Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòíà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 517.938.5+514.762Íîâèêîâ Äìèòðèé Âÿ÷åñëàâîâè÷Òîïîëîãèÿ îñîáåííîñòåéèíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìñ íåêîìïàêòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè óðîâíÿ01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿäèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:Àêàäåìèê ÐÀÍ À. Ò. Ôîìåíêî,Ïðîô. À. À. ÎøåìêîâÌîñêâà 2013ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå123Ñëó÷àé Ñîêîëîâà íàe(3)221.1Ââåäåíèå .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.2Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà. . . . . . . . . . . .231.3Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . . .281.4Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà . . . .
. . .351.5Èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481.6Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû âåêòîðíûõ ïîëåésgrad Hè.551.7Òîïîëîãèÿ ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿH. . . . . . . .591.8Ïåðåñòðîéêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65Ñëó÷àé Ñîêîëîâà íàèKsgrad Kso(3, 1)682.1Ââåäåíèå . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .682.2Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà. . . . . . . . . . . .682.3Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . . .712.4Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà2.5Íåïîëíîòà ïîëÿ2.6. . . . . . .75. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .82Èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84sgrad H12.7Òîïîëîãèÿ ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿËèòåðàòóðàHèK. . . . . . . .841022ÂâåäåíèåÎïèñàíèå ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìûÄèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ òîïîëîãè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Â. Â. Ñîêîëîâà (äàëåå ñëó÷àé Ñîêîëîâà) íààëãåáðàõ Ëèe(3)èso(3, 1).Ýòî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìèñâîáîäû.
Óêàçàííûå ñëó÷àè îòëè÷àþòñÿ îò áîëüøèíñòâà èçâåñòíûõ ñèñòåìòåì, ÷òî ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãîèíòåãðàëà ÿâëÿþòñÿ íåêîìïàêòíûìè, à â ñëó÷àåso(3, 1),êðîìå òîãî, ïîòîêãàìèëüòîíèàíà ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì.Êàê èçâåñòíî, îñíîâû òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè áûëè çàëîæåíû À. Ò. Ôîìåíêî â ðàáîòàõ [1], [2], [3], [4], [5] è äðóãèõ. Óêàçàííûé íîâûé ïîäõîä â èçó÷åíèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, ïðåäëîæåííûé À.
Ò. Ôîìåíêî,áûë çàòåì ïðîäîëæåí À. Ò. Ôîìåíêî è Õ. Öèøàíãîì, ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó À. Ò. Ôîìåíêî è Õ. Öèøàíãà [6]. Èìè áûë îòêðûò òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì (èìåíóåìûé èíâàðèàíòîì Ôîìåíêî-Öèøàíãà).Ýòî ãðàô ñ ÷èñëîâûìè ìåòêàìè, ÿâëÿþùèéñÿ ïîëíûì èíâàðèàíòîì òàêèõñèñòåì: äâå ñèñòåìû ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû, åñëè è òîëüêî åñëè ãðàôû3Ôîìåíêî-Öèøàíãà ñîâïàäàþò. Äàëåå øêîëà À.
Ò. Ôîìåíêî ðàçðàáîòàëà ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ìå÷åíûõ ìîëåêóë, ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó À. Â. Áîëñèíîâà,Ï. Ðèõòåðà è À. Ò. Ôîìåíêî[7]. Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ìíîãèõ âàæ-íûõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì áûëè âû÷èñëåíû Ì. Ï. Õàðëàìîâûì â êíèãå [8]. ñåðèè ðàáîò À. Â. Áîëñèíîâà è À. Ò. Ôîìåíêî [9], À. À. Îøåìêîâà [10],Ï. Å. Ðÿáîâà [11] è äðóãèõ áûëè íàéäåíû êëàññèôèöèðóþùèå èíâàðèàíòûäëÿ ìíîãèõ êîíêðåòíûõ ôèçè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì.Êàê ïðàâèëî, â òàêèõ ñèñòåìàõ ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëîâêîìïàêòíû.
Ðåçóëüòàòû òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè, ïîëó÷åííûåøêîëîé À. Ò. Ôîìåíêî, ïîäðîáíî èçëîæåíû À. Â. Áîëñèíîâûì è À. Ò. Ôîìåíêîâ êíèãå [12].Îäíàêî òåîðèÿ òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè íåêîìïàêòûõ ñèñòåì äî ñèõïîð íå ðàçðàáîòàíà, íàïðèìåð, íåò êîíå÷íîãî ñïèñêà àòîìîâ äàííîé ñëîæíîñòè (äàæå ñàìî ïîíÿòèå ñëîæíîñòè â íåêîìïàêòíîì ñëó÷àå ïîêà ÷òî íå îïðåäåëåíî). Ìû íàäååìñÿ, ÷òî ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ñìîãóò áûòüïîëåçíû ïðè ïîñòðîåíèè òàêîé òåîðèè.Ïðè àíàëèçå íåêîìïàêòíûõ ñèñòåì ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ïðîáëåìîéïîëíîòû ïîëåé. Ïîëíîòà ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì óñëîâèåì â Òåîðåìå Ëèóâèëëÿ, â êîìïàêòíîì ñëó÷àå îíà ïîëó÷àåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.
