Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

[7, 32, 25]).В разделе 3.2 исследуется устойчивость фокусных особенностей при малых интегрируемых возмущениях. Под малым интегрируемым возмущением системы мы будем понимать интегрируемую систему, интегралы которойблизки к интегралам исходной вместе с достаточным числом производных.Особенность будем называть устойчивой, если ее малое интегрируемое возмущение послойно топологически эквивалентно этой особенности.Хорошо известно, что если на гладком многообразии задана функция,то сколь угодно малым возмущением можно развести ее особые точки наразные множества уровня.

Оказывается, для интегрируемых систем это ужене так: особенности сложности, отличной от единицы, вообще говоря, нельзяразрушить малым возмущением.Определение 13. Нерасщепляемую фокусную особенность будем называть неприводимой, если соответствующая подгруппа G ⊂ Zn не лежит нив какой нетривиальной подгруппе вида k1 Z ⊕ · · · ⊕ kn Z.Теорема 13. Неприводимые особенности не меняют своего топологического типа при малом интегрируемом возмущении системы.Рассмотрим, например, подгруппу в Z2 , порожденную векторами (m, 0)и (1, 1). Соответствующая особенность, очевидно, неприводима, а ее сложность равна m.

Следовательно, существуют устойчивые особенности сколько угодно большой сложности. Эти особенности следует ожидать в системахобщего положения.Перейдем к главе 4, посвященной гладким инвариантам многомерныхфокусных особенностей. Для таких особенностей можно сформулироватьобщий критерий гладкой эквивалентности, однако, навряд ли он можетбыть успешно применен на практике. Однако, как показано в разделе 4.1,всё существенно упрощается в случае неприводимых особенностей.Теорема 14. Неприводимые особенности гладко эквивалентны тогда итолько тогда, когда они топологически эквивалентны.Поскольку топологическая классификация нам известна, задача гладкойклассификации в неприводимом случае полностью решена.В работе [24] Нгуен Тьен Зунг предположил, что разложение в почтипрямое произведение нерасщепляемой особенности имеет место и в гладкойкатегории.

Как показано в разделе 4.2 это, вообще говоря, неверно.Теорема 15. Существует нерасщепляемая фокусная особенность сложности два, гладко не эквивалентная никакому почти прямому произведению.Однако, как показано в разделе 4.3, разложение в почти прямое произведение всегда имеет место в C1 -категории.Теорема 16.

Всякая нерасщепляемая фокусная особенностьэквивалентна особенности типа почти прямого произведения.15C1 -Эта теорема позволяет вычислять C1 -инварианты многомерных фокусных особенностей, используя результаты главы 1.1611.1Гладкие инварианты в случае двух степенейсвободыФокусные особенности интегрируемых систем сдвумя степенями свободыВ этом разделе приводятся известные утверждения о фокусных особенностях интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Если для какого-тоутверждения нам не удалось найти убедительное доказательство в литературе, то мы приводим доказательство здесь.1.1.1Нормальная формаРассмотрим интегрируемую систему с двумя степенями свободы.

Ее интегралы мы будем обозначать H, f . Предположим, что у нашей системыимеется особая точка типа фокус-фокус.Из теоремы Элиассона следует, что в окрестности особой точки типафокус-фокус можно выбрать такие канонические координаты (p, q), чтофункцииf1 = p1 q1 + p2 q2 ,f2 = p1 q2 − q1 p2задают то же самое слоение Лиувилля. Покажем, что на самом деле H и fвыражаются через f1 , f2 .Утверждение 1.1. Особая точка типа фокус-фокус является изолированной особой точкой.Доказательство. Из определения особой точки типа фокус-фокус следует,что существует представлениеH = af1 + bf2 + члены порядка ≥ 3,f = cf1 + df2 + члены порядка ≥ 3,причем ad − bc 6= 0.Отсюда следует, что градиенты H и f независимы в некоторой проколотой окрестности особой точки типа фокус-фокус.Легко видеть, что локально совместные поверхности уровня функцийf1 , f2 связны.

Действительно, вводя комплексные координаты(z = p1 − ip2w = q1 + iq2получаемf1 + if2 = zw,17а поверхности вида zw = c, очевидно, связны. Поэтому слоение Лиувилля, задаваемое f1 , f2 совпадает со слоением на их совместные поверхностиуровня.Утверждение 1.2. В окрестности особой точки типа фокус-фокус существует симплектическая система координат p1 , p2 , q1 , q2 , в которойгамильтониан H и дополнительный интеграл f имеют вид:H = H(f1 , f2 ) f = f (f , f )1 2(1)f=pq111 + p2 q2f2 = p 1 q 2 − q 1 p 2 ,причем замена f1 , f2 → H, f невырождена.Доказательство.

Мы показали, что слоение Лиувилля совпадает со слоением на совместные поверхности уровня f1 , f2 . H и f постоянны на каждомслое слоения Лиувилля, поэтому они являются функциями от f1 , f2 .Рассмотрим некоторую неособую для отображения (f1 , f2 ) точку на особом слое f1 = 0, f2 = 0. Она является неособой и для отображения момента(H, f ) в силу утверждения 1.1. Рассмотрим некоторый двумерный трансверсальный слоению диск, проходящий через эту точку.

f1 , f2 задают наэтом диске невырожденную систему координат, так же как и H, f . Следовательно, замена f1 , f2 → H, f является гладкой и невырожденной в нуле,что и требовалось доказать.Определение 1.1. Координаты p1 , p2 , q1 , q2 мы будем называть нормальными координатами в окрестности особой точки, а функции f1 , f2 — каноническими интегралами.Важное замечание. f1 , f2 являются функциями от H, f в некоторойокрестности особой точки. Поэтому их можно рассматривать как локальные координаты на базе слоения Лиувилля, которая в нашем случае локально совпадает с образом отображения момента. Поскольку f1 , f2 являются функциями на базе, их можно рассматривать как функции не тольков окрестности особой точки, но и в окрестности всего особого слоя.1.1.2Локальная топология слоенияВыясним, как устроено слоение Лиувилля в окрестности особой точки типафокус-фокус.

