Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Ïîñêîëüêó â íàøåì ñëó÷àå ìàòðèöàG̃ áóäåò 3×3 ìàòðèöåé, òî óðàâíåíèåíà åå ñîáñòâåííûå ÷èñëà áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:λ3 − tr G̃λ2 + ∆λ + det G̃,ãäå∆ = ∆11 + ∆22 + ∆33 ñóììà ãëàâíûõ ìèíîðîâ ìàòðèöû50G̃.Ó íàñ îäíèì èç ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöûdet G̃ = 0,G̃ÿâëÿåòñÿ0,ñëåäîâàòåëüíî,à çíà÷èò, äëÿ îïðåäåëåíèÿ îñòàâøèõñÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ó íàñåñòü ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:λ2 − tr G̃λ + ∆ = 0Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíàêîâ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë äîñòàòî÷íîîïðåäåëèòü çíàêèäåêñ áóäåò ðàâåíèíäåêñ ðàâåí2;èíäåêñ ðàâåí0.tr G̃è∆.Åñëè∆ < 0,òî êîðíè áóäóò ðàçíûõ çíàêîâ è èí-1; åñëè ∆ > 0, tr G̃ < 0, òî îáà êîðíÿ áóäóò îòðèöàòåëüíûìè,åñëè∆ > 0, tr G̃ > 0,òî îáà êîðíÿ áóäóò ïîëîæèòåëüíûìè,1. Ðàññìîòðèì òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ íà ïàðàáîëåãäåS2 = S3 = Q1 = 0,S12 − Q22 − Q23 = g 2 .2àS1 , Q2 , Q3k = −αh2 − h.Ýòî òî÷êè,óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:Êàê ìû óæå âûÿñíèëè, ýòè êðèòè÷åñêèå òî÷êè îáðàçóþòêðèòè÷åñêèå ïðÿìûå.

Ìû èìååì ñëåäóþùóþ çàâèñèìîñòü ìåæäógrad H :grad K = −(2αh + 1)grad H = −(2αQ3 + 1)grad HÌàòðèöàh = Q3 ,G = GK + (2αQ3 + 1)GH áóäåò000 2α(2αQ3 + 1)00G=000000.51èìåòü ñëåäóþùèé âèä:0000000000 −2α 00000000 0 0 0 0 −2αgrad KèÍàì íóæíî íàéòè çíàêè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ýòîé ìàòðèöû, îãðàíè÷åííîéíà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü êQ3g,hâ êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ.Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ íà êðèòè÷åñêèå òî÷êè, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå:grad H = (0, 0, 0, 0, 0, 1),grad f1 = (0, Q2 , Q3 , S1 , 0, 0),grad f2 = (2S1 , 0, 0, 0, −2Q2 , −2Q3 ). êà÷åñòâå áàçèñà â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê êðèòè÷åñêèì òî÷êàì ìîæíîâçÿòü ñëåäóþùèå âåêòîðû:e1 = (0, Q3 , −Q2 , 0, 0, 0),e2 = (0, S1 , 0, −Q2 , 0, 0),e3 = (Q2 , 0, 0, 0, S1 , 0).Ìàòðèöà îãðàíè÷åíèÿ ôîðìûíîå âåêòîðàìèe1 , e2èe3 ,Gíà êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåí-èìååò ñëåäóþùèé âèä:0002Q23 (2αQ3+ 1)2S1 Q3 (2αQ3 + 1)G̃ = 2α 2S1 Q3 (2αQ3 + 1) −2Q22 + 2 (1 + 2αQ3 ) S1200Î÷åâèäíî, ÷òî 0 äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ åå ñîáñòâåííûì ÷èñëîì.tr G̃ = 2α −Q22 + (1 + 2αQ3 ) Q23 + S12 , ∆G̃ = −4α2 Q22 Q23 (1 + 2αQ3 ).ÅñëèÅñëè æå12αQ3 + 1 > 0, ò.å.

