Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Точки типа (1, 0, 0) называются эллиптическими, или особыми точками типа центр.2. Точки типа (0, 1, 0) называются гиперболическими, или особыми точками типа седло.3. Точки типа (0, 0, 1) называются особыми точками типа фокус-фокус.Точки других типов имеют составные названия. Например, точку типа(1, 1, 0) следует называть точкой типа седло-центр.Оказывается, что знания типа и ранга достаточно, чтобы полность описать слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки.
Определим следующие четыре слоения.1. В окрестности нуля в R2 с симплектической структурой dp ∧ dq рассмотрим слоение, заданное функцией p2 + q 2 . Обозначим это слоениеLell .2. В окрестности нуля в R2 с симплектической структурой dp ∧ dq рассмотрим слоение, заданное функцией pq. Обозначим это слоение Lhyp .3. В окрестности нуля в R4 с симплектической структурой dp ∧ dqрассмотрим слоение, заданное коммутирующими функциями p1 q1 +p2 q2 , p1 q2 − q1 p2 . Обозначим это слоение Lf oc .4.
В окрестности нуля в R2 с симплектической структурой dp ∧ dq рассмотрим слоение, заданное функцией p. Обозначим это слоение Lreg .6Теорема 2 (Вэй–Элиассон, [29, 20], в полном объеме доказана в [23]). Всякое слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки типа(ke , kh , kf ) и ранга r локально симплектоморфно прямому произведениюke экземпляров слоения Lell , kh экземпляров слоения Lhyp , kf экземпляровслоения Lf oc и r экземпляров слоения Lreg .Таким образом, всякая невырожденная особенность локально распадаетсяв прямое произведение простейших особенностей — эллиптической, гиперболической и типа фокус-фокус, а так же слоения без особенности.Как легко видеть, тип невырожденной особой точки является не только симплектическим, но и топологическим инвариантом слоения Лиувилля(топология в окрестности точек различных типов существенно различна).Следовательно, теорема Элиассона полностью решает задачу локальной топологической, гладкой и симплектической классификации слоений Лиувилля с невырожденными особенностями.Рассмотрим теперь задачу полулокальной классификации.
Поскольку вдальнейшем речь пойдёт только о такой классификации, вместо слов «слоение Лиувилля в окрестности особого слоя» мы обычно будем говорить просто «особенность». Более точно, под особенностью следует понимать ростокслоения Лиувилля на особом слое.Обсудим сначала классификацию простейших особенностей.1. Эллиптические особенности.В случае эллиптической особенности особый слой совпадает с особойточкой, следовательно, полулокальная классификация совпадает с локальной.2. Гиперболические особенности.• Топологическая классификация.Теория полулокальной топологической классификации гиперболических особенностей — это теория так называемых атомов (см.[2, 11, 4]).• Гладкая классификация.Можно показать, что гладкая полулокальная классификация гиперболических особенностей совпадает с топологической.• Симплектическая классификация.См. работу [19].3. Особенности типа фокус-фокус.• Топологическая классификация.См.
работы [7, 25].• Гладкая классификация.Задача гладкой полулокальной классификации фокусных особенностей решается в настоящей работе.7• Симплектическая классификация.См. работу [30].Оказывается, что полулокальная топологическая классификация произвольных невырожденных особенностей в некотором смысле сводится кклассификации перечисленных выше простейших особенностей.
Более точно, это верно для так называемых нерасщепляемых особенностей, которыемы сейчас определим.Определение 4. Невырожденная особенность слоения Лиувилля называется нерасщепляемой, если множество особых значений отображения момента, ограниченного на окрестность особого слоя, совпадает с множествомособых значений отображения момента, ограниченного на окрестность любой особой точки минимального ранга на этом слое.Из условия нерасщепляемости в частности вытекает, что все особые точки минимального ранга на слое должны иметь один и тот же тип (см.
[24]).Этот тип называется типом особенности.Определим теперь «особенности типа почти прямого произведения».Для этого рассмотрим несколько экземпляров окрестностей особых слоевпростейших особенностей — эллиптической, гиперболической и типа фокусфокус. Добавим в этот список окрестность регулярного слоя слоения Лиувилля, то есть тор на диск. Перемножим их. На произведении естественным образом определена структура слоения Лиувилля. Полученная особенность V1 × · · · × Vk называется особенностью типа прямого произведения.Предположим теперь, что на ней свободно действует конечная группа G,причем1.
Действие покомпонентное.2. На каждом прямом сомножителе действие симплектическое и тождественное на базе слоения Лиувилля.3. На каждом эллиптическом сомножителе действие тривиально.Факторпространство V1 × · · · × Vk /G является симплектическим многообразием с заданной на нем структурой слоения Лиувилля.Определение 5. Особенности вида V1 × · · · × Vk /G называются особенностями типа почти прямого произведения.Теорема 3 (Нгуен Тьен Зунг, [24]).
Всякая невырожденная особенность,удовлетворяющая условию нерасщепляемости, послойно гомеоморфна особенности типа почти прямого произведения в окрестности особого слоя.Заметим, что эта теорема хоть и даёт полный список возможных особенностей, задачу классификации решает не до конца, поскольку непонятно,какие особенности из списка эквивалентны друг другу, а какие нет.