Имеет место простоеУтверждение 1.3 (см., например, [4]). Рассмотрим окрестность особойточки фокус-фокус, представляющую собой шар в нормальных координатах. Тогда1. Пересечение каждого достаточно близкого к особому неособого слояслоения Лиувилля с этой окрестностью представляет собой цилиндр.182. Пересечение особого слоя с этой окрестностью является объединением двух трансверсально пересекающихся дисков.3.

Траектория sgrad f2 на каждом слое замкнута с периодом 2π и длянеособого слоя является образующей в его одномерной группе гомологий. На особом слое эта траектория стягивается в точку («исчезающий цикл»).Условно можно изобразить окрестность особойточки типа фокус-фокус как окрестность вершиныконуса.1.1.3 Единственность канонических интегралов и группа локальных автоморфизмовРис. 4: Окрестностьособой точки типафокус-фокусНормальные координаты в окрестности фокуснойособой точки определены неоднозначно. Однако,канонические интегралы определены почти однозначно.

Имеет место следующаяЛемма 1.1 (Нгуен Тьен Зунг, [25]). Рассмотримфункции f1 , f2 , входящие в представление (1)1. Функция f2 задана однозначно с точностью до знака.2. Функция f1 задана однозначно с точностью до знака и добавленияплоской функции.Доказательство.1. Рассмотрим произвольную траекторию γ векторного поля sgrad f2 .ИмеемZ2πZpdq =γZ2π(p1 q2 − q1 p2 )dt = 2πf2 .(p1 q̇1 + p2 q̇2 )dt =00Рассмотрим теперь другую нормальную систему координат pe, qe.

Пустьfe2 = pe1 qe2 − qe1 pe2 . Пусть γe — траектория векторного поля sgrad fe2 . Аналогично получаемZpedeq = 2π fe2 .γed(pdq − pedeq ) = 0, а цикл γe гомологичен нулю в окрестности особойточки, поэтомуZZpedeq = pdq.γeγe19Далее, γ является образующей в одномерных гомологиях слоя. Поэтому γ ∼ ±eγ и, в силу того, что слой является лагранжевым,ZZpdq = ± pdq,γγeоткуда f2 = ±fe2 .Примечание 1.1. Эти рассуждения показывают, что f2 является переменной действия, соответствующей «исчезающему» на особом слоециклу γ.2. Доказательство основано на построении второй переменной действия.Строго говоря, построить вторую переменную действия нельзя, поскольку фундаментальная группа слоя изоморфна Z и независимыйцикл только один. Однако, можно построить «локальную» переменную действия.Рассмотрим на каждом слое пару траекторий γ1 , γ2 поля sgrad f2 таких, что(a) Каждое из двух семейств траекторий гладко зависит от слоя.(b) γ1 и γ2 на особом слое лежат в разных компонентах связности.Рассмотрим на каждом неособом слое участок траектории sgrad f1 ,соединяющий γ1 с γ2 и проинтегрируем форму pdq по этому участку.Этот интеграл не зависит от выбора конкретной траектории sgrad f1 .Действительно, интеграл вдоль траектории sgrad f1 от pdq на каждомконкретном слое пропорционален времени прохождения этой траектории, а время прохождения по траектории sgrad f1 между двумя траекториями sgrad f2 не зависит от траектории, так как эти векторныеполя коммутируют.Таким образом, мы получили функцию s(f1 , f2 ) на базе слоения, гладкую в проколотой окрестности нуля.

Это и есть «локальная переменная действия». Утверждается, что s задана инвариантно относительновыбора нормальной системы координат и семейств траекторий γ1 , γ2 сточностью до знака и прибавления гладкой вплоть до нуля функции.• При изменении семейств траекторий γ1 и γ2 s изменяется на гладкую функцию — интеграл от pdq по участку траектории sgrad f1между старыми и новыми γ.

Важно, что между старыми и новыми траекториями нет особой точки.• При замене формы pdq на pedeq s изменяется на гладкую функцию.Действительно, pdq − pedeq = dF , где F — некая гладкая функция.Таким образом, s меняется на разность значений F в концевыхточках траекторий sgrad f1 .20• Предположим, траектории sgrad fe1 ориентированы так же, как итраектории sgrad f1 . Тогда при замене f1 на fe1 s также изменяется на гладкую функцию. Действительно, в этом случае разностьинтегралов по траекториям sgrad f1 и sgrad fe1 есть интеграл понекоторому участку траектории sgrad f2 , концы которого, очевидно, гладко зависят от слоя. Если же траектории sgrad fe1 имеютпротивоположную ориентацию, s меняет знак.Получим теперь явную формулу для s(f1 , f2 ).

Выберем в качестве траекторий γ1 , γ2 пересечение слоёв со сферой радиуса δ. Легко видеть,что они удовлетворяют требуемым свойствам. Прямым вычислениемполучаем1s(f1 , f2 ) = − f1 ln (f12 + f22 ) + гладкая функция.2Вычисления в другой нормальной системе координат дают1se(f1 , f2 ) = − fe1 ln (fe12 + fe22 ) + гладкая функция.2Как было показано выше, se = ±s.

Характеристики

Список файлов диссертации