 îòñóòñòâèèïîëíîòû (à â ñëó÷àå Ñîêîëîâà íàso(3, 1)òàê è ïðîèñõîäèò) ñâÿçíûå êîì-ïîíåíòû ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãîèíòåãðàëà íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ òîðàìè, öèëèíäðàìè èëè ïëîñêîñòÿìè.Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ íàáëþäàåòñÿ â ñëó÷àå êîìïëåêñíûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè â ðàáîòå Ò. À. Ëåïñêîãî [13].4Çàìåòèì, ÷òî äàæå òîãäà, êîãäà ïîòîêè ïîëíû, äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòàìîæåò áûòü íåòðèâèàëüíî.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû íåò îáùèõ ìåòîäîâ,íàïðèìåð, êðèòåðèé òîãî, êîãäà îäíîðîäíîå êâàäðàòè÷íîå ïîëå âR2 ÿâëÿåòñÿïîëíûì, ïîÿâèëñÿ ñîâñåì íåäàâíî (ñì. ðàáîòó [14]). Àâòîðó íåèçâåñòíû ðàáîòû, ãäå ïðèâîäÿòñÿ êðèòåðèè ïîëíîòû äëÿ ïîëèíîìèàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåéñòåïåíè> 2.Ñðåäè ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ äîêàçàòåëüñòâó ïîëíîòû ïîòîêîâ,îòìåòèì äèññåðòàöèþ À. Þ. Ìîñêâèíà [15], â êîòîðîé èññëåäóåòñÿ ïîëíîòàïîòîêîâ èíòåãðàëîâ, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì Ñàäýòîâà.Äðóãèì ïðåïÿòñòâèåì ïðè àíàëèçå íåêîìïàêòíûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîâ íåêîìïàêòíîì ñëó÷àå ìîãóò áûòü íåêðèòè÷åñêèå áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ(íàïðèìåð, òàê îêàçûâàåòñÿ â èçó÷àåìîì ñëó÷àå Ñîêîëîâà íàe(3)).Ñîîò-âåòñòâåííî äëÿ ïîñòðîåíèÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íåäîñòàòî÷íî íàéòèêðèòè÷åñêèå òî÷êè è èõ îáðàçû.
Íåîáõîäèìî èçó÷àòü, êàê óñòðîåíà ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ.Ñàìà îáùàÿ çàäà÷à îïðåäåëèòü è êëàññèôèöèðîâàòü íåêîìïàêòíûå ïåðåñòðîéêè (ïî àíàëîãèè ñ êîìïàêòíîé êëàññèôèêàöèåé), â ðàìêàõ êîòîðîéâ íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà, ïîñòàâëåíàÀ. Ò. Ôîìåíêî.Öåëè èññëåäîâàíèÿÄèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïðåñëåäóåò ñëåäóþùèå îñíîâíûå öåëè:1. Èññëåäîâàíèå òîïîëîãèè ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàe(3).2. Èññëåäîâàíèå òîïîëîãèè ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàso(3, 1).5Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿÏðè èññëåäîâàíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîäû òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, ðàçðàáîòàííîé À. Ò. Ôîìåíêî è åãî øêîëîé, àòàêæå ìåòîäû òîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà, ðàçðàáîòàííûå Ì.
Ï. Õàðëàìîâûì.Êðîìå òîãî, èñïîëüçóþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû, ìåòîäû òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ëèíåéíîé àëãåáðû.Íàó÷íàÿ íîâèçíàÐåçóëüòàòû ðàáîòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:1. äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íà•e(3)îïèñàíà òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ãàìèëüòîíèàíà (ñì.Òåîðåìó 2);•íàéäåíû áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ãàìèëüòîíèàíîì (ñì. Óòâåðæäåíèå 1.2.3), è îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (ñì.
Òåîðåìó5);•âû÷èñëåíû èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê (ñì. Óòâåðæäåíèå 1.5.1);•îïèñàíû ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà (ñì. Òåîðåìó 6);•äîêàçàíà ïîëíîòà ïîëåésgrad Hèsgrad K ,÷òî ÿâëÿåòñÿ âàæíûì óñëî-âèåì â òåîðåìå Ëèóâèëëÿ (ñì. ïàðàãðàô 1.6).2. äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàso(3, 1)6•îïèñàíà òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ãàìèëüòîíèàíà (ñì.Òåîðåìó 7);•íàéäåíû áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ãàìèëüòîíèàíîì (ñì.
