Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27].Ìû èçó÷àåì ñèñòåìó íà4M1,g,ïîýòîìó íàäî äîáàâèòü åùå óñëîâèÿf2 = g .69f1 = 1,Óòâåðæäåíèå 2.2.2.Äëÿ ëþáîãî κ < 0 êðèòè÷åñêèå òî÷êè ãàìèëüòîíèà-4íà íà M1,gïåðå÷èñëåíû íèæå:1) ïðè âñåõ g ∈ R èìåþòñÿ 4 òî÷êè âèäà(0, 0, S3 , 0, 0, R3 ), ãäå κS32 + R32 = 1, S3 R3 = g ,ïðè ýòîì h = k = 0;2) ïðè âñåõ g ∈ R èìåþòñÿ 2 òî÷êè âèäà s1κg1α2 (1 − 4κg 2 )2(0, S2 , 0,− S2 , , 0), ãäå S2 =+2αS2 αS22κ4κ 2 (α2 + κ)pα − (κ + α2 )(1 − 4κg 2 )1 − 4κg 2ïðè ýòîì h =èk=.2κ4αÈçâåñòíî, ÷òî â íåêîìïàêòíîì ñëó÷àå ïîìèìî êðèòè÷åñêèõ áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé ìîãóò áûòü íåêðèòè÷åñêèå (ñì.

ïðèìåð â Ãëàâå 1). Íî â íàøåìñëó÷àå âûïîëíåíîÓòâåðæäåíèå 2.2.3.Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà ñëó÷àÿ Ñî-êîëîâà íà so(3, 1) (ïðè κ < 0) ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè êðèâûìè íà ïëîñêîñòè(g, h):1. h = 0, g ∈pR;α − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 ), g ∈ R,2. h =2κïðè÷åì ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè.Íà Ðèñóíêå 2.1 ïðåäñòàâëåíû áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà.70h0.2g-42-24-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Ðèñ. 2.1: Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà2.3Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèÒåïåðü èññëåäóåì òîïîëîãèþ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòèëè÷íûõ çíà÷åíèÿõgèh.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Dk2Q3g,hïðè ðàç-îòêðûòûé äâóìåðíûé äèñê ñkäûðêàìè.Èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Q3g,h äëÿ ãàìèëüòîíèàíà ñëópα − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )÷àÿ Ñîêîëîâà íà so(3, 1) (κ < 0), h 6= 0, h 6=,2κäèôôåîìîðôíà D32 × R.Òåîðåìà 7.Äîêàçàòåëüñòâî.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òîåì çíà÷åíèå âåêòîðàS = (S1 , S2 , S3 ) è ðàññìîòðèì S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 = g,κ = −1. Ôèêñèðó-îòíîñèòåëüíîRñèñòåìó:κ S2 R1 − S1 R2 = − S12 + αS22 − h.αÎíà çàäàåò ïðÿìóþl â ïðîñòðàíñòâå R3 (R), åñëè âåêòîðû (S1 , S2 , S3 ) è (S2 , −S1 , 0)ëèíåéíî íåçàâèñèìû. À îíè çàâèñèìû òîëüêî, åñëè÷àåh = 0.Íî çíà÷åíèåíèå 2.2.3).

