Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 4
Текст из файла (страница 4)
å.(g, h)òî åñòü äëÿ ñëó÷àÿ Ñîíå ïðèíàäëåæàùèõ áè-ôóðêàöèîííîé äèàãðàììå. Ôèêñèðóåì çíà÷åíèå âåêòîðàðàññìîòðèì îòíîñèòåëüíîRQ3g,h =S = (S1 , S2 , S3 )èñèñòåìó:S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 = g,(1.3.1)κ 22 S2 R1 − S1 R2 = − S1 + αS2 − h.α3Îíà çàäàåò ïðÿìóþ l â ïðîñòðàíñòâå R (R), åñëè âåêòîðû (S1 , S2 , S3 ) è (S2 , −S1 , 0)ëèíåéíî íåçàâèñèìû. À îíè çàâèñèìû òîëüêî, åñëè÷àåh = 0.Íî òî÷êà ïðÿìàÿäèàãðàììå. ÏðÿìàÿlQ3g,h ýòîì ñëó-âñåãäà ïðèíàäëåæèò áèôóðêàöèîííîéïåðåñåêàåò ñôåðóòî÷êàõ.
Ìíîæåñòâî òî÷åêïîâåðõíîñòèh = 0S1 = S2 = 0.R2 = 1 − κS 2íå áîëåå ÷åì â äâóõS , äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ïåðåñå÷åíèå, åñòü îáðàçïðè ïðîåêöèè Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç3Pg,h. Ïðÿìàÿ l ïåðåñåêà-åò ñôåðó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà(ρ(0, l))2 6 1 − κS 2 .28(1.3.2)2g+S2(ρ(0, l))2 =ãäåρ(0, l)κ 2S1 − h)2α6 1 − κS 2 ,22S1 + S2(αS22 − ðàññòîÿíèå îò ïðÿìîél(1.3.3)äî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïðè÷åì ðàâåíñòâîñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñî ñôåðîé ïî îäíîé òî÷êå,à ñòðîãîå íåðàâåíñòâî - ïî äâóì.Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâîS 2 (αS22 −3Pg,hçàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîìκ 2S1 − h)2 + (κS 4 − S 2 + g 2 )(S12 + S22 ) 6 0.α(1.3.4)Îáîçíà÷èìv = αS22 −κ 2S − h,α 1u = S12 + S22 ,z = S32 . íîâûõ ïåðåìåííûõ íåðàâåíñòâî (1.3.4) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:κuz 2 + (2κu2 − u + v 2 )z + u(v 2 + g 2 + κu2 − u) 6 0.Òåïåðü ïîäñòàâëÿåì(1.3.5)κ = 0.Íåðàâåíñòâî (1.3.5) ïðåâðàùàåòñÿ â ñëåäóþùåå:(v 2 − u)z + u(v 2 − u + g 2 ) 6 0.Åñëèv 2 − u > 0,òîz = u = 0,Ïîñìîòðèì, ÷òî áóäåò, êîãäàÅñëèg 6= 0,òî ïîëó÷àåìçíàåì, ÷òî ïðÿìàÿh=0îòêóäàS = 0.v 2 − u = 0.u = v = 0, ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåìîòêóäàS1 = S2 = 0èh = 0.ug 2 = 0.Ìû óæåïðèíàäëåæèò áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå, íî îêà-çûâàåòñÿ, ÷òî ýòà ïðÿìàÿ íå âëèÿåò íà òèï(g, h),(1.3.6)Q3g,h .Òî åñòü òèïQ3g,häëÿ òî÷åêëåæàùèõ â îäíîé êàìåðå îòíîñèòåëüíî äâóõ äðóãèõ êðèâûõ, ñîâïàäà-åò, íåçàâèñèìî îò çíàêàhâ ýòèõ òî÷êàõ.