Óòâåðæäåíèå 2.2), è îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (ñì. Òåîðåìó8);•íàéäåíû èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê (ñì. Óòâåðæäåíèå 2.6.1);•îïèñàíû ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà (ñì. Òåîðåìó 9);•äîêàçàíî, ÷òî ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ, îòâå÷àþùåãî ãàìèëüòîíèàíó, íåïîëîí (ñì. ïàðàãðàô 2.5).Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòüÏîëó÷åííûå â ðàáîòå ðåçóëüòàòû èìåþò òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Ïðåäëîæåíû ìåòîäû äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû ïîëèíîìèàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé,àíàëèçà òîïîëîãèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ íåêîìïàêòíûìè ïîâåðõíîñòÿìèóðîâíÿ, â òîì ÷èñëå â ñëó÷àå íåïîëíîòû ïîòîêîâ. Îïèñàííûå ïðèìåðû ñèñòåìñ íåêîìïàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè ìîãóò áûòü ïîëåçíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèèíåêîìïàêòíûõ îñîáåííîñòåé.Àïðîáàöèÿ ðàáîòûÎñíîâíûå ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü•íà êîíôåðåíöèè ¾Àëåêñàíäðîâñêèå ÷òåíèÿ¿ (Ìîñêâà, c 30 ìàÿ ïî 02èþíÿ 2006 ã.);7•íà êîíôåðåíöèè ¾Ëîìîíîñîâñêèå ÷òåíèÿ¿ (Ìîñêâà, c 17 ïî 27 àïðåëÿ2006 ã.);•íà ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Dierential and Functional DierentialEquations 2008¿ (Ìîñêâà, ñ 17 ïî 24 àâãóñòà 2008 ã.);•íà ñåìèíàðå â Óíèâåðñèòåòå ã.
Áîõóì (Ãåðìàíèÿ, ìàé 2008 ã.);•íà êîíôåðåíöèè ¾Ëîìîíîñîâ¿ (Ìîñêâà, ñ 11 ïî 15 àïðåëÿ 2011 ã.);•íà ñåìèíàðå èìåíè Â. Â. Ðóìÿíöåâà ïî àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå è òåîðèèóñòîé÷èâîñòè ïîä ðóêîâîäñòâîì ÷ë.-êîðð. ÐÀÍ Â. Â. Áåëåöêîãî è ïðîô.À. Â. Êàðàïåòÿíà (Ìîñêâà, 23 îêòÿáðÿ 2013 ã.);•íåîäíîêðàòíî íà ñåìèíàðå ¾Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû¿ ïîäðóêîâîäñòâîì àêàä. À. Ò. Ôîìåíêî è ïðîô. À. Ñ. Ìèùåíêî (ìåõìàò ÌÃÓèìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà).ÏóáëèêàöèèÏî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî25ðàáîò [16], [17], [18], [19], [20], èç íèõâ èçäàíèÿõ ïî ïåðå÷íþ ÂÀÊ. Ðàáîò, íàïèñàííûõ â ñîàâòîðñòâå, íåò.Ñòðóêòóðà è îáúåìÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è äâóõ ãëàâ. Òåêñò äèññåðòàöèè èçëîæåííà106ñòðàíèöàõ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò832íàèìåíîâàíèÿ.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÂî Ââåäåíèè ïðèâîäèòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è, êðàòêî èçëàãàþòñÿ íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ, äàåòñÿ îáçîð ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.Ãëàâà 1 ñîñòîèò èçëîâà íà8ïàðàãðàôîâ è ñîäåðæèò èññëåäîâàíèå ñëó÷àÿ Ñîêî-e(3). ïåðâîì ïàðàãðàôå êðàòêî èçëàãàþòñÿ ïîëó÷åííûå â Ãëàâå 1 ðåçóëüòàòû.Âî âòîðîì ïàðàãðàôå íàõîäÿòñÿ áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà.
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ïàðàãðàôà ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 1.2.3Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà ñëó÷àÿ Ñî-êîëîâà íà e(3) (ïðè κ = 0) ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè êðèâûìè íà ïëîñêîñòè(g, h):1. h = 0, g ∈ R;4α2 g 2 − 12. h =, g ∈ R;4α13. h = − , g ∈ R,4αïðè÷åì òî÷êè âèäà 1−2 ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè, à òî÷êè âèäà3 íåêðèòè÷åñêèìè áèôóðêàöèîííûìè çíà÷åíèÿìè.Òðåòèé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí èññëåäîâàíèþ òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
