Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïîäîáíûå ãàìèëüòîíèàíû ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ, íàïðèìåð, â ðàìêàõ ìîäåëè Ïóàíêàðå-Æóêîâñêîãî, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñ ýëëèïñîèäàëüíîé ïîëîñòüþ, çàïîëíåííîé âèõðåâîé æèäêîñòüþ, ñì. ðàáîòó À. Ïóàíêàðå [21]. Äðóãèå âîçìîæíûå ïðèëîæåíèÿ êâàäðàòè÷íûõ ãàìèëüòîíèàíîâ îáñóæäàþòñÿ â êíèãå À. Â. Áîðèñîâà è È. Ñ. Ìàìàåâà [22].Íîâûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè óðàâíåíèé Ýéëåðà ñ êâàäðàòè÷íûì ãàìèëüòîíèàíîì è èíòåãðàëîì ÷åòâåðòîé ñòåïåíè íà ýòîì ñåìåéñòâå àëãåáð Ëè áûëè íàéäåíû À.
Â. Áîðèñîâûì, È. Ñ. Ìàìàåâûì è Â. Â. Ñîêîëîâûì â ðàáîòàõ [23, 24, 25]. Ñëó÷àé Ñîêîëîâà:κH1 = − S12 + αS22 + S1 R2 − S2 R1 ,ακκK1 = Q3 (κS 2 − R2 ) − αQ21 + Q22 + ( − α)Q23 ,ααãäåQ = S × R.Ñëó÷àé Áîðèñîâà-Ìàìàåâà:H2 = (α −κ 2)S1 + 2αS22 + αS32 + S1 R2 − S2 R1 ,4αK2 = 4α2 S22 S 2 + 4αS2 (S2 Q3 − S3 Q2 ) + Q22 + Q23 − S12 R2 ,Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîèα0 = √α|κ|, ïðèκðàâíîκ 6= 0,ãäåQ = S × R.1, −1 èëè 0. Äåéñòâèòåëüíî, çàìåíà R0 = √1 R|κ|ïðèâîäèò íàñ ê ýòîìó ñëó÷àþ.19Êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, êíèãó Â.
Â. Òðîôèìîâà è À. Ò. Ôîìåíêî [26]),îãðàíè÷åíèå ñêîáêè Ïóàññîíà-Ëè íà îðáèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ãðóïïû Ëè çàäàåò ãàìèëüòîíîâó ñè-4Mc,g= { (S, R) | f1 (S, R) = c, f2 (S, R) = g }, c 6= 0.  íàøåì ñëó÷àåpp0ñ÷èòàòü, ÷òî c = ±1. Äåéñòâèòåëüíî, çàìåíà S =|c|S , R = |c|R0ñòåìó íàìîæíîïðèâîäèò íàñ ê ýòîìó ñëó÷àþ, ïðè ýòîì âåêòîðíîå ïîëåæàåòñÿ íàsgrad Hïðîñòî óìíî-p 3|c| . Çäåñü ñóùåñòâåííî, ÷òî ãàìèëüòîíèàí ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì.Ïîýòîìó â ýòîé ðàáîòå ìû ñ÷èòàåì, ÷òîc = 1.Êðîìå òîãî, ñëåäóÿ ðàáîòå À.
À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27], áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òîg > 0,ïîñêîëüêó ïðè çàìåíå(S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 ) → (−S1 , S2 , S3 , R1 , −R2 , −R3 )f1 , H , Kñîõðàíÿþòñÿ,f2ìåíÿåò çíàê.Äàëåå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîα → −αα > 0,òàê êàê çàìåíàS1 → −S1 , R1 → −R1 ,ïðèâîäèò íàñ ê ýòîìó ñëó÷àþ.Êàê è â ðàáîòå À. À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27], ïðèñëåäîâàòü òîëüêî ñëó÷àéα→καèíâàðèàíòû0<α6f1 , f2√κ > 0 ìîæíî èñ-κ , òàê êàê ïðè çàìåíå S1 ↔ S2 , R1 ↔ R2 ,ñîõðàíÿþòñÿ, à ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûéèíòåãðàë ìåíÿþò çíàê (÷òî íå âëèÿåò íà òîïîëîãèþ).Ïîä èçó÷åíèåì ñèñòåìû ìû ïîíèìàåì èññëåäîâàíèå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ,ñëîÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà. Ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ñëó÷àÿ ÁîðèñîâàÌàìàåâà íàe(3)èññëåäîâàíî â ðàáîòå Ï.