Äàëüøå ñ÷èòàåì, ÷òî29v 2 − u < 0.Ïîñêîëüêóz, u > 0, òî ïðîåêöèÿ ìíîæåñòâà òî÷åê (v, u, z), óäîâëåòâîðÿþùèõ(1.3.6), íà ïëîñêîñòü(v, u)çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì:v2 − u < 0Ïðè ýòîì åñëè2−v 2 − u + g 2 6 0,òîz > 0,(1.3.7)åñëèv 2 − u + g 2 > 0,òîz >2u(v − u + g ).v2 − uÂåðíåìñÿ òåïåðü ê ïåðåìåííûìS1 , S2 è ïîñìîòðèì, êàê íåðàâåíñòâî (1.3.7)ïåðåïèøåòñÿ â íèõ:S12 + S22 > (αS22 − h)2 .Òî åñòü ïðîåêöèÿ(1.3.8)33πS1,S2 (Pg,h) ìíîæåñòâà Pg,híà ïëîñêîñòü (S1 , S2 ) çàäàåòñÿíåðàâåíñòâîì:S12 > (αS22 − h)2 − S22 .Çàìåòèì, ÷òî åñëè(S1 , S2 ) ðåøåíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (1.3.9), òî è(−S1 , S2 ), (S1 , −S2 ), (−S1 , −S2 )ñìàòðèâàòü(1.3.9) òîæå ðåøåíèÿ.
Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàñ-S1 , S2 > 0.Îáîçíà÷èìx = S22 , y = S12 .Òîãäà â êîîðäèíàòàõ(x, y)íåðàâåíñòâîì (1.3.9), îãðàíè÷åíà ãðàôèêîì ôóíêöèèîáëàñòü, çàäàííàÿy = (αx − h)2 − x. Ïðè-y > (αx − h)2 − x + g 2 , òî z > 0, åñëè æå (αx − h)2 − x < y <u(v 2 − u + g 2 )(αx − h)2 − x + g 2 , òî z > −.v2 − u2Äèñêðèìèíàíò òðåõ÷ëåíà y1 = (αx − h) − x ðàâåí 4αh + 1. Äèñêðèìè÷åì åñëèíàíò òðåõ÷ëåíày2 = (αx − h)2 − x + g 2ðàâåí4αh + 1 − 4g 2 .Ìû ïîëó÷èëèóæå èçâåñòíûå íàì áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ. Ïðîèçâåäåíèå êîðíåé ïåðâîãîòðåõ÷ëåíîâ ïîëîæèòåëüíî, ñóììà êîðíåé ðàâíà2αh + 1.Âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûå ðàñïîëîæåíèÿ ãðàôèêîâ (èñîîòâåòñòâåííî ðàçíûå òèïûQ3g,h ):30Ðèñ.
1.2: Ïðîåêöèÿ3Pg,híà ïëîñêîñòü(S2 , S1 )ïðèh<−14α13. Îáà äèñêðèìèíàíòà îòðèöàòåëüíû. Ïðîåêöèÿ Pg,h íà ïëîñ4αêîñòü (S2 , S1 ) ïðåäñòàâëåíà íà Ðèñóíêå 1.2. Ïðè ýòîì íàä îáëàñòüþ, çàêðàru(v 2 − u + g 2 )øåííîé ñâåòëûì, íàõîäÿòñÿ 2 ëó÷à |S3 | >−, íàä îáëàñòüþ,v2 − uçàêðàøåííîé òåìíûì, íàõîäèòñÿ ïðÿìàÿ S3 ∈ R, íàä íåçàêðàøåííîé îáëà1.h < −ñòüþ íàõîäèòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî.3Pg,häèôôåîìîðôíî íåñâÿçíîìó îáúåäèíåíèþ äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿQ3g,híàì íóæíî ñêëåèòü äâà ýêçåìïëÿðà3Pg,hïî èõ ãðàíèöå. Ïðèñêëåèâàíèè äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ ïî ãðàíèöå ïîëó÷àåòñÿR3 ,ïîýòîìóQ3g,h2R3 .14α2 g 2 − 1<h<, h 6= 0. Äèñêðèìèíàíò òðåõ÷ëåíà y1 ïîëîæèòåëåí,2. −4α4α3à òðåõ÷ëåíà y2 îòðèöàòåëåí. Ïðîåêöèÿ Pg,h íà ïëîñêîñòü (S2 , S1 ) ïðåäñòàâëåíàäèôôåîìîðôíîíà Ðèñóíêå r1.3.
