Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Поскольку все орбиты имеют одинаковуюдлину, эта длина должна быть делителем общего числа кубов, то есть сложности. Можно объяснить этот факт алгебраически: если F = F (m1 ) × · · · ×F (mn )/G — каноническая модель, то проекция G на Zm2 ⊕ · · · ⊕ Zmn неимеет ядра и |G| делит m2 · · · mn , откуда сложность F равнаm2 · · · mnm1 · · · mn= m1= km1 ,|G||G|что и требовалось.Следствие 2.16.1. Фокусная особенность cложности s послойно гомеоморфна особенности видаF = F (s) × · · · × F (s)/G.61Эту модель мы называем симметричной. Группа G в симметричной модели — произвольная подгруппа в Zns индекса s.

Степень произвола выбораG такая же, как и в модели универсального накрытия. Симметричная модель удобна тем, что нужно перечислять подгруппы в конечной группе.При этом никаких дополнительных условий проверять не нужно. Эту задачу можно легко решить, например, с помощью компьютера.Рассмотрим случай, когда s = p — простое. В этом случае мы должныперечислять гиперплоскости в линейном пространстве Znp .

Всякая гиперплоскость задается своей нормалью. Таким образом, фокусной особенностисложности p, где p простое, мы сопоставили некоторый ненулевой векториз Znp . Этот вектор задан с точностью до пропорциональности, измененийзнаков и перестановки координат. Из этого рассуждения легко выводятсяследующие утверждения:Утверждение 2.17. ξ(n, 2) = n.Утверждение 2.18. ξ(n, 3) = n.Утверждение 2.19.

Пусть p — нечетное простое. Тогда2p−1pn − 1pn − 1≤ξ(n,p)≤,(p − 1)n!2n−1p−1 112 (p−1)2 (p−1)Cn+− 1 ≤ξ(n, p) ≤ Cn+−111(p−1)(p−1)22Доказательство. Рассмотрим на Znp действие группы H, порожденной изменениями знаков, перестановкой координат и умножениями на ненулевойэлемент Zp . Множество особенностей состоит во взаимнооднозначном соответствии с орбитами этого действия. |H| = (p − 1)n!2n−1 , поэтомуξ(n, p) ≥pn − 1.(p − 1)n!2n−1Длина каждой орбиты не меньше, чем p − 1, откудаξ(n, p) ≤pn − 1.p−1Докажем теперь вторую цепочку неравенств. В каждой орбите имеетсяпредставитель, все координаты которого меньше либо равны 12 (p − 1) и неубывают, поэтому12 (p−1)ξ(n, p) ≤ Cn+− 1.1(p−1)2При этом одной и той же особенности соответствует не более 12 (p − 1) такихпоследовательностей, откуда получаем нижнюю оценку.Не более, чем полиномиальный рост по сложности, очевидно, имеет ме2сто и в общем случае, в виду очевидной грубой оценки ξ(n, m) ≤ mn .Утверждение 2.20.

ξ(n, m) растет по n не быстрее, чем полиномиально.62Доказательство. Кубическое разбиение тора сложности m степени n может быть склеено из m кубов. Можно считать, что гиперграни кубов помечены метками 1, . . . n, и мы склеиваем грани с одинаковыми метками.Каждому разбиению мы можем сопоставить «вектор» (склейка граней сметкой 1, . . . склейка граней с меткой n). Очевидно, разбиение останетсятем же самым, если мы переставим компоненты этого «вектора» местами.Пусть f (m) — число всевозможных разбиений на пары множества из 2mэлементов.

Искомое число разбиений не превосходит числа неупорядоченных наборов длины n, состоящих из чисел 1, . . . f (m). Имеемf (m)−1ξ(n, m) ≤ Cn+f (m)−1 ≤ (n + f (m) − 1)f (m)−1 ,что и требовалось доказать.Примечание 2.6. Алгебраическое доказательство этого факта автору неизвестно. Нетривиальность утверждения состоит в том, что число подгруппв Zn заданного индекса растет вместе c n экспоненциально, но если мыотождествим между собой ортогонально-эквивалентные подгруппы, то число классов эквивалентности будет иметь полиномиальный рост.2.2.5Особенности сложности два в случае четырех степеней свободыРассмотрим особенности сложности 2 степени 2. Таких особенностей две иих редуцированные особые слои изображены на рисунке:b- c 666aaF (1) × F (2)bcc - b666aaF (2) × F (2)/Z2bcВторая особенность является простейшим примером особенности, непредставимой в виде прямого произведения.

