Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ Q3g,h ñëó÷àÿÑîêîëîâà íà e(3) ïðè ðåãóëÿðíûõ, òî åñòü íå ïðèíàäëåæàùèõ áèôóðêàöèîííûì çíà÷åíèÿì ãàìèëüòîíèàíà H , (g, h) èìååò ñëåäóþùèé òèï:1;4α12. Äâóìåðíûé äèñê ñ òðåìÿ äûðêàìè, óìíîæåííûé íà R, ïðè h > − ,4α1. 2R3 ïðè h < −94α2 g 2 − 1h 6=, h 6= 0.4α ÷åòâåðòîì ïàðàãðàôå íàõîäèòñÿ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàÒåîðåìà 5e(3). íåì äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÁèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ñëó÷àÿ Ñîêî-ëîâà íà e(3) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ êðèâûõ:4α2 g 2 − 11) ëó÷à k = −h + αg , h >,4αïðè ýòîì â ïðîîáðàçå ïîëó÷àþòñÿ 2 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè;22) ïàðàáîëû k = −αh2 − h, h ∈ R,ïðè ýòîì â ïðîîáðàçå 2 êðèòè÷åñêèå ïðÿìûå;114α2 g 2 − 13) îòðåçêà k =,−6h6,4α2α4α11â ïðîîáðàçå áóäóò 4 êðèòè÷åñêèå ïðÿìûå, à ïðè h > −ïðè h < −4α4α2 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè;14) ëó÷à k = −h, h > − .4αÏðè÷åì òèïû (1−3) ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè, à òèï 4 íåêðèòè÷åñêèìè áèôóðêàöèîííûìè çíà÷åíèÿìè.Ïÿòûé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí âû÷èñëåíèþ èíäåêñîâ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.
Åãîðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 1.5.1Èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íà e(3)èìåþò ñëåäóþùèé òèï:1èìåþò èíäåêñ 2;2α1èìåþò èíäåêñ 1;2. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = −αh2 − h, h > −2α4α2 g 2 − 123. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = −h + αg , h >èìåþò èíäåêñ 2;4α114α2 g 2 − 14. Ïðîîáðàçû êðèâîé k =,−<h<èìåþò èíäåêñ 2.4α2α4α1. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = −αh2 − h, h < −10sgrad H øåñòîì ïàðàãðàôå äîêàçûâàåòñÿ ïîëíîòà âåêòîðíûõ ïîëåéèsgrad K . ñåäüìîì ïàðàãðàôå èññëåäóåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíàHè äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëàK.Åãî îñíîâ-íîé ðåçóëüòàò ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 6Ïðè ðåãóëÿðíûõ, òî åñòü íå ïðèíàäëåæàùèõ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììå äëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, (h, k) ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿH è K äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íà e(3) èìååò ñëåäóþùèé òèï:1. Ïóñòîå ìíîæåñòâî íàä âåðõíåé ãðàíèöåé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû;2.
Äâà öèëèíäðà ïîä ïàðàáîëîé k = −αh2 − h;3. ×åòûðå öèëèíäðà íàä ïàðàáîëîé k = −αh2 − h, íî ïîä ëó÷îì k = −h;4. Äâà òîðà íàä ëó÷îì k = −h, íî ïîä ëó÷îì k = −h + αg 2 .Âîñüìîé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí îïèñàíèþ ïåðåñòðîåê ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàe(3).Ãëàâà 2 ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàso(3, 1)è ñîñòîèòèç ñåìè ïàðàãðàôîâ. ïåðâîì ïàðàãðàôå êðàòêî èçëàãàþòñÿ ïîëó÷åííûå â Ãëàâå 2 ðåçóëüòàòû.Âî âòîðîì ïàðàãðàôå íàõîäÿòñÿ áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 2.2.3Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà ñëó÷àÿ Ñî-êîëîâà íà so(3, 1) (ïðè κ < 0) ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè êðèâûìè íà ïëîñêîñòè(g, h):1.
