Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Ïîëó÷àåì2κα−äâå êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè.2)S2 = S3 = 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîQ1 = S2 R3 − S3 R2 = 0.êîñûõ ãðàäèåíòîâ ïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:78Ìàòðèöàκ−2 S1 Q2 −Q2 0 0 0 S1 Bα.κQ2 A 0 0 0 −S1 BA 2 S1 Q2 AαÏðè ýòîìhkíà ýòîì êóñêå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû âûðàæàåòñÿ ÷åðåçñëåäóþùèì îáðàçîì:k = −αh2 − h −κ 2g .α(2.4.7)Àíàëîãè÷íî ïåðâîìó ïóíêòó ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:S1 R1 = g,κ− S12 + S1 R2 = h,α(2.4.8) κS 2 + R2 + R2 + R2 = 1.1123Îíà èìååò ðåøåíèå ïðè ôèêñèðîâàííîìS1òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàg 2 (h + κα S12 )2+6 1 − κS12 .22S1S1Îáîçíà÷èìS12÷åðåçx.(2.4.9)Íóæíî, ÷òîáû ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî èìåëî íåîòðè-öàòåëüíûå ðåøåíèÿ:2κhα2 + κ 2x+(1−−κ)x − (g 2 + h2 ) > 0.2ααÏðèκ<0(2.4.10)äèñêðèìèíàíò ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëåí, ïîýòî-ìó íåðàâåíñòâî (2.4.10) èìååò ðåøåíèå ïðè ëþáîìh ∈ R.Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû èìååì 2 êðèòè÷åñêèå ïðÿìûå.3)Q1 = 0, A = 2αQ3 − q = 0. ýòîì ñëó÷àåk=sgrad K = 0.1(1 − 4κg 2 )4αÍèæå (ñì.

äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 9) áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî â êðèòè÷åñêèåòî÷êè îáðàçóþò ïðè ýòîì äâå êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè.794)κQ2 = 0, B = q + 2 Q3 = 0.αα1 − 4κg 22k = − (1 − 4κg ) >.4κ4αÝòî ðåøåíèå íå ñóùåñòâóåò ïðèìåíòà íà ïëîñêîñòè2R (h, k)κ < 0,òàê êàê îáðàç îòîáðàæåíèÿ ìî-íå ëåæèò âûøå ïðÿìîé1 − 4κg 2k=4α(ýòî áóäåòïîêàçàíî íèæå, ñì. äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 2.7).5)(2αS2 S3 − Q2 )Q1 = S1 S2 A,2κ( S1 S3 + Q1 )Q2 = S1 S2 B,αQ1 Q2 6= 0.6) Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ìû ïåðå÷èñëèëè âñå íåòðèâèàëüíûå ñëó÷àè, êîãäàêîñûå ãðàäèåíòûHèK ëèíåéíî çàâèñèìû. Îñòàëüíûå (òðèâèàëüíûå) ñëó÷àèëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ïðèâîäÿò ê òî÷êå2×6ìàòðèöûÏðèðàâíÿâñëåäóåò, ÷òîsgrad H(0, 0).Îáîçíà÷èì ÷åðåç∆ijìèíîðû.sgrad Kìèíîðû ∆13è∆23ê íóëþ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå: èçQ2 [(2αS2 S3 − Q2 )Q1 − S1 S2 A] = 0,à èç∆13 = 0∆23 = 0ïîëó÷àåì, ÷òîQ2ðàâíî 0, ëèáîQ1 [( 2κα S1 S3 + Q1 )Q2 − S1 S2 B] = 0.Ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùóþ àëüòåðíàòèâó: ëèáîQ1èëèâûïîëíåíî 5).