h > − 2α, òî ∆ < 0, ñëåäîâàòåëüíî, èíäåêñ ðàâåí 1.2αQ3 + 1 < 0,òîtr G̃ < 0è∆ > 0,2. Ðàññìîòðèì òåïåðü òî÷êè íà ëó÷åñëåäîâàòåëüíî, èíäåêñ ðàâåí 2.k = −h + αgñèìîñòü ãðàäèåíòîâ èìååò ñëåäóþùèé âèä:grad K = 2αgrad f2 − grad H522,4α2 g 2 − 1.h>4αÇàâè-G = GK + GH − 2αGf2−2α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2α 0 0 0G= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2α 00 0 0 0 0 0Ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìûáóäåò ñëåäóþùåé:.Êðèòè÷åñêèå òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:0.S1 = S3 = Q2 =Ãðàäèåíòû â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:grad H = (0, 2αS2 , 0, 0, 0, 1),grad f1 = (Q1 , 0, Q3 , 0, S2 , 0),grad f2 = (0, 2S2 , 0, −2Q1 , 0, −2Q3 ).Áàçèñ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî âûáðàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:e1 = (Q3 , 0, −Q1 , 0, 0, 0),e2 = (S2 , 0, 0, 0, −Q1 , 0),e3 = (0, 0, S2 , 0, −Q3 , 0).53Îãðàíè÷åíèåe2 , e3 ,Gíà êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå âåêòîðàìèe1 ,èìååò ñëåäóþùèé âèä:−Q21Q23−G̃ = 2α  −S2 Q3S 2 Q1−S2 Q3Q21−S22Q1 Q3S 2 Q1Q 1 Q 3 .22Q3 − S2Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ìàòðèöàG̃äåéñòâèòåëüíî âûðîæäåííàÿ, òî åñòü0.îäíèì èç åå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë áóäåòÍàéäåì ñóììó ãëàâíûõ ìèíîðîâ:∆=4α2 (Q21 −S22 )(Q23 −S22 )−Q21 Q23 −(Q21 +Q23 )(Q23 −S22 )−S22 Q21 −(Q21 +Q23 )(Q21 −S22 )−S22 Q23=4α2 (Q21 + Q23 + S22 )(S22 − Q21 − Q23 ) = 4α2 g 2 (Q21 + Q22 + S12 ) > 0.tr G̃ = −4αS22 < 0.Ýòî çíà÷èò, ÷òî èíäåêñ ðàâåí3.

Ðàññìîòðèì òî÷êè, ëåæàùèå íà îòðåçêåíèõgrad K = 0.2.k =14α ,Ýòè òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:11− 2α6 h 6 − 4α.Íà1Q1 = 0, Q3 = − 2α,S3 = 2αS2 Q2 .Ñ ó÷åòîì ýòîãî ãðàäèåíòû èìåþò ñëåäóþùèé âèä:grad H = (0, 2αS2 , 0, 0, 0, 1),1, S1 , S2 , 2αS2 Q2 ),2α1grad f2 = (2S1 , 2S2 , 4αS2 Q2 , 0, −2Q2 , ).αgrad f1 = (0, Q2 , −Ïîýòîìó â êà÷åñòâå áàçèñíûõ â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî âûáðàòüñëåäóþùèå âåêòîðû:e1 = (Q2 , 0, 0, −S2 , S1 , 0),e2 = (−4α2 S2 Q2 , 0, 2αS1 , 1, 0, 0),54e3 = (0, −S1 , 0, Q2 − 4α2 S22 Q2 , 0, 2αS1 S2 ).Ïîëó÷àåì, ÷òî ìàòðèöàG̃ = 2α G̃èìååò ñëåäóþùèé âèä:−S22S2 (Q2 − 4αS2−1S2−(Q2 − 4αS22 Q2 )S22 Q2 ).22S2 (Q2 − 4α2 S22 Q2 ) −(Q2 − 4α2 S22 Q2 ) −4α2 S12 S22 − (Q2 − 4α2 S22 Q2 )2Ó íåå tr G̃ = 2α −1 − 1 + 4α2 S12 S22 − Q22 1 − 4α2 S22 2 < 0,∆ = 16α4 S12 S22 1 + S22 > 0,ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíäåêñ ðàâåí2.Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùååÈíäåêñû êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èìåþò ñëåäóþùèé òèï:1êðèâîé k = −αh2 − h, h < −èìåþò èíäåêñ 2;2α1êðèâîé k = −αh2 − h, h > −èìåþò èíäåêñ 1;2α4α2 g 2 − 12êðèâîé k = −h + αg , h >èìåþò èíäåêñ 2;4α114α2 g 2 − 1êðèâîé k =,−<h<èìåþò èíäåêñ 2.4α2α4αÓòâåðæäåíèå 1.5.1.1.

