Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пусть (M 4 , F ) — первая особенность, (N 4 , G) —вторая, а xM ∈ M 4 , xN ∈ N 4 — соответствующие особые точки типа фокусфокус. Пусть (p, q) — некоторые нормальные координаты в окрестности xM .Окрестность xM , на которой определено исходное отображение φ, содержитнекоторый шар Uε (xM ).Перенесем координаты p, q на окрестность xN с помощью отображенияφ. Отображение φ в новых координатах будет попросту тождественным.На M 4 существует некоторая риманова метрика.

Перенесем ее наφ(Uε (xM )) = Uε (xN ) с помощью отображения φ. На N 4 существует метрика, совпадающая с полученной в окрестности Uε/2 (xN ). Такую метрикуможно построить с использованием разбиения единицы.Рассмотрим теперь шар Uε/4 (xM ). Если выкинуть этот шар из M 4 , тоособый слой будет представлять из себя цилиндр. Обозначим его L.

Существует диффеоморфизм ξ : L × D2 → U (L). Этот диффеоморфизм строится31стандартным образом: Пусть p — точка на цилиндре, (α, β) ∈ D2 . Выпустимиз точки p геодезическую на время 1 в направлении αgrad H + βgrad f , гдеH, f — компоненты отображения F . Конец этой геодезической — это некоторая точка y ∈ U (L). Положим ξ(p, α, β) = y.Пусть ψ : U (L) → L × D2 — отображение, обратное к построенному.ψ не является послойным диффеоморфизмом в смысле слоения U (L) намножества уровня.

Исправим его. Пусть ψ(x) = (p(x), α(x), β(x)). Полоeжим ψ(x)= (p(x), H(x), f (x)). Легко видеть, что сквозное отображение−1eφφ : L × D2 → L × D2 является диффеоморфизмом в некоторой окрестности L. Поэтому и φe является диффеоморфизмом.Таким образом, в окрестности L возникает структура прямого произведения, согласованная с проекцией F . Проделаем то же самое со второйособенностью. Если окрестность нуля в R2 брать достаточно маленькой, тогеодезические не выйдут за предел ε/2 — окрестностей особых точек. Такимобразом, отображение φ : Uε (xM ) → Uε (xN ) индуцирует некоторое послойное отображение окрестностей «краев» слоений на цилиндры.

Посколькумы согласовали метрики, это отображение переводит край в край. Далее,ориентации отображений окрестностей краев одинаковые, так как это ограничения одного и того же отображения φ. Здесь важно, что многообразияM 4 , N 4 ориентируемы. Таким образом, мы оказываемся в ситуации леммыо сшивании. Отображение, существование которого гарантирует нам лемма, совпадает с φ в некоторой окрестности «краев» слоений. Поэтому этиотображения склеиваются c φ в послойный диффеоморфизм окрестностейособых слоёв.Как мы увидим далее, в случае нескольких особых точек на слое утверждение теоремы не верно.1.2.3Случай двух особых точек на слоеРассмотрим для начала случай двух точек, как наиболее показательный.Лемма 1.6. Пусть задан некоторый диффеоморфизм баз фокусных особенностей сложности 2, поднимаемый до послойных диффеоморфизмовокрестностей обеих особых точек.

Тогда этот диффеоморфизм можноподнять до послойного диффеоморфизма окрестностей особого слоя.Доказательство. Лемма доказывается с использованием леммы о сшивании аналогично теореме 1.2.Пусть у нас есть особенность с двумя точками типа фокус-фокус на слое.Занумеруем некоторым способом особые точки. Пусть f1 , f2 — каноническиеинтегралы для первой точки, а fe1 , fe2 — для второй.

На базе слоения возникает две пары функций. Эти пары связаны между собой невырожденнойзаменой переменных, так как замены (f1 , f2 ) → (H, f ) невырождены.32Определение 1.5. Замена переменных (f1 , f2 ) → (fe1 , fe2 ) называется связывающим диффеоморфизмом особенности типа фокус-фокус с двумя особыми точками на слое.Все связывающие диффеоморфизмы симплектических фокусных особенностей имеют вид:(xe = f (x, y)(4)ye = yf (0, 0) = 0∂f(0, 0) > 0∂xПоследнее условие следует из того, что мы выбрали знаки так, что потокикосых градиентов f1 и fe1 текут в одном направлении (см.

раздел 1.1.7).При фиксированной ориентации на действующей окружности и направлении обхода особых точек связывающий диффеоморфизм определен однозначно с точностью до добавления плоской функции к f . Если разрешитьменять ориентацию, то он определён однозначно с точностью до одновременной замены знаков x и xe или y и ye. Если поменять нумерацию особыхточек, то связывающий диффеоморфизм поменяется на обратный. Очевидно, что связывающий диффеоморфизм, рассматриваемый с точностью доприбавления плоской функции, описанных замен знаков, и операции взятияобратного, является симплектическим инвариантом особенности.Позже будет доказано, что всякий диффеоморфизм вида (4) может бытьреализован в виде связывающего диффеоморфизма некоторой фокуснойособенности.В гладком случае определить связывающий диффеоморфизм однозначно нельзя.

Когда мы будем говорить о связывающем диффеоморфизмегладкой особенности, будет иметься в виду, что мы зафиксировали канонические интегралы в окрестности каждой точки. При этом всегда можновыбрать канонические интегралы так, чтобы связывающий диффеоморфизм был собственным.Определение 1.6. Мы будем говорить, что две особенности типа фокусфокус с занумерованными особыми точками сильно послойно гладко эквивалентны, если между ними существует послойный диффеоморфизм, сохраняющий нумерацию особых точек.Лемма 1.7.

