточногокомплекса. Как устроен этот комплекс?Рассмотрим стандартное разбиение евклидова пространства Rn на единичные кубы. Пусть G — некотораяподгруппа максимального ранга n в группе трансляцийРис. 2: ПравильZn этого разбиения.ное кубическоеразбиение тора Определение 9.
Разбиение n-мерного тора на кубы(ребра с одина- будем называть правильным кубическим разбиением,ковыми буквами если его можно получить факторизацией стандартногонужно склеить в кубического разбиения Rn по некоторой подгруппе G всоответствии со группе Zn трансляций этого разбиения. Число кубов встрелками).разбиении будем называть его сложностью.c - b666aabcНа риcунке 2 изображен пример правильного кубического разбиения двумерного тора.
Соответствующаяподгруппа G порождается векторами (1, 1), (2, 0).Теорема 9.1. Редуцированный особый слой нерасщепляемой фокусной особенностистепени n является правильным кубическим разбиением n-мерноготора. Сложность этого разбиения равна сложности особенности.2. Отображение, сопоставляющее фокусной особенности ее редуцированный особый слой, является взаимно-однозначным соответствиеммежду классами топологически эквивалентных нерасщепляемых фокусных особенностей ранга 0 степени n и правильными кубическимиразбиениями n-мерного тора.Каждое правильное кубическое разбиения тора по определению задается подгруппой G в Zn . Две подгруппы задают одно и то же разбиение,если одна переходит в другую при некотором целочисленном ортогональномпреобразовании (то есть композиции отражений относительно плоскостейxi = 0, xi = xj ).Определение 10.
Будем называть такие подгруппы ортогонально эквивалентными.Теорема 10. Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между классами топологически эквивалентных нерасщепляемыхфокусных особенностей ранга 0 степени n и классами ортогонально эквивалентных подгрупп конечного индекса в Zn .
Сложность особенностиравна индексу соответствующей подгруппы.Таким образом, мы поставили в соответствие нерасщепляемой фокуснойособенности некоторый комбинаторный объект, и задачу классификацииможно считать полностью решенной.12c - dAbA bAAa AaA-cdРис. 3: Простое разбиение тора (ребрас одинаковыми буквами нужно склеитьв соответствии сострелками).В разделе 2.3 рассматриваются многомерныефокусные особенности, не удовлетворяющие условию нерасщепляемости.
Мы не ставим себе задачу полной классификации таких особенностей (навряд ли она возможна в разумных терминах, еслине делать никаких дополнительных препдположений), но показываем, что они имеют достаточно богатую комбинаторно-топологическую структуру. Вчастности, обнаружены связи таких особенностей сторической топологией.Как мы видели, на особом слое нерасщепляемых фокусных особенностей действует тор, и фактор является правильным кубическим разбиениемтора.
Такое действие существует и для расщепляемых особенностей. Аналогом правильных кубических разбиений в этомслучае служат так называемые простые разбиения.Определение 11. Клеточное разбиение многообразия назовем простым,если двойственное ему разбиение является кубическим.Теорема 11. Предположим, что1. Все особые точки на данном особом слое слоения Лиувилля имеюттип (0, 0, k) (для различных точек k различно).2. Особый слой содержит замкнутую орбиту пуассонова действия, состоящую из особых точек типа фокус-фокус ранга r степени n.Тогда1.
Особый слой представляет собой объединение лагранжево погруженных компактных многообразий.2. В окрестности особого слоя имеется гамильтоново действие тораTr+n .3. Фактор особого слоя по действию тора (редуцированный особый слой)есть простое разбиение n-мерного тора. Замыкание каждой клеткиэтого разбиения является образом одного лагранжева «куска» особого слоя.В примерах редуцированный особый слой есть не просто клеточное разбиение, но разбиение на простые многогранники.
По-видимому, это всегдатак. Если к тому же r = 0, то многообразия особого слоя являются квазиторическими над этими простыми многогранниками (определение см. в[6]).В качестве примера рассмотрим правильное разбиение тора, изображенное на рисунке 3. Оно является редуцированным особым слоем фокуснойособенности ранга 0 степени 2. Особый слой этой особенности состоит из13двух вложенных многообразий CP2 (соответствующих треугольникам) и2одного погруженного многообразия CP2 #3CP (соответствующего шестиугольнику).Как показано в разделе 2.3.2, существует достаточно широкий класспростых разбиений тора, которые могут быть реализованы как редуцированный особый слой некоторой особенности.
В частности, как показано вразделе 2.3.3, любой простой многогранник может быть «куском» редуцированного особого слоя некоторой фокусной особенности. Соответствующим«куском» особого слоя является момент-угол многообразие над этим многогранником (определение см.
в [5]).Перейдем к главе 3. В разделе 3.1.2 обсуждается монодромия в окрестности фокусных особенностей. Напомним, что такое монодромия.Если выкинуть из слоения Лиувилля все особые слои, получится локально тривиальное расслоение. Каждому замкнутому пути на базе локальнотривиального расслоения соответствует некоторый гомотопический классотображений слоя в себя. Поскольку слой в нашем случае является тором,гомотопический класс определяется автоморфизмом группы одномерныхгомологий. Этот автоморфизм и называется монодромией.Пусть у нас есть нерасщепляемая фокусная особенность F степени n.Для того, чтобы сформулировать теорему о монодромии, нам понадобится дать определение матрицы разложения базисных циклов особенности.Зафиксируем некоторую подгруппу в Zn , соответствующую особенности Fи выберем в ней базис. Составим матрицу A(F ) из векторов этого базиса,записанных по столбцам.Определение 12.
Матрица A(F ) называется матрицей разложения базисных циклов особенности (для данного базиса).Рассмотрим теперь образ отображения момента в окрестности фокуснойособенности F . Множество особых значений представляет собой объединение n дисков коразмерности 2, находящихся в общем положении. Множество регулярных значений диффеоморфно Tn × Dn и его фундаментальная группа изоморфна Zn .
Более того, в фундаментальной группе имеетсяестественный базис γ1 , . . . γn , заданный с точностью до перестановки и изменения ориентации циклов. Этот базис определяется тем, что каждый егоэлемент зацеплен ровно с одним диском множества особых значений.Теорема 12. Существует способ согласованно выбрать порядок и ориентации циклов γ1 , . . . γn и базис в группе одномерных гомологий тора Лиувилля так, что матрицы монодромии будут иметь видE 0hγi =,Ai Eгде Ai —матрица, полученная из матрицы разложения базисных цикловобнулением всех строк, кроме i-ой.14Это утверждение является непосредственным обобщением формулы монодромии для фокусной особенности степени один (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