h = 0, g ∈pR;2. h =α−(α2 + κ)(1 − 4κg 2 ), g ∈ R,2κ11ïðè÷åì ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè. òðåòüåì ïàðàãðàôå íàõîäèòñÿ òîïîëîãè÷åñêèé òèï èçîýíåðãåòè÷åñêîéïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà. Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÈçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Q3g,h äëÿ ãàìèëüòîíèàíà ñëó÷àÿÒåîðåìà 7p(α2 + κ)(1 − 4κg 2 ), äèôôåîìîðôíàÑîêîëîâà íà so(3, 1), h 6= 0, h 6=2κîòêðûòîìó äâóìåðíîìó äèñêó ñ 3 äûðêàìè.α−×åòâåðíûé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí íàõîæäåíèþ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììûîòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.  íåì äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 8Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ñëó÷àÿ Ñîêî-ëîâà íà so(3, 1) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ êóñêîâ:p(α2 + κ)(1 − 4κg 2 )1) êóñêà ïàðàáîëû k =− h + αg , h >,2κïðè ýòîì â ïðîîáðàçå ïîëó÷àþòñÿ 2 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè (0, S2 , 0, Q1 , 0, Q3 ).κg 2, h ∈ R,2) ïàðàáîëû k = −αh2 − h −αïðè ýòîì â ïðîîáðàçå 2 êðèòè÷åñêèå ïðÿìûåp (S1 , 0, 0, 0, Q2 , Q3 ).2α − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )1 − 4κg13) îòðåçêà k =,−6h6,4α2α2κq).ïðè ýòîì â ïðîîáðàçå áóäóò 2 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè (S1 , S2 , S3 , 0, Q2 ,2α4) èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè h = k = 0.κ 2αh2α− ïÿòîì ïàðàãðàôå äîêàçàíî, ÷òî ãàìèëüòîíîâî âåêòîðíîå ïîëå ñëó÷àÿÑîêîëîâà íàso(3, 1)íåïîëíî. øåñòîì ïàðàãðàôå íàõîäÿòñÿ èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.
Äîêàçàíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 2.6.1Èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íà so(3, 1)èìåþò ñëåäóþùèé òèï:12κg 211. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = −αh − h −,h<−èìåþò èíäåêñ 2;α2ακg 2122. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = −αh − h −,h>−èìåþò èíäåêñ 1;α2α pα − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )κ 223. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = α h − h + αg , h >2κèìåþò èíäåêñ 2;p2α − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )11 − 4κg,−<h<4.
Ïðîîáðàçû êðèâîé k =4α2α2κèìåþò èíäåêñ 2.2 ñåäüìîì ïàðàãðàôå íàéäåí òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòèóðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíàHè äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëàK.Äîêàçàíà ñëåäó-þùàÿÒåîðåìà 9Ïðè ðåãóëÿðíûõ, òî åñòü íå ïðèíàäëåæàùèõ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììå äëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, (h, k) ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿH è K ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íà so(3, 1) èìååò ñëåäóþùèé òèï:11. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ïðè k > −αh2 − h − κα g 2 è h < − 2α, ïóñòîå ìíîæåñòâî1 − 4κg 2ïðè k >, ïóñòîå ìíîæåñòâî ïðè k > κα h2 − h + αg 2 ;4α2.
Äâå äâóìåðíûå ñôåðû ñ ÷åòûðüìÿ ïðîêîëàìè êàæäàÿ ïðè k < −αh2 −h − κα g 2 , (h, k) 6= (0, 0) ïðè g 6= 0;3. Äâà äâóìåðíûõ òîðà ïðè k > −αh2 − h − κα g 2 è k < κα h2 − h + αg 2 .Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿÎïðåäåëåíèå 1.Ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå (M, ω) ýòî ãëàäêîå 2n-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå M ñ çàäàííîé íà íåì íåâûðîæäåííîé çàìêíóòîé 2ôîðìîé ω , íàçûâàåìîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìîé.Îïðåäåëåíèå 2.Äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè H íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíî13ãîîáðàçèè (M, ω) âåêòîðíîå ïîëå êîñîé ãðàäèåíò ôóíêöèè H (îáîçíà÷àåòñÿsgrad H ) îïðåäåëÿåòñÿ èç ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ:v(H) = ω(v, sgrad H),ãäå v ïðîèçâîëüíîå âåêòîðíîå ïîëå íà M .Îïðåäåëåíèå 3.Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðà-çèè M ðàçìåðíîñòè 2n, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåêòîðíîìó ïîëþ sgrad H , íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ãàìèëüòîíèàíîì H è n ñòåïåíÿìèñâîáîäû.
 ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (x1 , · · · , x2n ) íà M îíà èìååò âèäẋi = (sgradH)i = (ω −1 )ij∂H,∂xjãäå ω −1 ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìû ω .Îïðåäåëåíèå 4.Ñêîáêîé Ïóàññîíà íàçûâàåòñÿ áèëèíåéíàÿ êîñîñèììåò-ðè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå ãëàäêèõ ôóíêöèé íà M , îïðåäåëÿåìàÿñëåäóþùåé ôîðìóëîé:{f, g} = (ω −1 )ij∂f ∂g.∂xi ∂xjÃàìèëüòîíîâà ñèñòåìà â òåðìèíàõ ñêîáêè Ïóàññîíà ìîæåò áûòü çàïèñàíàñëåäóþùèì îáðàçîì:ẋi = {xi , H}.Îïðåäåëåíèå 5.Ôóíêöèÿ F íàçûâàåòñÿ (ïåðâûì) èíòåãðàëîì ãàìèëüòî-íîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , åñëè F ïîñòîÿííà âäîëü èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé ýòîé ñèñòåìû.ßñíî, ÷òîF ïåðâûé èíòåãðàë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà14{F, H} = 0Îïðåäåëåíèå 6.Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðà-çèè M 2n íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ, åñëè ñóùåñòâóåò íàáîðãëàäêèõ ôóíêöèé f1 , · · · fn íà M 2n òàêèõ, ÷òî:1) f1 , · · · fn ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû;2) f1 , · · · , fn ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû íà M 2n , òî åñòü ïî÷òè âñþäóíà M 2n èõ ãðàäèåíòû ëèíåéíî íåçàâèñèìû (òî÷êè, â êîòîðûõ ãðàäèåíòûëèíåéíî çàâèñèìû, íàçûâàþòñÿ îñîáûìè);3) {fi , fj } = 0 äëÿ ëþáûõ i è j îò 1 äî n;4) âåêòîðíûå ïîëÿ sgrad fi ïîëíû äëÿ âñåõ i îò 1 äî n, ò.
å. åñòåñòâåííûé ïàðàìåòð íà èõ èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèÿõ îïðåäåëåí íà âñåé ÷èñëîâîéïðÿìîé.Òåîðåìà 1.(Ëèóâèëëÿ) Ïóñòü v = sgrad H - èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèë-ëþ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M 2n ñ èíòåãðàëàìè f1 , · · · , fn . Òîãäà íåîñîáàÿ (òî åñòü íå ñîäåðæàùàÿ îñîáûõ òî÷åê)ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , · · · , fnäèôôåîìîðôíà T k × Rn−k , ãäå T k k -ìåðíûé òîð.Îïðåäåëåíèå 7.Îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà äëÿ èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòî-íîâîé ñèñòåìû ñ èíòåãðàëàìè f1 , · · · , fn íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå F : M →Rn , çàäàííîå ôîðìóëîé F (x) = (f1 (x), · · · , fn (x)).Îïðåäåëåíèå 8.Ïóñòü F : X → Y äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå ìíî-ãîîáðàçèé.
Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî-òðèâèàëüíûì íàä òî÷êîéy0 ∈ Y , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U òî÷êè y0 â Y , ÷òî F −1 (U )äèôôåîìîðôíî F −1 (y0 ) × U , è ýòîò äèôôåîìîðôèçì ϕ çàìûêàåò äèàãðàììó15(p2 ïðîåêöèÿ íà âòîðîé ñîìíîæèòåëü)F −1 (U )ϕ/F −1 (y0 ) × UnnnnnnnFnn p2 vnnnnnUÎïðåäåëåíèå 9.Áèôóðêàöèîííûì ìíîæåñòâîì, èëè áèôóðêàöèîííîé äèà-ãðàììîé, Σ îòîáðàæåíèÿ F íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé, òî åñòü òåõ òî÷åê y ∈ Y , íàä êîòîðûìè F íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîòðèâèàëüíûì.Îïðåäåëåíèå 10.Òî÷êà x ∈ X íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé äëÿ îòîáðàæå-íèÿ F , åñëè ðàíã äèôôåðåíöèàëà îòîáðàæåíèÿ F â òî÷êå x íå ìàêñèìàëåí.Êðèòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè íàçûâàþò îáðàçû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïðè îòîáðàæåíèè F .Çàìå÷àíèå 1.Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ïðèíàäëåæàò áèôóðêàöèîííîé äèà-ãðàììå.Äîêàçàòåëüñòâî.ðàæåíèÿÄåéñòâèòåëüíî, åñëè òî÷êàx∈X êðèòè÷åñêàÿ äëÿ îòîá-F , òî ïî îïðåäåëåíèþ ðàíã äèôôåðåíöèàëà îòîáðàæåíèÿ Fíå ìàêñèìàëåí.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè îòîáðàæåíèåíàä òî÷êîéy = F (x), òî FðàâíîFxðàíãFìåíüøå, ÷åì ðàçìåðíîñòüÎïðåäåëåíèå 11.xëîêàëüíî-òðèâèàëüíîp2 ◦ ϕ â íåêîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x. Íî p2 ◦ ϕ îòîáðàæåíèå ïîñòîÿííîãî ðàíãà, ðàâíîãî ðàçìåðíîñòèòî÷êåâ òî÷êåY .  êðèòè÷åñêîé æåY.Èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ Q3 ãàìèëüòîíîâîé ñè-ñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà H .16Îïðåäåëåíèå 12.Ñëîåíèå íà M , îáðàçîâàííîå ñâÿçíûìè êîìïîíåíòàìèñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , · · · , fn , íàçûâàåòñÿ ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ, ñîîòâåòñòâóþùèì ýòîé ñèñòåìå.Ïóñòüg êîíå÷íîìåðíàÿ àëãåáðà Ëè ñ áàçèñîìñòâóþùàÿ êîàëãåáðà ñ äóàëüíûì áàçèñîìx1 , . .