Ðàçáåðåìñÿ òåïåðü ñ òåì, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäàðàâíîI.÷òîèëèQ20.Q1 = 0, A 6= 0 (ñëó÷àé Q1 = A = 0 ðàçîáðàí âûøå). Èç ∆13 = 0 ñëåäóåò,S1 S2 Q2 = 01)Q1Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå ñëó÷àè:S1 = 0, S3 6= 0(ñëó÷àéS1 = S3 = 080ðàçîáðàí âûøå).  ýòîì ñëó÷àå∆14 . Q3 = −S2 R1 , Q2 = S3 R1 .S2 A2κ(SQ−SQ)+qSA2 33 22 αíåíóëåâûì ìîæåò áûòü òîëüêî ìèíîð∆142)2αS2 S3 − Q2= Q2 AS2 = 0, S3 6= 0, S1 6= 0(ñëó÷àèS 1 = Q1 = 0èS2 = S3 = 0ðàçîáðàíûâûøå).Èç òîæäåñòâàS1 Q1 + S2 Q2 + S3 Q3 = 0Q3 = 0. Èç ðàâåíñòâà íóëþ ìèíîðà ∆14ñëåäóåò, ÷òî3)B = 0.Q1 = 0,òîãäàÍî ñëó÷àéñëåäóåò, ÷òîðàçîáðàí âûøå.Íî ñëó÷àèS1 = Q1 = 0,óæå ðàçîáðàíû âûøå.Q2 = 0, Q1 6= 0, B 6= 0âûøå).

ÈçQ2 = B = 0S3 6= 0Q2 = 0, äàëåå èç ∆25 = 0ñëåäóåò, ÷òî∆34 = −2( κα + α)S1 S22 AB = 0.S2 = Q1 = 0, Q1 = A = 0II.è óñëîâèÿ(ñëó÷àèQ1 = Q2 = 0èQ2 = B = 0ðàçîáðàíû∆23 = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî S1 S2 = 0. Ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìîòðèì ðÿäñëó÷àåâ:1)S2 = 0,òîãäà∆25 = 2αQ1 (S1 Q3 − S3 Q1 ) = 0,Ïåðåéäåì ê ïåðåìåííûìîòêóäàS1 Q3 − S3 Q1 = 0.(S, R): Q1 = −S3 R2 , Q3 = S1 R2 ,òàê êàêS2 = 0.S1 Q3 − S3 Q1 = S12 R2 + S32 R2 = (S12 + S32 )R2 .

Ëèáî R2 = 0, ëèáî S = 0.  îáîèõñëó÷àÿõ2)h = k = 0.S1 = 0 ,ñëó÷àèòîãäàS1 = S3 = 0∆12 = 2αS2 S3 Q1 B = 0,èS2 = S3 = 0îòêóäàS2 = 0èëèS3 = 0 .Íîáûëè ðàçîáðàíû âûøå.Íà Ðèñóíêå 2.2 èçîáðàæåíà áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàso(3, 1).81-7h2468-2-4-6Ðèñ. 2.2: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòàÊàê è â ñëó÷àå ñ áèôóðêàöèîííûìè çíà÷åíèÿìè ãàìèëüòîíèàíà, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà â ñëó÷àå Ñîêîëîâàíàso(3, 1)2.5ñîâïàäàþò ñ êðèòè÷åñêèìè (ñì.