Ïðîîáðàçû2. Ïðîîáðàçû3. Ïðîîáðàçû4. Ïðîîáðàçû1.6Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû âåêòîðíûõ ïîëåésgrad Hèsgrad Ksgrad Kâ êîîðäèíà-Ïðèâåäåì êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå ýòèõ ïîëåé äëÿ ñëó÷àÿe(3) (κ = 0):Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü âåêòîðíûå ïîëÿòàõsgrad Hè(S, Q).sgrad H = (2αS2 S3 − Q2 , Q1 , −2αS1 S2 , (2αQ3 + 1)S2 , −S1 , −2αS2 Q1 ),55sgrad K = (Q2 (2αQ3 +1), −Q1 , −2αQ1 Q2 , −(2αQ3 +1)S2 , −2α(S3 Q1 −S1 Q3 )+S1 , 2αS2 Q1Îïðåäåëåíèå 16.Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé, åñëè ïðî-îáðàç ëþáîãî êîìïàêòà ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû âåêòîðíîãî ïîëÿsgrad Híàì ïîíàäîáèòñÿñëåäóþùàÿËåììà 1.6.1.(ñì. ðàáîòó Ó.

Ãîðäîíà [30])Ïóñòü ξ íåïðåðûâíîå âåêòîð-íîå ïîëå íà ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè M . Òîãäà ξ ïîëíî, åñëè íà M ñóùåñòâóåòãëàäêàÿ ôóíêöèÿ E , ñîáñòâåííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f è êîíñòàíòû a,b, òàêèå ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ M âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. |ξ(E(x)| 6 a|E(x)|,2. |f (x)| 6 b|E(x)|.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòûsgrad Kíàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå êëàñ-ñè÷åñêîåÓòâåðæäåíèå 1.6.1.(ñì., íàïðèìåð, êíèãó À.