Z2 здесь вложена в Z2 ⊕ Z2 какдиагональ. Два квадрата, составляющие редуцированный особый слой этойособенности, граничат как по вертикальному, так и по горизонтальномуребру. Образно говоря, они прочнее сцеплены друг с другом, чем в случаепрямого произведения. Далее мы покажем, что особенность F (2) × F (2)/Z2устойчива в классе особенностей интегрируемых систем. Для F (1) × F (2)это, вообще говоря, неверно: например, симплектическое прямое произведение F (1) × F (2) неустойчиво и при малом возмущении распадается на двеособенности сложности один.632.2.6Классификация почти торических особенностейТеорема 2.5.

Любая нерасщепляемая почти торическая особенность ранга r типа (ke , 0, kf ) топологически эквивалентна прямому произведениюособенности ранга 0 типа (0, 0, kf ) (то есть чисто фокусной особенности), ke экземпляров особенности ранга 0 типа (1, 0, 0) (то есть эллиптической особенности) и слоения без особенности Tr × Dr .Доказательство. По теореме Зунга всякая особенность может быть представлена в виде L × E, где E — эллиптическая особенность ранга 0, L —особенность без эллиптических компонент. Таким образом, нам надо показать, что всякая фокусная особенность ненулевого ранга — это прямоепроизведение фокусной особенности ранга 0 и слоения без особенности.Всякая фокусная особенность ранга k может быть представлена в видеF = (F0 × (Tk × Dk ))/G0 ,где F0 = F (m1 ) × · · · × F (mn ).Как и в случае с особенностями нулевого ранга, перейдем к накрытию.Это позволит представить нашу особенность в видеF = (F (∞)n × (Tk × Dk ))/G.Шаг 1.

Можно считать, что G действует на F (∞)n сдвигами без подкруток. Другими словами, для всякого действия G существует диффеоморфизм F (∞)n ×(Tk ×Dk ) в себя, «убивающий» подкрутки. Это доказываетсятакже, как и в случае нулевого ранга.Шаг 2. Можно считать, что G действует на F (∞)n свободно. Действительно, пусть это не так. Выделим подгруппу H ⊂ G, состоящую из элементов, оставляющих компоненту F (∞)n неподвижной.

Тогда(F (∞)n × (Tk × Dk ))/G = ((F (∞)n × (Tk × Dk ))/H)/(G/H) == (F (∞)n × ((Tk × Dk ))/H)/(G/H) = (F (∞)n × (Tk × Dk ))/(G/H).Как легко видеть, действие G/H на F (∞)n эффективно, а потому свободно(поскольку мы избавились от подкруток).Шаг 3. Если G действует на F (∞)n сдвигами и свободно, то при помощидиффеоморфизма F (∞)n × (Tk × Dk ) в себя можно избавиться от действияG на Tk × Dk .

Это делается так же, как мы избавлялись от подкруток вслучае нулевого ранга.2.3Расщепляемые особенностиВ этой главе рассматриваются особенности, не удовлетворяющие условиюнерасщепляемости. По всей видимости, такие особенности всегда можноразрушить малым интегрируемым возмущением, и в приложениях они невстречаются.

Однако, с расщепляемыми особенностями связана довольно64интересная геометрия. В частности, особый слой таких особенностей представляет собой объединение пересекающихся лагранжевых многообразий сдействием тора, а пространство орбит этого действия является разбиениеммногомерного тора на простые многогранники.2.3.1Действие тораОпределение 2.6.

Клеточное разбиение многообразия назовем простым,если двойственное ему разбиение является разбиением на кубы.Теорема 2.6. Предположим, что1. Все особые точки на данном особом слое слоения Лиувилля имеюттип (0, 0, k) (для различных точек k различно).2. Особый слой содержит замкнутую орбиту пуассонова действия, состоящую из особых точек типа фокус-фокус ранга r степени n.Тогда1. Особый слой представляет собой объединение лагранжево погруженных компактных многообразий.2. В окрестности особого слоя имеется гамильтоново свободное почтивсюду действие тора Tr+n .3.

Фактор особого слоя по действию тора (редуцированный особый слой)есть простое разбиение n-мерного тора. Замыкание каждой клеткиэтого разбиения является образом одного лагранжева «куска» особого слоя.Доказательство.1. Это следует из локальной структуры слоения в окрестности особойточки типа фокус-фокус.2. Это прямое следствие теоремы 6.1 из работы [24].3. Покажем сначала, что в замыкании каждой орбиты на особом слоеесть замкнутая орбита, состоящая из особых точек типа фокус-фокусранга r степени n.Во-первых, замыкание всякой орбиты содержит замкнутую орбиту.Предположим, что степень этой замкнутой орбиты есть ne.

Тогда вее окрестности (а значит, и во всей окрестности особого слоя) естьгамильтоново свободное почти всюду действие тора TN −en , где N число степеней свободы, и нет действия тора большей размерности.Но с другой стороны, у нас есть гамильтоново свободное почти всюдудействие TN −n , и нет действия тора большей размерности.

Характеристики

Список файлов диссертации