ïàðàãðàô 2.7).Íåïîëíîòà ïîëÿsgrad HÌû ïîêàæåì, ÷òî êðèòè÷åñêèå òðàåêòîðèè, ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìûìè, íåïîëíû, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî òåîðåìó Ëèóâèëëÿ ïðèìåíÿòü íåëüçÿ.Ïîëåsgrad Hèìååò ñëåäóþùèé âèä:{S1 , H} = 2αS2 S3 − Q2 ,2κS1 S3 + Q1 ,ακ{S3 , H} = −2( + α)S1 S2 ,α{S2 , H} ={Q1 , H} = S2 A,{Q2 , H} = S1 B,κ{Q3 , H} = −2( S1 Q2 + αS2 Q1 ).α82Ïîäñòàâèâ â íåãîS2 = S3 = Q1 = 0,ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:Ṡ1 = −Q2 ,2κ2κQ̇2 = S1 B = S1 (q +Q3 ) = S1 (2κS12 − 1 +Q3 ),αα2κ Q̇3 = − S1 Q2 .αÂûðàçèâQ3èç óñëîâèÿh = − κα S12 + Q3è ïîäñòàâèâ âî âòîðîå óðàâíåíèå,èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó: Ṡ1 = −Q2 ,2κκκ2κ2(h + S12 ) = S1 2 2 S12 (α2 + κ) − 1 +h . Q̇2 = S1 2κS1 − 1 +αααα(2.5.1)Èç ñèñòåìû (2.5.1) ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íàS̈1 = −Q̇2 = S1 (−2S1 :2κκ 2 2S(α+κ)+1−h).α2 1ακ2κS̈1 Ṡ1 = S1 (−2 2 S12 (α2 + κ) + 1 −h)Ṡ1 ,ααZd Ṡ12dκ2κ=S1 (−2 2 S12 (α2 + κ) + 1 −h) dS1 ,dt 2dtααs Zκ2κṠ1 = ± 2 S1 (−2 2 S12 (α2 + κ) + 1 −h) dS1 + C1 ,ααvu2κ 2 2u2κu −2 2 S1 (α + κ) + 1 − α hαṠ1 = ±t+ C,−2 ακ2 (α2 + κ)Âèäíî, ÷òî ïðèκ < 0 ïðîèçâîäíàÿ S1 àñèìïòîòè÷åñêè ðàñòåò êâàäðàòè÷íî,ïîýòîìó òðàåêòîðèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé.832.6Èíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åêÀíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî äëÿ ñëó÷àÿe(3),ìîæíî äîêàçàòü ñëå-äóþùååÈíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èìåþò ñëåäóþùèé òèï:κg 2121.

Ïðîîáðàçû êðèâîé k = −αh − h −,h<−èìåþò èíäåêñ 2;α2ακg 2122. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = −αh − h −,h>−èìåþò èíäåêñ 1;α2α pα − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )3. Ïðîîáðàçû êðèâîé k = κα h2 − h + αg 2 , h >2κèìåþò èíäåêñ 2;pα − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )1 − 4κg 214. Ïðîîáðàçû êðèâîé k =,−<h<4α2α2κèìåþò èíäåêñ 2.Óòâåðæäåíèå 2.6.1.2.7Òîïîëîãèÿ ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿÎáîçíà÷èì ÷åðåçÒåîðåìà 9.Sk2äâóìåðíóþ ñôåðó ñkHèKïðîêîëàìè.Ïðè ðåãóëÿðíûõ, òî åñòü íå ïðèíàäëåæàùèõ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììå äëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, (h, k) ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâ2íÿ H è K , îáîçíà÷àåìàÿ Mh,kèìååò ñëåäóþùèé òèï: 1. Ïóñòîå ìíîæåñòâî1ïðè k > −αh2 − h − κα g 2 è h < − 2α, ïóñòîå ìíîæåñòâî ïðè k >ñòîå ìíîæåñòâî ïðè k > κα h2 − h + αg 2 ;2.

2S42 ïðè k < −αh2 − h − κα g 2 , (h, k) 6= (0, 0) ïðè g 6= 0;3. 2T 2 ïðè k > −αh2 − h − κα g 2 è k < κα h2 − h + αg 2 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå841−4κg 24α ,ïó-Óòâåðæäåíèå 2.7.1.Ïóñòü íà ïëîñêîñòè R2 (x, y) äàí ýëëèïñ ñ öåíòðîì âíà÷àëå êîîðäèíàò, çàäàííûé óðàâíåíèåì ax2 +bxy +cy 2 = d, ãäå b2 −4ac < 0,ad > 0, è ýëëèïñ, çàäàííûé óðàâíåíèåì px2 + qy 2 = r, ãäå p, q, r > 0. Òîãäàóêàçàííûå ýëëèïñû ïåðåñåêàþòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíîñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:2(b2 − 4ac)r + 2d(aq + cp) 6 4d2 (aq − cp)2 + b2 pq ,(2.7.1)ïðè ýòîì åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, òî ýëëèïñû ñîâïàäàþò, åñëè íåðàâåíñòâî â (2.7.1) ñòðîãîå, òî ýëëèïñû ïåðåñåêàþòñÿ ïî ÷åòûðåì ðàçëè÷íûìòî÷êàì, à â ñëó÷àå ðàâåíñòâà è íåíóëåâîé ïðàâîé ÷àñòè (2.7.1) êàñàþòñÿïî äâóì òî÷êàì.rcos ϕ,Äîêàçàòåëüñòâî. Ïàðàìåòðèçóåì ýëëèïñ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x =prry=sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π).