Å. Ðÿáîâà [11], ãäå óêàçàííûé ñëó-÷àé íàçâàí ñëó÷àåì Ñîêîëîâà. Ëèóâèëëåâî ñëîåíèå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìûÑîêîëîâà íà àëãåáðå Ëèso(4) îïèñàíî â ðàáîòå À. À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàò20äóñòà [27], à òàêæå â ðàáîòàõ Ã. Õàãèãàòäóñòà [28] è [29].  íàñòîÿùåé ðàáîòåìû áóäåì èçó÷àòü ñòðîåíèå èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íà îñòàâøèõñÿâ óêàçàííîì ñåìåéñòâå íåêîìïàêòíûõ àëãåáðàõ Ëèe(3)èso(3, 1).ÁëàãîäàðíîñòèÀâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü À. Ò. Ôîìåíêî è À. À.
Îøåìêîâó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è, ïîñòîÿííîå âíèìàíèå è ïîìîùü. Êðîìå òîãî, õîòåëîñü áû âûðàçèòü ïðèçíàòåëüíîñòü Ì. Ï. Õàðëàìîâó çà öåííûå îáñóæäåíèÿè ïîääåðæêó. Áåç ïîìîùè óêàçàííûõ ëþäåé ýòà ðàáîòà íèêîãäà áû íå áûëàíàïèñàíà.21Ãëàâà 1Ñëó÷àé Ñîêîëîâà íà e(3)1.1Ââåäåíèå ýòîé ãëàâå ìû áóäåì èçó÷àòü ñòðîåíèå èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñîêîëîâàíà àëãåáðå Ëèe(3).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â èññëåäóåìîì ñëó÷àå ñâÿçíûå êîìïî-íåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãîèíòåãðàëà ìîãóò áûòü òîðàìè èëè öèëèíäðàìè.
Ìû îïèøåì òîïîëîãèþ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ãàìèëüòîíèàíà (ñì. Òåîðåìó 2), áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ãàìèëüòîíèàíîì (ñì. Óòâåðæäåíèå1.2.3), è îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (ñì. Òåîðåìó 5), èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê(ñì. Óòâåðæäåíèå 1.5.1), à òàêæå ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà (ñì. Òåîðåìó 6) äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàe(3).èÎòìåòèì òàêæå è òî, ÷òî íàì óäàëîñü äîêàçàòü ïîëíîòó ïîëåésgrad K ,sgrad H÷òî ÿâëÿåòñÿ âàæíûì óñëîâèåì â òåîðåìå Ëèóâèëëÿ (ñì. ïàðà-ãðàô 1.6).Èçó÷àåìûé ñëó÷àé õàðàêòåðåí òåì, ÷òî, â îòëè÷èå îò áîëüøèíñòâà èçâåñòíûõ ñëó÷àåâ, íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå êðîìå êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé22áóäóò è íåêðèòè÷åñêèå áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ.
Êðîìå òîãî, áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò è àíàëèç ïåðåñòðîåê ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàe(3),êîòîðûéìû òîæå ïðîâîäèì (ñì. ïàðàãðàô 1.8). íàñòîÿùåé ãëàâå òàêæå èññëåäîâàíî, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè ðåòðàêöèè ñso(4)íàe(3)ñ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé äëÿ îòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ãà-ìèëüòîíèàíîì (ñì. ïàðàãðàô 1.2), è äëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (ñì.
ïàðàãðàô 1.4). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ÿâëÿþòñÿ ïåðåñå÷åíèåì áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, ïîëó÷åííûõ ïðè ïîìîùè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, ñ îáðàçîì ñîîòâåòñòâóþùåãî îòîáðàæåíèÿ (ñì.Çàìå÷åíèÿ 3 è 5).1.2Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíàÁèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà çíà÷åíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ áèôóðêàöèîííûìè äëÿ îòîáðàæåíèÿ4→ R(h).H : M1,gÊðèòè÷åñêèìè òî÷êàìèãàìèëüòîíèàíà ÿâëÿþòñÿ òå òî÷êè, ãäå êîñîé ãðàäèåíò ãàìèëüòîíèàíà ðàâåííóëþ.Âûïèøåì ÿâíî ïîëåsgrad H :{S1 , H} = 2αS2 S3 + S1 R3 − R1 S3 , {R1 , H} = 2αS2 R3 + κS1 S3 − R1 R3 ,2κ2κ{S2 , H} =S1 S3 + S2 R3 − R2 S3 , {R2 , H} =S1 R3 + κS2 S3 − R2 R3 ,αακκ{S3 , H} = −2(α + )S1 S2 ,{R3 , H} = −2(αR1 S2 + S1 R2 ) + R12 + R22 −αα− κS12 − κS22 .Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðèκ=1(ñëó÷àé23so(4)? )ìû ïîëó÷èì â òî÷íîñòèôîðìóëû(5)èç ðàáîòû À.
