Фокусные особенности интегрируемых гамильтоновых систем (1105114), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Редуцированный особый слой Lm1 ,...mk естьобъединение граней, имеющих направление (m1 , . . . mk ).3.2.2Неприводимые особенностиОпределение 3.2. Нерасщепляемую фокусную особенность будем называть неприводимой, если соответствующая подгруппа G ⊂ Zn не лежит нив какой нетривиальной подгруппе вида k1 Z ⊕ · · · ⊕ kn Z.Утверждение 3.4.

Следующие условия эквивалентны:1. Особенность неприводима.2. Все компоненты ее Ln−1 -типа связны.3. Все строки матрицы разложения базисных циклов примитивны.e - каноническая модель, то действие Ge на4. Если F = F1 × · · · × Fn /Gкаждой компоненте почти прямого произведения транзитивно.5.

Любой набор из n−1 базисного сдвига порождает группу собственныхавтоморфизмов редуцированного особого слоя. Другими словами, длялюбого i можно добраться из любого куба в любой, не двигаясь внаправлении i.6. Все примыкающие особенности коранга 2 имеют сложность 1.Доказательство. Очевидно, что условия 1, 3 и 4 эквивалентны.Далее, число компонент связности Ln−1 -типа в направлении 1 равноp1 =s(F )e m ,...m )s(Fm2 × · · · × Fmn /G2n.e m ,...m есть ядро оператора проекции π на Zm , ограниченного на G,eG2n1e Отсюда следует эквивалентность условий 2 и 4.поэтому p1 = |π(G)|.76Группа автоморфизмов редуцированного особого слоя есть Zn /G, поэтому условие 5 эквивалентно условию 1.Далее, особый слой примыкающей особенности коранга 2 для прямогопроизведения F1 × · · · × Fn есть особый слой одной из особенностей Fi ,умноженный на T2(n−1) .

Если теперь профакторизовать по G, то получитсяe на Fi . Отсюдаособенность сложности pi , где pi - число орбит действия Gследует эквивалентность условий 4 и 6. Утверждение доказано.Для степени 1 существует единственная неприводимая особенность —F (1).Утверждение 3.5. Неприводимые особенности степени 2 сложности mэто в точности особенности вида F (m) × F (m)/Zm , Zm = h(1, a)i, где aвзаимно просто с m. Число таких особенностей равно 21 φ(m) для m 6= 2 и1 для m = 2.Доказательство. Неприводимость особенностей такого вида очевидна.Пусть теперь F неприводима, Fl × Fk /G — ее каноническая модель.|πZl (G)| = l, Ker πZl |G = 0, поэтому |G| = l = k.

Имеем lk = |G|m, поэтомуl = k = m. Проекция G на Zl — изоморфизм, поэтому G — циклическая ипорождается элементом вида (1, a). Поскольку проекция на второй сомножитель также является изоморфизмом, a взаимнопросто c m. Далее a и −aзадают одинаковые особенности, а равенство a = −a не может выполняться, если (a, m) = 1 и m 6= 2.

Поэтому число различных особенностей равно12 φ(m).Таким образом, для степени 2 (и, следовательно, для любой большей)существуют неприводимые особенности любой сложности.3.2.3Устойчивость неприводимых особенностейУтверждение 3.6. Неприводимые особенности не меняют своего топологического типа при малом интегрируемом возмущении системы.Доказательство. Заметим, что поверхности, образующие Ln−1 -тип — это вточности множество критических точек в окрестности особого слоя.

В случае неприводимых особенностей критическое множество состоит из ровно nповерхностей. Каждая из этих поверхностей проецируется в n − 2–мерныйдиск на бифуркационной диаграмме. При малом возмущении системы критические поверхности как-то непрерывно меняются, но их количество остается неизменным. Следовательно, бифуркационная диаграмма возмущенной особенности в окрестности особого слоя совпадает с бифуркационнойдиаграммой в окрестности особой точки ранга 0, что означает, что для возмущенной особенности выполнено условие нерасщепляемости. Мы знаем,что такие особенности однозначно задаются своими операторами монодромии. Но монодромия, очевидно, не меняется при непрерывном возмущении,и новая особенность гомеоморфна исходной.77Для всякой особенности, которая не является неприводимой, найдется гомеоморфная ей, распадающаяся при малом интегрируемом возмущении.

Действительно, рассмотрим симплектическое почти прямое произведение F (m1 ) × · · · × F (mk )/G. Предположим, проекция G на Zm1 естьe 6= Zm . Тогда найдется G-эквивариантноеeGвозмущение F (m1 ), разводящее1некоторые особые точки на разные слои. Действительно, можно возмутитьe (она содержит больше одной точки!), а потом поднять это возF (m1 )/Gмущение на F (m1 ). В результате мы построим интегрируемое возмущениеF (m1 ) × · · · × F (mk )/G, разводящее особые точки на разные слои.Если число связных компонент Ln−1 -типа в направлении i равно pi , тоособенность может распасться не более, чем на p1 · · · pk частей. В частности,особенность распадается на особенности сложности 1 тогда и только тогда,когда она является прямым произведением.Гипотеза 3.1. Всякая фокусная особенность, не являющаяся неприводимой, распадается при малом интегрируемом возмущении на особенностименьшей сложности.Гипотеза 3.2.