Ô. Ôèëèïïîâà [31]) Ïóñòüäàíà ñèñòåìà y 0 (x) = f (y, x), y ∈ Rn , x ∈ R. Åñëè f íåïðåðûâíà è ïðèâñåõ (x, y) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ |f (x, y)| 6 a(x)|y| + b(x), ãäå ôóíêöèèa è b íåïðåðûâíû, òî äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (x0 , y0 ) ñóùåñòâóåòãëîáàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè.Ñëåäñòâèå 1.6.1.Åñëè f íåïðåðûâíà è ëèíåéíà ïî y , òî âåêòîðíîå ïîëåf (y, x) ïîëíî.Âîçüìåìf = E = S12 + S22 + S32 + Q21 + Q22 + Q23 .ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé.56Î÷åâèäíî, ýòà ôóíêöèÿ∂f∂f∂f∂f+ (sgrad H)2+ (sgrad H)3+ (sgrad H)4+∂S1∂S2∂S3∂Q1∂f∂f+ (sgrad H)6| = |(2αS2 S3 − Q2 ) · 2S1 + Q1 · 2S2 −+ (sgrad H)5∂Q2∂Q3|sgrad H(f )| = |(sgrad H)1− 2αS1 S2 · 2S3 + (2αQ3 + 1)S2 · 2Q1 − S1 · 2Q2 − 2αS2 Q1 · 2Q3 | == |2(2αS1 S2 S3 − S1 Q2 + S2 Q1 − 2αS1 S2 S3 + 2αS2 Q1 Q3 + S2 Q1 − S1 Q2 −− 2αS2 Q1 Q3 )| = 4|S2 Q1 − S1 Q2 | 6 2(S12 + S22 + Q21 + Q22 ) 6 2(S12 + S22 ++ S32 + Q21 + Q22 + Q23 ) = 2f.Ñíà÷àëà ìû äîêàæåì, ÷òîS2 (t), Q1 (t), Q3 (t)ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìèôóíêöèÿìè âðåìåíè, îïðåäåëåííûìè äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè, à ïîòîìäëÿ îñòàâøèõñÿ ïåðåìåííûõÎáîçíà÷èì2αQ3 + 1S1 , S3 , Q2÷åðåçïðèìåíèì ñëåäñòâèå.Q̃3 , 2αh + 1÷åðåçh̃.˙ = 2αQ̇ = 4α2 S Q .˜Q32 13h = αS22 + Q3 , h̃ = 2αh + 1 = 2α2 S22 + Q̃3 . íîâûõ êîîðäèíàòàõ èìååì:sgrad K = (Q2 Q̃3 , −Q1 , −2αQ1 Q2 , −S2 Q̃3 , S1 Q̃3 − 2αS3 Q1 , 4α2 S2 Q1 )Ṡ2 = −Q1Q̇1 = −S2 Q̃3˙ = 4α2 S Q ˜Q2 13S̈2 = −Q̇1 = S2 Q̃3 = S2 (h̃ − 2α2 S22 ).S̈2 Ṡ2 = S2 (h̃ − 2α2 S22 )Ṡ2 ,57Zdd Ṡ22=S2 (h̃ − 2α2 S22 ) dS2 ,dt 2dts ZṠ2 = ± 2 S2 (h̃ − 2α2 S22 ) dS2 + C1 ,s(h̃ − 2α2 S22 )2Ṡ2 = ± −+ C,4αZdS2r= ±t + D,(h̃ − 2α2 S22 )2+C−4αÌû âèäèì, ÷òî â ÷èñëèòåëå ñòîèò êîðåíü èç ìíîãî÷ëåíà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè,èìåþùåãî ðàçëè÷íûå êîðíè ïðèh̃ 6= 0 è C 6= 0.

Êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð,êíèãó À. Ãóðâèöà è Ð. Êóðàíòà [32]), ðåøåíèå òàêîãî óðàâíåíèÿ âûðàæàåòñÿ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè. Îíî ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíèè ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì è ïåðèîäè÷åñêèì.Q3 (t) = h − αS22 (t),ïîýòîìóQ3òîæå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé,îïðåäåëåííîé äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè.Q1 (t) = −Ṡ2 (t),ÔóíêöèèS1 , S3çíà÷èò,èQ2Q1 íåïðåðûâíàÿ âñþäó îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ.óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó ëèíåéíîìó îáûêíîâåí-íîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ:Ṡ1 = Q̃3 Q2Ṡ3 = −2αQ1 Q2 Q̇ = Q̃ S − 2αQ S23 11 3Ïðàâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî t, ñëåäîâàòåëüíî,ñòâóþò ïðè ëþáîì ìîìåíòå âðåìåíè.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëåïîëíûì.58S1 , S3 è Q2 ñóùåsgrad K ÿâëÿåòñÿ1.7Òîïîëîãèÿ ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿHèKÏðè èçó÷åíèè òîïîëîãèè ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíàè äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëàKHìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ëèóâèëëÿ(ñì. Òåîðåìó 1). Îòìåòèì, ÷òî ïîëíîòà âåêòîðíûõ ïîëåésgrad Hèsgrad Kÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì óñëîâèåì â ýòîé òåîðåìå.  ñëó÷àå äâóõ ñòåïåíåé ñâîáîäû è ïîëíîòû óêàçàííûõ âåêòîðíûõ ïîëåé òåîðåìà Ëèóâèëëÿ óòâåðæäàåò,÷òî ñâÿçíûå ðåãóëÿðíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà äèôôåîìîðôíû äâóìåðíîìó òîðó, öèëèíäðó èëè ïëîñêîñòè.Òåîðåìà 6.Ïðè ðåãóëÿðíûõ, òî åñòü íå ïðèíàäëåæàùèõ áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììå äëÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, (h, k) ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ H è K èìååò ñëåäóþùèé òèï (ñì. Ðèñóíîê 1.10):1.