Ïðè ýòîì íàä îáëàñòüþ, çàêðàøåííîé ñâåòëûì, íàõîäÿòñÿ222u(v − u + g ), íàä îáëàñòüþ, çàêðàøåííîé òåìíûì, íàõîäèòv2 − uñÿ ïðÿìàÿ S3 ∈ R, íàä íåçàêðàøåííîé îáëàñòüþ íàõîäèòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî.ëó÷à|S3 | >−31Ðèñ. 1.3: Ïðîåêöèÿ3Pg,hÌîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òîíà ïëîñêîñòü3Pg,h(S2 , S1 )ïðè−14α2 g 2 − 1<h<, h 6= 04α4αâ äàííîì ñëó÷àå äèôôåîìîðôíîR3 (S1 , S2 , S3 )ñ âûáðîøåííîé òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòüþ êîîðäèíàòíîãî êðåñòàñêëåéêå äâóõ ýêçåìïëÿðîâìè, óìíîæåííûé íàR.3Pg,h0S2 S3 .Ïðèìû ïîëó÷èì äâóìåðíûé äèñê ñ òðåìÿ äûðêà-×òîáû ïîíÿòü ýòî, íàäî ðàçáèòüùèå â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè0S2 .3Pg,híà ÷àñòè, ëåæà-Ñíà÷àëà ýòî áóäåò ïëîñêîñòüáåç äèñêà, çàòåì äâå ïîëóïëîñêîñòè, ïîñëå ýòîãî îïÿòü ïëîñêîñòü áåç äèñêà.Ïðè ñêëåéêå äâóõ ïëîñêîñòåé áåç äèñêà ïîëó÷àåòñÿ òîæå ïëîñêîñòü áåç äèñêà,êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê öèëèíäðS 1 × R.Ïðè ñêëåéêå äâóõ ïî-ëóïëîñêîñòåé ïîëó÷àþòñÿ äâå ïëîñêîñòè, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêöèëèíäð áåç äâóõ ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ îñè.
 èòîãå ìû ïîëó÷àåì öèëèíäð,óìíîæåííûé íà èíòåðâàë, èç êîòîðîãî âûêèíóëè äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûåîñè öèëèíäðà, èëè îòêðûòûé äèñê ñ òðåìÿ äûðêàìè, óìíîæåííûé íàR.2 23.h >4α g − 1.4αÏðîåêöèÿ3Pg,híà ïëîñêîñòü(S2 , S1 )ïðåäñòàâëåíà íàÐèñóíêår1.4. Ïðè ýòîì íàä îáëàñòüþ, çàêðàøåííîé ñâåòëûì, íàõîäÿòñÿ2|S3 | >ïðÿìàÿ22 ëó÷àu(v − u + g ), íàä îáëàñòüþ, çàêðàøåííîé òåìíûì, íàõîäèòñÿv2 − uS3 ∈ R, íàä íåçàêðàøåííîé îáëàñòüþ íàõîäèòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî.−32Ðèñ. 1.4: Ïðîåêöèÿ3Pg,híà ïëîñêîñòüÄèôôåîìîðôèçìîì ìîæíî ïðåâðàòèòüðû, èçîáðàæåííîé íà Ðèñóíêå 1.5, íà(S2 , S1 )3Pg,hïðèh>4α2 g 2 − 14αâ ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ôèãó-R. Ïðè ñêëåéêå äâóõ ôèãóð, èçîáðàæåí-íûõ íà Ðèñóíêå 1.5, ïî ãðàíèöå, îáîçíà÷åííîé ïóíêòèðíîé ëèíèåé, ïîëó÷àåòñÿäâóìåðíûé òîðT2ñ âûêîëîòûìè äâóìÿ òî÷êàìè. ×òîáû ïîíÿòü ýòî, íóæ-íî íà÷àòü ñêëåèâàòü äâå ôèãóðû ïî ðàäèóñàì, îáîçíà÷åííûì ïóíêòèðíûìèñòðåëêàìè íà Ðèñóíêå 1.5.
Ïðè îáõîäå îêðóæíîñòè áóäóò ñêëåèâàòüñÿ îòðåçêèïî äâóì òî÷êàì è ïîëó÷àòüñÿ îêðóæíîñòè, êðîìå ñëó÷àÿ, êîãäà ðàäèóñû ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíûìè ëó÷àìè, èçîáðàæåííûìè ñïëîøíûìè ëèíèÿìè. Ïðèñêëåéêå ýòèõ ëó÷åé ïî îäíîé òî÷êå áóäåò ïîëó÷àòüñÿ ïðÿìàÿ, òî åñòü îêðóæíîñòü áåç òî÷êè.  èòîãå ïîëó÷àåì òîð ñ âûêîëîòûìè äâóìÿ òî÷êàìè. ×òîáûîêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èòüQ3g,h ,íóæíî åùå óìíîæèòü ïîëó÷åííûé òîð áåç äâóõòî÷åê íà ïðÿìóþ. Ïîêàæåì, ÷òî ïîëó÷åííîå ìíîãîîáðàçèå äèôôåîìîðôíîäèñêó ñ òðåìÿ äûðêàìè, óìíîæåííîìó íàR,òî åñòüQ3g,hèç ïðåäûäóùåãîïóíêòà. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîð êàê ñôåðó ñ ðó÷êîé.