В случаечисто гиперболических особенностей ранга 0 задача классификации недавно решена в работе [12]. В настоящей работе эта задача решается, напротив,8для особенностей без гиперболических компонент (так называемых почтиторических особенностей).Нгуен Тьен Зунг предположил также, что разложение в почти прямоепроизведение имеет место и в гладкой категории, однако, как мы покажем,это неверно: гладкая классификация в общем случае устроена существенносложнее.Что касается симплектической классификации многомерных особенностей, навряд ли она может быть произведена в разумных терминах в общемслучае. В случае особенностей сложности один, эта задача решена А.В.
Болсиновым и Сан Ву Нгок’ом (этот результат еще не опубликован).Изложим теперь вкратце результаты работы.В главе 1 производится гладкая классифкация особенностей ранга 0 типа (0, 0, 1), то есть особенностей типа фокус-фокус. Известно, что полнымтопологическим инвариантом в этом случае является число особых точекна слое (сложность).
Однако, как замечено в [4], в гладкой категории этоуже не так, если число особых точек на слое больше единицы.Для того, чтобы сформулировать критерий гладкой эквивалентностифокусных особенностей, нам понадобится определить понятие связывающего диффеоморфизма особенности.
Ограничимся для простоты случаемдвух особых точек на слое.Пусть наша система задается двумя коммутирующими функциями H, f ,а x1 , x2 — две особые точки типа фокус-фокус на слое {H = 0, f = 0}.В силу теоремы Элиассона в окрестности x1 найдутся функции f1 , f2 соследующими свойствами:1. f1 , f2 задают то же слоение, что и H, f .2. В некоторой локальной системе координат существует представлениеf1 = p1 q1 + p2 q2 ,f2 = p1 q2 − q1 p2В окрестности x2 найдутся fe1 , fe2 с теми же свойствами.
Как легко видеть,f1 , f2 , также как и fe1 , fe2 , можно рассматривать как системы координат набазе слоения, и замена φ : (f1 , f2 ) → (fe1 , fe2 ) невырождена.Определение 6. Эту замену будем называть связывающим диффеоморфизмом особенности.Определим теперь, что такое допустимый диффеоморфизм.
Обозначимза F отображение (R4 , 0) → (R2 , 0), заданное двумя функциямиf1 = p1 q1 + p2 q2 ,f2 = p1 q2 − q1 p2 .Определение 7. Диффеоморфизм d : (R2 , 0) → (R2 , 0) называется допустимым, если в некоторой окрестности нуля существует диффеоморфизмD : (R4 , 0) → (R4 , 0) такой, что следующая диаграмма коммутативна9D(R4 , 0) −−−−→ (R4 , 0)yFyFd(R2 , 0) −−−−→ (R2 , 0)Теорема 4. Две фокусные особенности сложности два со связывающимидиффеоморфизмами φ1 , φ2 послойно гладко эквивалентны тогда и толькотогда, когда существуют такие допустимые диффеоморфизмы d1 , d2 , что−1φ2 = d1 φ±11 d2 .Для того, чтобы эта теорема была осмысленной и ее можно было применять, нужно описать, как устроена группа допустимых диффеоморфизмов(а то могло бы, например, оказаться, что все диффеоморфизмы допустимы,и тогда любые две фокусные особенности с двумя точками на слое гладкоэквивалентны.)Для описания группы допустимых диффеоморфизмов введем в R2 комплексную координату z = f1 + f2 i.Теорема 5.
Диффеоморфизм d окрестности нуля в R2 допустим тогда итолько тогда, когда он представим в одной из следующих форм:1. d(z) = zψ(z).2. d(z) = zψ(z).Проверить для двух особенностей, удовлетворяют ли их связывающие−1диффеоморфизмы условию φ2 = d1 φ±1— это не совсем тривиаль1 d2ная задача. Гораздо проще выяснить, являются ли две особенности C1 эквивалентными: в этом случае инвариант можно написать явно.Введем, как и ранее, комплексную координату z = f1 + f2 i и положимµ(F ) =|∂φ/∂ z̄|,|∂φ/∂z|где φ —связывающий диффеоморфизм F , записанный в координатах z, z̄.Теорема 6. Две особенности типа фокус-фокус F1 , F2 с двумя особымиточками на слое послойно C1 -эквивалентны тогда и только тогда, когдаµ(F1 ) = µ(F2 ).Для вычисления µ(F ) по этой формуле нужно знать связывающий диффеоморфизм особенности. Найти связывающий диффеоморфизм в явномвиде непросто (эта процедура равносильна поиску переменных действия.Хорошо известно, что найти явные выражения для переменных действиясложно.) Укажем, как можно вычислить µ(F ), зная лишь линеаризацииsgrad H в особых точках.Пусть x — особая точка типа фокус-фокус.
Cобственные значения линеаризации sgrad H в точке x имеют вид λ, λ, −λ, −λ.10Теорема 7. Пусть F — особенность типа фокус-фокус с двумя особыми точками x1 , x2 . Тогда существует естественный способ выбрать собственное значение λ1 линеаризации sgrad H в точке x1 и собственное значение λ2 линеаризации sgrad H в точке x2 так, чтоµ(F ) =|λ1 − λ2 |.|λ1 + λ2 |В разделе 1.2.5 показано, что любой диффеоморфизм вида(xe = f (x, y), где f (0, 0) = 0ye = yможет быть реализован в качестве связывающего диффеоморфизма какойлибо особенности типа фокус-фокус с двумя особыми точками на слое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