Ïóñòîå ìíîæåñòâî â êàìåðå 1;2. Äâà öèëèíäðà â êàìåðå 2 (ïîä ïàðàáîëîé);3. ×åòûðå öèëèíäðà â êàìåðàõ 3 è 4 (íàä ïàðàáîëîé, íî ïîä ëó÷îì k =−h);4. Äâà òîðà â êàìåðå 5 (íàä ëó÷îì k = −h, íî ïîä ëó÷îì k = −h + αg 2 ).Äîêàçàòåëüñòâî.Êàìåðà11. Ïîêàæåì, ÷òî êàìåðåîãðàíè÷åíà êðèâûìèk=1 ñîîòâåòñòâóåò ïóñòîå ìíîæåñòâî.12, k = −h + αg4αèk = −αh2 − h.1.4α11 1αk = −αQ3 − α2 (Q21 + Q23 ) 6 −αQ3 − α2 Q23 = −(αQ3 + )2 + 6 .24 42Äîêàæåì, ÷òî k 6 −h + αg .Äîêàæåì, ÷òîk6k + h − αg 2 = −Q3 − α(Q21 + Q23 ) + αS22 + Q3 − αg 2 = α(S22 − Q21 − Q23 − g 2 ) =α(Q22 − S12 − S32 ) = α (S3 R1 − S1 R3 )2 − S12 − S32 = α(S32 R12 − 2S1 S3 R1 R3 +59S12 R32 − S12 − S32 ) = −α (1 − R32 )S12 + 2S1 S3 R1 R3 + (1 − R12 )S32Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òîQ2 = S 2 R2 − gè.R2 = 1.(1 − R32 )S12 + 2S1 S3 R1 R3 + (1 − R12 )S32 íå ìåíüøå, ÷åìpp( 1 − R32 S1 ± 1 − R12 S3 )2 (íóæíî âûáðàòü çíàê, ïðîòèâîïîëîæíûé çíàêóÏîêàæåì, ÷òîS1 S3 )è, çíà÷èò, íåîòðèöàòåëüíî.Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòèS1 S3 > 0.Òîãäàqqq222( 1−R32 S1 − 1−R12 S3 ) = (1−R3 )S1 −2 (1−R12 )(1−R32 )S1 S3 +(1−R12 )S32 =q22= (1−R3 )S1 −2 1−R12 −R32 +R12 R32 S1 S3 +(1−R12 )S32 =q22= (1−R3 )S1 −2 R22 +R12 R32 S1 S3 + (1−R12 )S32 66 (1−R32 )S12 +2S1 S3 R1 R3 +(1−R12 )S32 ,òàê êàê−pR22 + R12 R32 6 −|R1 R3 | 6 R1 R3 .Åñëè æå(1 −S1 S3 < 0,R32 )S12òî+ 2S1 S3 R1 R3 + (1 −Ïîêàæåì, ÷òîk 6 −αh2 − hR12 )S32ïðèqq2> ( 1 − R3 S1 + 1 − R12 S3 )2 > 0.1h 6 − 2α.k = −Q3 − α(Q21 + Q23 ) 6 −Q3 − αQ23 6 −h − αh2 , òàê êàê Q3 = h − αS22 61,h 6 − 2αà ôóíêöèÿx − αx2âîçðàñòàåò ïðè1x 6 − 2α, α > 0.2.

Характеристики

Список файлов диссертации