Òîð áåç îäíîé òî÷êè ýòî ñôåðà áåç òî÷êè ñ ðó÷êîé, èëè ïëîñêîñòü ñ ðó÷êîé. Ïðè óòîëùåíèè33ïëîñêîñòè ñ ðó÷êîé ìû ïîëó÷èì äèñê ñ äâóìÿ äûðêàìè (âñå îòêðûòîå). Íî óíàñ óòîëùåííûé òîð ñ äâóìÿ âûáðîøåííûìè òî÷êàìè, ÷òî òî æå ñàìîå, ÷òîè äèñê ñ òðåìÿ äûðêàìè, óìíîæåííûìè íàR.Ðèñ. 1.5: Ôèãóðà èç ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿÈòàê, íàìè äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 2.Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ Q3g,h ïðè ðå-ãóëÿðíûõ, òî åñòü íå ïðèíàäëåæàùèõ áèôóðêàöèîííûì çíà÷åíèÿì ãàìèëüòîíèàíà H , (g, h) èìååò ñëåäóþùèé òèï:11. 2R3 ïðè h < − ;4α12. Äâóìåðíûé äèñê ñ òðåìÿ äûðêàìè, óìíîæåííûé íà R, ïðè h > − ,4α4α2 g 2 − 1h 6=, h 6= 0.4α341.4Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòàÐàññìîòðèì òåïåðü îòîáðàæåíèå ìîìåíòà äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâàf1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g } → R2 (h, k),çàäàííîå ôîðìóëîéH×K : { (S, R) |(H × K)(S, R) =(H(S, R), K(S, R)).
Òî÷êà (S, R) áóäåò êðèòè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàsgrad Hìåííûõèsgrad Káóäóò ëèíåéíî çàâèñèìûìè. Óäîáíî ïåðåéòè îò ïåðå-S è R ê ïåðåìåííûì S è Q. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â ðàáîòåS 6= 0À. À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðèáóäåò äèôôåîìîðôèçì4M1,gýòîíà ñâîé îáðàç. Ïîýòîìó áèôóðêàöèîííóþ äèà-ãðàììó ìîæíî èñêàòü â ïåðåìåííûõ(S, Q).Ïðè ýòîì ñêîáêà ïåðåïèøåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:{Si , Sj } = ijk Sk , {Si , Qj } = ijk Qk ,{Qi , Qj } = qijk Sk ,ãäåq = κS 2 −R2 = 2κS 2 − 1.Ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ïîëåçíîå òîæäåñòâî:1 − q2Q =S R −g =− g2, κ =6 0.4κ2Ïðèκ=0222ýòî òîæäåñòâî âûãëÿäèò òàê:Q2 = S 2 − g 2 .Îáîçíà÷èì2αQ3 − qÍàéäåì êîîðäèíàòûκA, q + 2 Q3 ÷åðåç B .αsgrad H è sgrad K :÷åðåç{S1 , H} = 2αS2 S3 − Q2 ,2κS1 S3 + Q1 ,ακ{S3 , H} = −2( + α)S1 S2 ,α{S2 , H} =35{Q1 , H} = S2 A,{Q2 , H} = S1 B,κ{Q3 , H} = −2( S1 Q2 + αS2 Q1 ),α{S1 , K} = Q2 A,{S2 , K} = Q1 B,{S3 , K} = −2(κ+ α)Q1 Q2 ,ακ{Q1 , K} = [2 (S2 Q3 − S3 Q2 ) + qS2 ]A,α{Q2 , K} = [2α(S3 Q1 − S1 Q3 ) + qS1 ]B,{Q3 , K} = 4κQ3 (S1 Q2 − S2 Q1 ) − 2q(αS2 Q1 +Íàì ïîíàäîáèòñÿ ïåðåôîðìóëèðîâàòüÀ.