À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27].Ïðèðàâíÿâ íóëþsgrad H ,Óòâåðæäåíèå 1.2.1.ïîëó÷àåì ñëåäóþùååÄëÿ ïðîèçâîëüíîãî κ 6= −α2 êðèòè÷åñêèå òî÷êè ãà-ìèëüòîíèàíà îáðàçóþò ñëåäóþùèå äâóïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà. Ïðè ýòîìsgrad K â ýòèõ òî÷êàõ òîæå ðàâåí íóëþ.1) (0, 0, S3 , 0, 0, R3 );2) (0, S2 , 0, R1 , R2 , 0), ãäå R12 + R22 − κS22 − 2αR1 S2 = 0;√√3) (0, S2 , S3 , 2αS2 , ± κS2 , ± κS3 ) ïðè κ > 0;2κ4) (S1 , 0, 0, R1 , R2 , 0), ãäå R12 + R22 − κS12 −R2 S1 = 0;α√√2κ5) (S1 , 0, S3 , ± κS1 ,S1 , ± κS3 ) ïðè κ > 0.αÇàìå÷àíèå 2.Óòâåðæäåíèå 1.2.1 ýòî îáîáùåíèå Ïðåäëîæåíèÿ 1 èç ñòà-òüè À. À. Îøåìêîâà è Ã.
Õàãèãàòäóñòà [27].Âûïèøåì îòäåëüíî ïðèâåäåííûå âûøå ñåìåéñòâà äëÿ ñëó÷àÿ1)(0, 0, S3 , 0, 0, R3 );2)(0, S2 , 0, R1 , R2 , 0),3)(0, S2 , S3 , 2αS2 , 0, 0);4)(S1 , 0, S3 , 0, 0, 0);ãäåÌû èçó÷àåì ñèñòåìó íàe(3)? (κ = 0):R12 + R22 − 2αR1 S2 = 0;4M1,g,ïîýòîìó íàäî äîáàâèòü åùå óñëîâèÿf1 = 1,f2 = g .Ðàññìîòðèì, ÷òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ïðè ðåòðàêöèèïåðåõîäå ê ïðåäåëó ïðèso(4)?êe(3)? ,òî åñòüκ → +0. Íàì ïîíàäîáèòñÿ ïåðåôîðìóëèðîâàòü Ïðåä-ëîæåíèå 2 èç ðàáîòû À. À.
Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27] äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãîκ > 0.24Óòâåðæäåíèå 1.2.2.Äëÿ ëþáîãî κ > 0 êðèòè÷åñêèå òî÷êè ãàìèëüòîíèà-4íà íà M1,gïåðå÷èñëåíû íèæå:11) ïðè âñåõ 0 6 g 6 √ èìåþòñÿ 4 òî÷êè âèäà2 κ(0, 0, S3 , 0, 0, R3 ), ãäå κS32 + R32 = 1, S3 R3 = g ,ïðè ýòîì h = k = 0;12) ïðè âñåõ 0 6 g 6 √ èìåþòñÿ 4 òî÷êè âèäà2 κs1gα2 (1 − 4κg 2 )κ1(0, S2 , 0,±− S2 , , 0), ãäå S22 =2αS2 αS2κ4κ 2 (α2 + κ)p 2α ± (κ + α2 )(1 − 4κg 2 )1ïðè ýòîì h =èk=(1 − 4κg 2 );2κ4α√κ3) ïðè âñåõ g >èìåþòñÿ 4 òî÷êè âèäà2κ + 4α2√√2√√1−2κgκg(2κ+4α)−2√(0, S2 , S3 , 2αS2 , κS2 , κS3 ), ãäå S22 =èS=,34α24 κα2√11(1 − 4κg 2 );ïðè ýòîì h = − (1 − 2 κg) è k =4α4α14) ïðè âñåõ 0 6 g 6 √ èìåþòñÿ 4 òî÷êè âèäà2 κs1gα1 − 4κg 22(S1 , 0, 0, ,− αS1 , 0), ãäå S1 =±,S1 2κS12κ4κ(κ + α2 )p√− κ ∓ (κ + α2 )(1 − 4κg 2 )α√ïðè ýòîì h =è k = − (1 − 4κg 2 );4κ2 κα2α5) ïðè g > √èìåþòñÿ 4 òî÷êè âèäà:2 κ(α2 + 2κ)√2√√gκ(2α2 + 4κ) − α22κα(1−2κg)2(S1 , 0, S3 , κS1 ,S1 , κS3 ), ãäå S12 =èS=,322α4κ4κ√ααïðè ýòîì h =(1 − 2 κg) è k = − (1 − 4κg 2 ).4κ4κÏîñìîòðèì òåïåðü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ýòèìè òî÷êàìè ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäåκ → +0.1= +∞, ïîýòîìó äëÿκ→+0 2κëþáîãî g > 0 ïîëó÷àåì 2 êðèòè÷åñêèõ òî÷êè âèäà (0, 0, ±g, 0, 0, ±1), ïðè ýòîì1) ýòà ñåðèÿ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñîõðàíÿåòñÿ,25limh = k = 0;s2s21α (1 − 4κg )1α2 (1 − 4κg 2 ) 4α2 g 2 + 1+=+∞, lim−=,κ→+0 2κκ→+0 2κ4κ 2 (α2 + κ)4κ 2 (α2 + κ)4α2ppα − (κ + α2 )(1 − 4κg 2 )α + (κ + α2 )(1 − 4κg 2 )= +∞, lim=limκ→+0κ→+02κ2κ4α2 g 2 − 1,4αýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî g > 0 áóäóò 2 êðèòè÷åñêèõ òî÷êè âèäàlim2)(0, S2 , 0,g1, , 0),2αS2 S24α2 g 2 + 14α2 g 2 − 11, ïðè ýòîì h =è k =;4α4α√2√4α√1 − 2 κgg(2κ + 4α2 ) − κκ1√3) lim= 0, lim=, lim=κ→+0 2κ + 4α2κ→+04α24α2 κ→+04 κα2+∞, ïîýòîìó ïðè g > 0 ìû ïîëó÷àåì íåêðèòè÷åñêèå áèôóðêàöèîííûå çíà11, k =;÷åíèÿ h = −4αp4α√− κ ∓ (κ + α2 )(1 − 4κg 2 )α√4) lim= ∓∞, lim(1 − 4κg 2 ) = −∞,κ→+0κ→+0 4κ2 καãäåS22 =çäåñü íåò òî÷åê áèôóðêàöèè;5)√αα(1 − 2 κg) = +∞, lim(1 − 4κg 2 ) = −∞,κ→+0 4κκ→+0 4κlimïîýòîìó çäåñüòîæå íåò òî÷åê áèôóðêàöèè.Èòàê, íà îñíîâàíèè ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ìû ïîëó÷èëè íåêèé ñïèñîê çíà÷åíèé, ïîäîçðèòåëüíûõ íà áèôóðêàöèîííûå.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîëó÷åííûåçíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ áèôóðêàöèîííûìè è äðóãèõ áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé íåò, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 1.2.3.Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà ñëó÷àÿ Ñî-êîëîâà íà e(3) (ïðè κ = 0) ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè êðèâûìè íà ïëîñêîñòè(g, h):1. h = 0, g ∈ R;264α2 g 2 − 12. h =, g ∈ R;4α13. h = − , g ∈ R,4αïðè÷åì òî÷êè âèäà 1 − 2 ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè, à òî÷êèâèäà 3 íåêðèòè÷åñêèìè áèôóðêàöèîííûìè çíà÷åíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.Âî-ïåðâûõ, äîêàæåì, ÷òî êðèòè÷åñêèå òî÷êè èìåþò óêà-çàííûé âûøå âèä. Èç{S3 , H} = −2αS1 S2 = 0 ñëåäóåò, ÷òî S1 = 0 èëè S2 = 0.Ðàññìàòðèâàÿ äâà ýòèõ ñëó÷àÿ è ïðèðàâíèâàÿïðèâåäåííûå âûøå(1)èsgrad Híóëþ, ìû è ïîëó÷àåì4 ñåðèè.
Äîáàâëÿÿ óñëîâèÿ f1 = 1, f2 = g , ïîëó÷àåì ñåðèè(2).Òî, ÷òî òî÷êè âèäà3ÿâëÿþòñÿ áèôóðêàöèîííûìè çíà÷åíèÿìè, ñëåäóåòèç Òåîðåìû 2, ãäå ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êè âèäà3ìåíÿåòñÿòîïîëîãè÷åñêèé òèï èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.Çàìå÷àíèå 3.Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ãàìèëü-òîíèàíîì H è èíòåãðàëîì ïëîùàäåé f2 , ñîâïàäàåò ñ ïåðåñå÷åíèåì áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ðåòðàêöèè c so(4), ñ îáðàçîìîòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ãàìèëüòîíèàíîì è èíòåãðàëîì ïëîùàäåé.Íà Ðèñóíêå 1.1 ïðåäñòàâëåíû áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà.Ñïëîøíûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ, ïóíêòèðîì íåêðèòè÷åñêèå áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ.27Ðèñ. 1.1: Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà1.3Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèÁóäåì òåïåðü èñêàòü òîïîëîãèþ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè{ (S, R) | f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g, H(S, R) = h },êîëîâà ïðè ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèÿõ(g, h),ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
