Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Нам удобно определить понятие особенности фокусфокус в отрыве от особенностей интегрируемых систем.Определение 1.2. Мы будем говорить, что точка x ∈ M 4 является особойточкой типа фокус-фокус для отображения F : M 4 → N 2 , если существуюттакие локальные системы координат в окрестности x и F (x), в которыхотображение записывается в виде(f1 = p1 q1 + p2 q2f2 = p1 q2 − q1 p2 ,26По аналогии с симплектическими фокусными особенностями, будем называть систему координат (p, q) нормальной системой координат, а функции f1 , f2 — каноническими интегралами.
Канонические интегралы в гладком случае определены неоднозначно.Примером особых точек типа фокус-фокус служат особые точки типафокус-фокус интегрируемых систем, а так же невырожденные особые точкиголоморфных функций на двумерных комплексных многообразиях.Предположим, что многообразие M 4 ориентировано.
Рассмотримокрестность особой точки типа фокус-фокус. Особый слой, то есть множество уровня отображения F , содержащее особую точку, локально представляет собой два трансверсально пересекающихся диска. Градиенты компонент отображения F задают некоторую ориентацию в нормальном расслоении к этим дискам, а тем самым и на самих дисках.Определение 1.3. Индекс пересечения ориентированных таким образомдисков назовём индексом особой точки типа фокус-фокус.Это определение корректно.
Действительно, если мы выберем другуюсистему координат в образе, то новые компоненты отображения F будутфункциями от старых, а градиенты новых компонент на особом слое будутлинейной комбинацией градиентов старых компонент с постоянными коэффициентами. Поэтому ориентация может поменяться лишь на обоих дискаходновременно. Следовательно, их индекс пересечения не изменится.Конечно, индекс особой точки типа фокус-фокус зависит от выбора ориентации на M 4 .
Но если этих точек много, то знаки индексов могут поменяться лишь все одновременно.Индекс особой точки типа фокус-фокус равен ±1. Рассмотрим формуdp1 ∧ dq 1 ∧ dp2 ∧ dq 2 в некоторых нормальных координатах. Легко видеть,что знак ориентации, задаваемой ею на M 4 , совпадает с индексом особойточки. Отсюда следует, что индекс симплектической особой точки типафокус-фокус всегда равен 1. То же верно и для невырожденных особыхточек отображения двумерного комплексного многообразия в одномерное,рассматриваемых как особые точки типа фокус-фокус.Примечание 1.4.
Легко видеть, что понятие индекса можно определить длядостаточно широкого класса изолированных особых точек отображений четырехмерных многообразий в двумерные. Нужно лишь потребовать, чтобылокально особый слой представлял собой два пересекающихся двумерныхдиска. В работе [26] вводится понятие знака «вырожденной особой точкитипа фокус-фокус» негамильтоновой интегрируемой системы. Этот знак иопределенный нами индекс — одно и то же число.Определим теперь гладкую особенность типа фокус-фокус как полулокальный объект.Определение 1.4. Пусть F : M 4 → N 2 — гладкое отображение, причемM 4 компактно и ориентируемо.
Пусть также y ∈ N 2 , n ∈ N, причём выполнены следующие условия271. Множество уровня F −1 (y) связно.2. Множество уровня F −1 (y) содержит ровно n особых точек. Все они —особые точки типа фокус–фокус.3. Дополнение множества особых точек на F −1 (y) до F −1 (y) состоит изколец.Росток слоения на множества уровня F в окрестности особого слоя F −1 (y)будем называть (гладкой) особенностью типа фокус-фокус.Примечание 1.5. Условие компактности и ориентируемости многообразияможно заменить на условие существования ориентируемой малой окрестности особого слоя, имеющей компактное замыкание.Условие 1 на самом деле не важно.
Оно попросту означает, что мы рассматриваем связную компоненту F −1 (y).Условие 3 эквивалентно тому, что в окрестности особого слоя существует гладкое послойное действие окружности, свободное всюду, кроме особых точек. Таким образом, мы ограничиваемся рассмотрением в некоторомсмысле «симметричных» особенностей.Легко видеть, что особый слой гладкой особенности фокус-фокус устроен так же, как и для симплектической особенности — каждое кольцо замыкается двумя особыми точками, и особый слой представляет собой объединение сфер, пересекающихся в особых точках.Индексы особых точек гладкой фокусной особенности определены однозначно с точностью до замены всех индексов на противоположные. Поэтому однозначно определены знаки на кольцах, соединяющих особые точки.Кольцо положительно, если оно соединяет точки одного индекса, и отрицательно в противоположном случае.
Произведение знаков на всех кольцахравно +1.Утверждение 1.6. Число особых точек и набор знаков на кольцах — полный топологический инвариант гладкой фокусной особенности.Это утверждение доказывается аналогично соответствующему утверждению в симплектическом случае.Ясно, что симплектическая фокусная особенность является гладкой фокусной особенностью, все кольца которой положительны. Верно и обратное:Утверждение 1.7. Всякая гладкая фокусная особенность с положительными кольцами послойно гладко эквивалентна симплектической.Мы получим это утверждение как следствие из теоремы 1.2 в случаесложности 1 и как следствие 1.7.3 из теоремы 1.7 в случае сложности 2.В дальнейшем мы будем обсуждать только фокусные особенности с положительными кольцами.