. , xnàckij àôôèííûå êîîðäèíàòû íààg? ñîîòâåò-1 , . . . , n , òî åñòü i (ej ) = δji . Ïóñòüg? , ñîîòâåòñòâóþùèå áàçèñó e1 , · · · , en , ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû àëãåáðû ËèÎïðåäåëåíèå 13.e1 , . . . , en ,g: [ei , ej ] = ckij ek .Ñêîáêà Ïóàññîíà-Ëè íà ïðîñòðàíñòâå g? çàäàåòñÿ ñëå-äóþùåé ôîðìóëîé:{f, g}(x) = ckij xk∂f ∂g,∂xi ∂xjãäå f è g - ãëàäêèå ôóíêöèè íà g? .Îïðåäåëåíèå 14.Óðàâíåíèÿẋi = {xi , H},çàäàþùèå äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó íà g? , ãäå H ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ (ãàìèëüòîíèàí) íà g? , íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà íà êîàëãåáðå Ëè g? .Îíè ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â ìåõàíèêå è ôèçèêå.
Íàïðèìåð, ðàçëè÷íûå çàäà÷èî äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà íà êîàëãåáðå Ëèe(3)? .Îïðåäåëåíèå 15.Ôóíêöèè, ïðèíàäëåæàùèå ÿäðó ñêîáêè Ïóàññîíà-Ëè, íà-çûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè Êàçèìèðà.17Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì ñëåäóþùåå ñåìåéñòâî ñêîáîê Ïóàññîíà-Ëè íà ïðîñòðàíñòâå{Si , Sj } = εijk Sk ,ãäå{Si , Rj } = εijk Rk ,R6 :{Ri , Rj } = κεijk Sk ,Si è Ri êîìïîíåíòû òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ S è R, εijk çíàê ïåðåñòàíîâêè(123) → (ijk), à κ ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
Ïðè κ > 0 (κ = 1)ïîëó÷àåì, ÷òî ñêîáêà ñîîòâåòñòâóåò àëãåáðå ËèËèe(3),à ïðèκ < 0 (κ = −1) àëãåáðå Ëèf1 = κS 2 + R2 ,ãäåh·, ·i ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âso(4),so(3, 1).ïðèκ = 0 àëãåáðåÔóíêöèè Êàçèìèðà:f2 = hS, Ri,R3 .Êëàññè÷åñêèå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè íà ýòîì ñåìåéñòâå àëãåáð Ëè âêëþ÷àþò ñëó÷àè Ýéëåðà:H = hAS, Si,K = hS, Si,Ëàãðàíæà:1H = (S12 + S22 + βS32 ) + αR3 ,2K = S3 ,Êîâàëåâñêîé:1H = (S12 + S22 + 2S32 ) + αR1 ,22 2 22S1 − S222 S1 − S2K=− αR1 + κα− αR1 + (S1 S2 − αR2 )2 .2218ÇäåñüA ïîñòîÿííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà,α, β ïðîèçâîëüíûå äåéñòâè-òåëüíûå ïàðàìåòðû.Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíèàíû âèäàH = hAS, Si + hb, S × Ri,ãäåA ïîñòîÿííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà,b 6= 0 ïîñòîÿííûé âåêòîð,×-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