À. Îøåìêîâà è Ã. ÕàãèãàòäóñòàÒåîðåìà 3.Òåîðåìó 2èκS1 Q2 ).αÒåîðåìó 3[27] äëÿ ïðîèçâîëüíîãîèç ðàáîòûκ > 0.Ïðè g = 0 è κ > 0 áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñîñòîèò èç÷àñòåé äâóõ ïàðàáîë P1 è P2 (êàñàþùèõñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò) è äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ îòðåçêîâ U è L (êàñàþùèõñÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàáîë â èõâåðøèíàõ):(√α2√α2α−+κα++κκ 2h − h;6h6α2κ2κno√ √ 2√ √ 2− κ−α+κ−κ+α+κ2√√P2 = (h, k) | k = −αh − h;6h6,2 κα2 κα()√11α + α2 + κ,U = (h, k) | k =;−6h64α 2α2κ)(√√2αα − κ− α +κ√6h6.L = (h, k) | k = − ;4κ2κ2 καP1 =(h, k) | k =36),Òåîðåìà 4.Ïðè g > 0, κ > 0 è α >√κ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà èìååòîäèí èç òðåõ âèäîâ (a), (b), (c).pp2 +κ)(1−4κg 2 )2 +κ)(1−4κg 2 )α−(αα+(ακ 2P1 = k = h − h + αg 2 ;≤h≤,α2κ2κ2κgP2 = k = −αh2 − h −; κ(2αh + 1)2 6 (α2 +κ)(1 − 4κg 2 ) ,αpα + (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )11 − 4κg 2; −≤h≤U = k=,4α2α2κp√αα(1 − 4κg 2 ) − κ − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )√;≤h≤,L = k=−4κ2κ2 κα√n√αg oκgE1 = k = −(1 − 2 κg)h; −≤h≤ √ ,ακ√E2 = k = −(1 + 2 κg)h; h1 ≤ h ≤ h2 ,ãäå äëÿ h1 è h2 , çàäàþùèõ êîíöû îòðåçêà E2 , âîçìîæíû ñëåäóþùèå òðèñëó÷àÿ:√κακ√gèh=(a) åñëè 0 < g 6,òîh=−g,2122κ+4αακ√√√κα21 − 2 κgκ√(b) åñëè6g6,òîh=−èh=g.122κ + 4α24αα2 κ(α2 + 2κ)√1ααα2√√<g<,òîh=−gèh=κg),(c) åñëè √(1−2124κ2 κ(α2 + 2κ)2 κκÇàìå÷àíèå 4.√ ðàáîòå À.
À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27] óêàçàí-íàÿ Òåîðåìà 4 ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ 0 < α 6 1 è κ = 1. Ïðè ïîäñòàíîâêå√ïðîèçâîëüíîãî κ > 0 óñëîâèå 0 < α 6 1 ïåðåéäåò â óñëîâèå 0 < α 6 κ .√Îäíàêî ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå κ → +0 óñëîâèå 0 < α 6 κ íàðóøàåòñÿ,√ïîýòîìó íàì íóæíî áûëî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ýòó òåîðåìó äëÿ α > κ ,κäëÿ ýòîãî íóæíî ñäåëàòü çàìåíû α0 = , h0 = −h, k 0 = −k è g 0 = g . Ïðèαýòîì P1 ↔ P2 , U ↔ L, E1 ↔ E1 , à âèä E2 èçìåíèòñÿ.37Ðèñ. 1.6: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà äëÿ ñëó÷àÿso(4),ñîîòâåò-ñòâóþùàÿ ñëó÷àþ (b)Íà Ðèñóíêå 1.6 èçîáðàæåíà áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàso(4), ïðåäåëå ïðèñîîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àþ (b) â Òåîðåìå.κ → +0ìû ïîëó÷àåì ïðèg=0ñëåäóþùåå:1,4α P2 = (h, k) | k = −αh2 − h; h ∈R ,11U = (h, k) | k =;h > −.4α2αÎòðåçîê L ïðîïàäàåò, òàê êàê óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü.√Ïðè g > 0, κ > 0 è α >κ â ïðåäåëå ïðè κ → +0 èìååì:4α2 g 2 − 12P1 = (h, k) | k = −h + αg ; h >,4αP2 = (h, k) | k = −αh2 − h; h ∈R ,11U = (h, k) | k =,;h > −4α2αE1 = { (h, k) | k = −h; h > 0 },1E2 = (h, k) | k = −h; −6 h 6 0, .4αP1 =(h, k) | k = −h; h > −38Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