Невырожденная особенность устойчива тогда и толькотогда, когда число ее критических подмногообразий в окрестности особого слоя совпадает с числом критических подмногообразий в окрестностиее произвольной особой точки минимального ранга. В частности, все расщепляемые особенности неустойчивы.То, что из этого условия следует устойчивость, доказывается так же, каки в фокусном случае. Рассмотрим, например, особенности типа седло-седлосложности 2. Таких особенностей 39. 11 из них имеют связный L-тип (см.таблицу 9.1 в [4]). Эти особенности устойчивы.44.1Гладкие инварианты многомерных особенностейГладкая эквивалентность неприводимых особенностейВ этом разделе для канонических интегралов будет использоваться как вещественная, так и комплексная форма записи:zj = f1j + if2j .Функции zj также будем называть каноническими интегралами.Понятие связывающего диффеоморфизма в многомерном случае определяется так же, как и для обычных фокусных особенностей.

Как и в случае степени 1, достаточно рассматривать связывающие диффеоморфизмытолько между соседними особыми точками.Оказывается, что связывающие диффеоморфизмы в случае степени n >1 устроены весьма специфическим образом.78Лемма 4.1. Пусть x1 , x2 — две особые точки, z, ze — соответствующиеим наборы канонических интегралов. Пусть также ∆i (x1 ) = x2 , где ∆i- сдвиг в направлении i на редуцированном особом слое. Тогда для любогоj 6= i zej = zj .Доказательство. Рассмотрим точку y, проекция которой на редуцированный особый слой лежит на ребре, соединяющем x1 и x2 . Эта точка ранга2. Предположим, что y близка к x1 .

Тогда, очевидно ее канонические интегралы есть z1 , . . . , zˆi , . . . , zn . Если же взять точку w над тем же ребром, ноблизкую к x2 , то каноническими интегралами будут ze1 , . . . , zeˆi , . . . , zen . Но yи w лежат в одной орбите, поэтому канонические интегралы должны совпадать.Следствие 4.1.1. Связывающиеze1zei−1zeizei+1zenдиффеоморфизмы имеют вид= z1 ,...= zi−1 ,= zei (z1 , .

. . zn ),= zi+1 ,...= znИх условия нерасщепляемости следует также, что zei = 0 при zi = 0.Утверждение 4.1. Если две фокусные особенности послойно гомеоморфны и все связывающие диффеоморфизмы совпадают, то они послойно диффеоморфны.Утверждение доказывается также, как и для степени 1.Теорема 4.1. Неприводимые особенности не имеют гладких инвариантов.Доказательство. Рассмотрим две особые точки x1 и x2 .

Зафиксируем произвольное i от 1 до n. По определению неприводимой особенности можноперевести x1 в x2 , не применяя сдвиг ∆i . Но отсюда следует, что zei = zi .Поскольку это верно для любого i, все связывающие диффеоморфизмынашей особенности тождественны и диффеоморфность равносильна гомеоморфности.Все особенности, не являющиеся неприводимыми, имеют гладкие инварианты. Более того, эти гладкие инварианты устроены очень сложно и несводятся к гладким инвариантам особенностей степени 1. Мы покажем, чтосуществует особенность, гомеоморфная F (1) × F (2), но не представимая ввиде почти прямого произведения в гладком смысле.794.2Препятствие к разложению в гладкое почти прямоепроизведениеВ этом разделе мы построим препятствие к разложению в гладкое почтипрямое произведение и приведем пример особенности, для которой это препятствие нетривиально.Определение 4.1.

Диффеоморфизм (R2n , 0) → (R2n , 0) базы слоения вокрестности фокусной особенности будем называть 2n-допустимым, еслион может быть поднят до диффеоморфизма слоения и при этом не переставляет местами диски {zj = 0}.2-допустимый диффеоморфизм — это просто допустимый диффеоморфизм.Имеет местоТеорема 4.2. Две фокусные особенности послойно диффеоморфны тогдаи только тогда, когда они послойно гомеоморфны и после некоторых допустимых замен канонических интегралов в окрестностях особых точеквсе связывающие диффеоморфизмы совпадают.Утверждение доказывается также, как и для степени 1.Теорема 4.3.

Диффеоморфизм 2n-допустим тогда и только тогда, когдаон имеет видze = z1 h1 (z), 1...ze = z h (z)nn nВсе zi в правой части можно заменять на z i .Доказательство этого утверждения дословно повторяет соответствующее доказательство для степени 1.Очевидно следующееУтверждение 4.2. Особенность представима в виде гладкого почти прямого произведения тогда и только тогда, когда допустимыми заменамивсе ее связывающие диффеоморфизмы приводятся к виду:ze1= z1 ,...zei−1 = zi−1 ,(19)zei= zei (zi ),zei+1 = zi+1 ,...zen= zn80Теперь мы построим препятствие, не дающее привести связывающийдиффеоморфизм к виду (19).

Характеристики

Список файлов диссертации