Заметим, что рассмотрение симплектической фокусной особенности как гладкой фокусной особенности с положительными кольцами имеет нетривиальный смысл: «забывание» симплектическойструктуры даёт нам большую свободу в выборе нормальных систем координат в окрестностях особых точек.281.2.2Случай одной особой точки на слоеВ случае одной особой точки на слое утверждение леммы 1.2 можно усилить.Теорема 1.2.
Всякий послойный диффеоморфизм между окрестностямиособых точек двух фокусных особенностей сложности один можно продолжить до послойного диффеоморфизма между окрестностями особогослоя. В частности, все гладкие особенности типа фокус-фокус сложностиодин гладко послойно эквивалентны между собой.Примечание 1.6. Под «продолжением» понимаем диффеоморфизм, совпадающий с исходным в некоторой окрестности особой точки, возможно меньшей, чем та, на которой задано первоначальное отображение.Предварительно докажем следующее утверждение2Лемма 1.5 (О сшивании).
Пусть E1 = [0, 1] × S1 × D — тривиальноеслоение с базой диск и слоем цилиндр. Пусть E2 — второй экземпляр такого же слоения. Пусть UL — произвольная открытая окрестность «ле2вого края» {0} × S1 × D слоения E1 , UR — окрестность «правого края»2{1} × S1 × D слоения E1 . Пусть задана пара гладких вплоть до границыотображений ξL : UL → E2 , ξR : UR → E2 , причем1. ξL диффеоморфно отображает int UL на образ, ξR диффеоморфноотображает int UR на образ.2. ξL переводит левый край E1 в левый край E2 .
ξR переводит правыйкрай в правый край.3. ξL и ξR послойны и индуцируют одно и то же отображение баз слоений.4. ξL и ξR сохраняют ориентацию.Тогда существует послойный диффеоморфизм ξ : E1 → E2 , совпадающий сξL в некоторой окрестности левого края E1 и с ξR в некоторой окрестности правого края E1 .Доказательство. Пусть x, φ, y1 , y2 — координаты на E1 , причём x, φ — коe ye1 , ye2 —ординаты на цилиндре, а y1 , y2 — координаты на базе. Пусть xe, φ,e ye1 , ye2 .координаты на E2 . Нужно построить отображение x, φ, y1 , y2 → xe, φ,Отображение на базе уже задано и его можно считать тождественным, тоесть yei = yi . Осталось построить xe, φe как функции на E1 .Введём обозначенияLε = (0, ε) × S1 × D2 ⊂ E1 ,Rε = (1 − ε, 1) × S1 × D2 ⊂ E1 ,Cε = (ε, 1 − ε) × S1 × D2 ⊂ E1 .29Выберем такое ε > 0, что Lε ⊂ UL , Rε ⊂ UR .На Lε уже заданы некоторые функции xeL , φeL — компоненты ξL . Имеетместо равенствоxeL (0, φ, y1 , y2 ) = 0,поэтомуa 0 0 0∗ b ∗ ∗dξL (0, φ, y1 , y2 ) = 0 0 1 0 .0 0 0 1Таким образом,∂exL∂ φeL= a 6= 0,= b 6= 0.∂x∂φДалее xeL > 0 при x > 0, поэтому a > 0.
Якобиан ξL положителен, поэтомуb > 0. Отсюда следует, что ε можно взять настолько малым, что в Lε будутвыполнены условия∂xL> 0,∂x∂ φeL> 0,∂φ∂ φeL∂exL> 16π.∂φ∂φВыполнения аналогичных условий можно добиться и в окрестности правойграницы.Еще уменьшая, в случае необходимости, ε добьемся того, что7на Rε ,81xeL < на Lε .8xeR >Очевидно, что для покрытия Lε , Rε , Cε/2 многообразия int E1 существуетгладкое разбиение единицы αL , αR , αC , зависящее только от координаты x,причёмdαLε< 0 для x ∈ ( , ε),dx2dαRε> 0 для x ∈ (1 − ε, 1 − ).dx2Положим2x + 1+ αR xR ,4φe = αL φL + αC φ + αR φR .xe = αL xL + αC30Покажем, что эти формулы задают искомый диффеоморфизм.
Проверимсначала невырожденность. Рассмотрим точку из Lε ∩ Cε/2 . Имеем∂ex∂xL1∂αL2x + 1= αL+ αC +(xL −),∂x∂x2∂x4∂ex∂xL= αL,∂φ∂φ∂ φe∂φL∂αL= αL+(φL − φ),∂x∂x∂x∂ φe∂φL= αL+ αC .∂φ∂φОчевидно, имеем∂ex> 0.∂xЗапишем якобианJξ = JξL + αC∂αL ∂xL∂φL 2x + 1∂ex 1 ∂φL+ αLαC + αL (−)((φL − φ) +(− xL )).∂x 2∂φ∂x∂φ∂φ4Первые три слагаемых, очевидно, положительны. Далее,∂xL∂φL 2x + 11 ∂φL∂xL(φL − φ) +(− xL ) ≥− 2π> 0.∂φ∂φ48 ∂φ∂φСледовательно, якобиан нашего отображения положителен на Lε ∩ Cε/2 .Аналогично показывается невырожденность в Rε ∩ Cε/2 . Невырожденностьв остальных областях очевидна.Построенное отображение взаимно-однозначно.
Действительно, достаточно проверить взаимно-однозначность ограничения ξ на каждый слой.Мы имеем невырожденное отображение цилиндра в цилиндр, переводящеекрая в края и диффеоморфное в окрестности этих краев. Всякое такое отображение является диффеоморфизмом. Лемма доказана.Доказательство теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