Ïîäñòàâëÿÿ ïàðàìåòðèçîâàííûå çíà÷åíèÿ â óðàâqríåíèå ïåðâîé êðèâîé, ïîëó÷àåì:arbrcrcos2 ϕ + √ sin ϕ cos ϕ + sin2 ϕ = d.ppqqÏåðåõîäÿ â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ ê äâîéíîìó àðãóìåíòó, èìååì:arbrcr(1 + cos 2ϕ) + √ sin 2ϕ + (1 − cos 2ϕ) = d,22 pq2qa cb2d a c( − ) cos 2ϕ + √ sin 2ϕ =− − .p qpqrp qÊàê èçâåñòíî, ôóíêöèÿ√äîA2 + B 2 ,A sin t + B cos tïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò√− A2 + B 2ïðè÷åì äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê äàííîãî îòðåçêà ñóùåñòâóåò äâàðàçëè÷íûõ ïðîîáðàçà íà[0, 2π),à äëÿ òî÷åê85√± A2 + B 2ñóùåñòâóåò îäèíïðîîáðàç íà[0, 2π). Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåñå÷åíèå äâóõ êðèâûõ ñóùå-ñòâîâàëî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:2d a c 2a c 2 b2( − − ) 6( − ) + ,rp qp qpq4d2 a2 c2 4adcd 2aca2 2ac c2b2+ 2+ 2−−4 +6 2−+ 2+ ,r2pqprqrpqppqqpq4d d a cb2 − 4ac( − − )6,r r p qpq4d2 pq − 4d(aq + cp)r 6 (b2 − 4ac)r2(b2 − 4ac)r2 + 4d(aq + cp)r − 4d2 pq > 0.ÄèñêðèìèíàíòD ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ ðàâåí 16d2 (aq+cp)2 +16d2 pq(b2 −4ac) = 16d2 (a2 q 2 + 2acpq + c2 p2 + b2 pq − 4acpq) = 16d2 (a2 q 2 − 2acpq + c2 p2 +b2 pq) = 16d2 ((aq − cp)2 + b2 pq) > 0.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî b2 − 4ac < 0, ïîëó÷àåì:pp−4d(aq + cp) − 4|d| (aq − cp)2 + b2 pq−4d(aq + cp) + 4|d| (aq − cp)2 + b2 pq6r6,2(b2 − 4ac)2(b2 − 4ac)èëè2(b2 − 4ac)r + 2d(aq + cp) 6 4d2 (aq − cp)2 + b2 pq .x2 y 2+ 2 = 1 (b > a > 0) è îêðóæíîñòü x2 + y 2 =2ab2R ïåðåñåêàþòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a2 6 R2 6 b2 , ïðè÷åì åñëèÑëåäñòâèå 2.7.1.Ýëëèïña2 = R2 = b2 , òî êðèâûå ñîâïàäàþò, åñëè îáà íåðàâåíñòâà ñòðîãèå, òîòî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ÷åòûðå, èíà÷å äâå.86Ìû èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó, çàäàþùóþ2Mh,k:κh = − S12 + αS22 + Q3 ,ακκ 22Q+(− α)Q23 ,k=Qq−αQ+321ααS1 Q1 + S2 Q2 + S3 Q3 = 0,1 − q2222Q1 + Q2 + Q3 =− g2,4κ q = 2κ(S 2 + S 2 + S 2 ) − 1.1Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîåêöèþ232Mh,kíà ïëîñêîñòüR2 (Q3 , q).Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.7.2) ñëåäóåò, ÷òîñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäàñ÷èòàåì, ÷òîQ1 = Q2 = Q3 = 0èg = 0.ÝòîÐàçáåðåìS1 = S2 = S3 = 0,îñîáàÿ òî÷êà ðàíãà0.à èçÄàëååq < −1.Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.7.2) ñëåäóåò, ÷òî÷àéq 6 −1.q = −1.Èç ïÿòîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.7.2) ñëåäóåò, ÷òî÷åòâåðòîãî, ÷òî(2.7.2)h > Q3 .Ðàçáåðåì ñëó-Q3 = h.Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.7.2) ñëåäóåò, ÷òîèç òðåòüåãî óðàâíåíèÿS3 Q3 = 0, S3 6= 0,ïîëó÷èëè òî÷êè ðàíãà0.èíà÷åÄàëåå ñ÷èòàåì, ÷òîS1 = S2 = 0.q = −1,ïîýòîìóÎòñþäà èh = Q3 = 0,Q3 < h.Èç âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî óðàâíåíèé ìîæíî âûðàçèòüQ1èQ2 .κκ αQ21 − Q22 = Q3 q − k + ( − α)Q23 ,αα2 Q2 + Q2 = 1 − q − g 2 − Q2 .1234κÏðèìåíèâ ñëåäñòâèå, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íåðàâåíñòâ íà87(2.7.3)Q3èq,äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþòQ1èQ2 ,óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå (2.7.3):αq 2α2 (κQ3 + ) > kκα +− α2 κg 2 ,24q1 (αQ3 − )2 6 − κg 2 − αk.24(2.7.4)Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû1 − 4κg 2,(2.7.5)k64ακ − 4κ 2 g 24α2 κg 2 − α2îòêóäà kκα >>, òî åñòü ïðàâàÿ ÷àñòü ïåðâîãî íåðà44âåíñòâà â ñèñòåìå (2.7.4) íåîòðèöàòåëüíà.Ïåðâîå íåðàâåíñòâî çàäàåò íà ïëîñêîñòè(Q3 , q)òî÷êè, íå íàõîäÿùèåñÿìåæäó ïàðîé ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõq=2αr−κQ3 ±2kκα +α− α2 κg 24!(2.7.6)Áóäåì äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàòü ýòè ïðÿìûå ¾ñïëîøíûìè¿ (îíè áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ íà ðèñóíêàõ ñïëîøíûìè ëèíèÿìè).Âòîðîå íåðàâåíñòâî çàäàåò íà ïëîñêîñòè(Q3 , q) òî÷êè ìåæäó ïàðîé ïàðàë-ëåëüíûõ ïðÿìûõrq = 2 αQ3 ±!1− κg 2 − αk .4(2.7.7)Áóäåì íàçûâàòü ýòè ïðÿìûå ¾ïóíêòèðíûìè¿, íà ðèñóíêàõ îíè áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè.Ñèñòåìà (2.7.4) çàäàåò íà ïëîñêîñòè(Q3 , q)äâå ïîëîñû, ãðàíèöà êàæäîéèç êîòîðûõ ñîñòîèò èç äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé è îòðåçêà, ïðè÷åì âíóòðåííèì òî÷êàì ñîîòâåòñòâóò4 òî÷êè (Q1 , Q2 ), óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå (2.7.3),ãðàíè÷íûì òî÷êàì (çà èñêëþ÷åíèåì óãëîâûõ) 882,à óãëîâûì òî÷êàì 1.Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2.7.3) íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû(Q3 , q) ëåæàëè âíå ¾ñïëîøíûõ¿ è âíóòðè ¾ïóíêòèðíûõ¿ïðÿìûõ.ÏóñòüQ3 6= 0.Òîãäà âûðàçèìS3èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ è ïîäñòàâèì âïÿòîå.

Характеристики

Список файлов диссертации