Две фокусные особенности сложности 2 с положительнымикольцами сильно послойно гладко эквивалентны тогда и только тогда, когда при некотором выборе канонических интегралов их связывающие диффеоморфизмы совпадают.Доказательство. Пусть канонические интегралы выбраны так, что связывающие диффеоморфизмы совпали. Рассмотрим отображение баз, переводящее канонические интегралы, соответствующие первой точке первой особенности, в канонические интегралы, соответствующие первой точки второй33особенности. Это отображение поднимается до послойного диффеоморфизма окрестностей первых особых точек — поднятием является тождественноеотображение в соответствующих нормальных координатах. Но из условиясовпадения связывающих диффеоморфизмов следует, что канонические интегралы для второй точки тоже сохраняются.

Таким образом, построенноеотображение баз может быть поднято и до отображения окрестностей вторых точек. Но тогда, в силу леммы 1.6, оно может быть поднято и до послойного диффеоморфизма окрестностей особых слоев.Обратно, если две особенности сильно послойно диффеоморфны, томожно перенести канонические интегралы при помощи этого диффеоморфизма с одной особенности на другую и связывающие диффеоморфизмысовпадут. Лемма доказана.Примечание 1.7.

Утверждение верно и для двух особенностей сложности 2с отрицательными кольцами. Однако, особенности с положительными кольцами и с отрицательными между собой, очевидно, не эквивалентны.Пусть нам заданы две особенности типа фокус-фокус с двумя особымиточками на слое. Можно ли выбрать канонические интегралы для каждойиз особых точек так, чтобы связывающие диффеоморфизмы совпали? Длятого, чтобы ответить на этот вопрос, нужно понять, какова степень произвола в выборе канонических интегралов.Определение 1.7. Назовем диффеоморфизм φ окрестности нуля в R2 допустимым, если существует такой C ∞ -диффеоморфизм Φ окрестности нуляв R4 , что следующая диаграмма коммутативна:Φ(R4 , 0) −−−−→ (R4 , 0)zwzwyy(5)φ(R2 , 0) −−−−→ (R2 , 0)φ называется C k –допустимым, если Φ ∈ C k .Допустимые диффеоморфизмы образуют подгруппу A в группе Diffeo(R2 , 0). C k –допустимые диффеоморфизмы образуют подгруппуA(C k ).Утверждение 1.8.

Если f1 , f2 — канонические интегралы для некоторойособой точки типа фокус-фокус, а d — допустимый диффеоморфизм, тоd(f1 , f2 ) — также канонические интегралы. Обратно, если есть две парыканонических интегралов, то одна получается из другой подстановкой вдопустимый диффеоморфизм.Доказательство. Это следует непосредственно из определения канонических интегралов.34Утверждение 1.9. Пусть φ1 — связывающий диффеоморфизм особенности для некоторого выбора канонических интегралов, а φ2 — для некоторого другого выбора канонических интегралов. Тогда выполнено соотношениеφ2 = d1 φ1 d−12 , где d1 , d2 — допустимые диффеоморфизмы.Доказательство. Мы знаем, что пары канонических интегралов получаются друг из друга применением допустимого диффеоморфизма. Пусть это d2для первой точки, и d1 для второй.

Возникает коммутативная диаграмма:φ1(R2 , 0) −−−−→ (R2 , 0)ddy 1y 2φ2(R2 , 0) −−−−→ (R2 , 0)Следовательно, φ2 = d1 φ1 d−12Утверждение 1.10. Связывающие диффеоморфизмы двух особенностейсовпадают при некотором выборе канонических интегралов тогда и только тогда, когда они связаны соотношением φ2 = d1 φ1 d−12 , где d1 , d2 — допустимые диффеоморфизмы.Доказательство. Пусть φ2 = d1 φ1 d−12 .

Пусть f1 , f2 — канонические интегралы первой особой точки первой особенности. Заменим их на d2 (f1 , f2 ).Интегралы fe1 , fe2 второй особой точки заменим на d1 (fe1 , fe2 ). В силу предыдущего утверждения, связывающим диффеоморфизмом для новых интегралов будет φ2 .Обратно, пусть у нас есть связывающие диффеоморфизмы φ1 , φ2 . Мыможем заменять канонические интегралы в окрестности всех четырех точек.

По условию существуют такие замены, при которых связывающие диффеоморфизмы совпадут. Получаем условие−1d1 φ1 d−12 = d3 φ2 d4 ,откуда−1−1φ2 = d−1,3 d1 φ1 (d4 d2 )что и требовалось доказать.Рассмотрим "лево-правое"действие A × A на Diffeo(R2 , 0), заданное поформулеh(d1 , d2 ), φi = d1 φd−12Обозначим это действие Ξ. Рассмотрим так же действие группы Z2 =hai, ha, φi = φ−1 . В результате произведения этих действий получим дейeствие группы A × A h Z2 на Diffeo(R2 , 0). Обозначим его Ξ.Теорема 1.3 (Критерий гладкой эквивалентности особенностей типа фокус-фокус).351. Две фокусные особенности сложности 2 с положительными кольцами сильно послойно гладко эквивалентны тогда и только тогда,когда их связывающие диффеоморфизмы лежат в одной орбите действия Ξ.2.

Характеристики

Список файлов диссертации