Ïðÿìàÿlh=0S1 = S2 = 0 . ýòîì ñëó-âñåãäà ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì (ñì. Óòâåðæäå-ïåðåñåêàåò ñôåðóR2 = 1 − κS 271íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷-êàõ. Ìíîæåñòâî òî÷åêâåðõíîñòèÏðÿìàÿlQ3g,hS , äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ïåðåñå÷åíèå, åñòü îáðàç ïî-ïðè ïðîåêöèè(S, R) 7→ S .Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç3Pg,h⊂ R3 (S).ïåðåñåêàåò ñôåðó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà(ρ(0, l))2 6 1 − κS 2 ,ãäåρ(0, l) ðàññòîÿíèå îò ïðÿìîéläî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïðè÷åì ðàâåíñòâîñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñî ñôåðîé ïî îäíîé òî÷êå,à ñòðîãîå íåðàâåíñòâî ïî äâóì.Âû÷èñëÿÿρ(0, l),ïîëó÷àåì:2(ρ(0, l))2 =g+S2Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâîS 2 (αS22 −κ 2S1 − h)2α6 1 − κS 2 .22S1 + S2(αS22 −3Pg,hçàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîìκ 2S1 − h)2 + (κS 4 − S 2 + g 2 )(S12 + S22 ) 6 0.α(2.3.1)Îáîçíà÷èìv = αS22 − íîâûõ ïåðåìåííûõκ 2S − h,α 1u, v , zu = S12 + S22 ,z = S32 .íåðàâåíñòâî (2.3.1) ïðåäñòàâèòñÿ â âèäå:κuz 2 + (2κu2 − u + v 2 )z + u(v 2 + g 2 + κu2 − u) 6 0.Òåïåðü ïîäñòàâëÿåìκ = −1. Òîãäà êâàäðàòè÷íîå ïî z(2.3.2)íåðàâåíñòâî (2.3.2)ïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:uz 2 + (2u2 + u − v 2 )z + u(u2 + u − v 2 − g 2 ) > 0.Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäàðàâåíñòâàuíóëþ ñëåäóåò, ÷òîu = 0.S1 = S2 = 0,72Ïîñêîëüêó(2.3.3)u = S12 + S22 ,òî èçîòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü ñëåäóåò,÷òîh = 0.Íî, êàê ìû óæå çíàåì, çíà÷åíèåh = 0ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì(ñì.

Òåîðåìó 1). Ïðè ýòîì òàêæå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñàìà ïðÿìàÿâëèÿåò íà òîïîëîãèþQ3g,h ,òî åñòü ïðè ïðîõîäå íà ïëîñêîñòèh = 0R2 (g, h)íå÷åðåçα 1p 2h = 0, íå ïåðåñåêàÿ âåòâè ãèïåðáîëû h = − +(α − 1)(4g 2 + 1),2 23òîïîëîãè÷åñêèé òèï Qg,h íå ìåíÿåòñÿ. Òàêàÿ æå ñèòóàöèÿ íàáëþäàëàñü è íàïðÿìóþso(4) (ñì. ðàáîòó À. À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27]), è íà e(3)(ñì. Ãëàâó1). Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òîu > 0.Íàéäåì äèñêðèìèíàíòDóðàâíåíèÿuz 2 + (2u2 + u − v 2 )z + u(u2 + u − v 2 − g 2 ) = 0,(2.3.4)ñîîòâåòñòâóþùåãî òîìó ñëó÷àþ, êîãäà â íåðàâåíñòâå (2.3.3) ñòîèò ðàâåíñòâî:D = (2u2 + u − v 2 )2 − 4u2 (u2 + u − v 2 − g 2 ) = (v 2 − u)2 + 4u2 g 2 > 0.Ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèå(2.3.4) âñåãäà èìååò êîðíèz1 , z2 .Ïîñêîëüêóz > 0, òî íóæíî âû÷èñëèòü, êîãäà íåðàâåíñòâî (2.3.3) èìååò íåîòðèöàòåëüíûåðåøåíèÿ.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåíóëåâûõ êîðíåé çíàêè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ çíàêàìè ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ êîðíåé.Ðàçáèðàÿ âñå âàðèàíòû, ïîëó÷àåì, ÷òî îáðàçêîñòüS1 , S2ñîñòîèò èç âñåõ òî÷åêîáðàçîì ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êè(S1 , S2 ),3Pg,hïðè ïðîåêöèè íà ïëîñ-òàêèõ, ÷òî3(S1 , S2 ) ∈ π(Pg,h)(S1 , S2 ) 6= (0, 0).ïðè ïðîåêöèèÏðî-π: P3 →R2 (S1 , S2 ) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ èëè æå äîïîëíåíèå ê èíòåðâàëópp(− z+ (S1 , S2 ), z+ (S1 , S2 )) â çàâèñèìîñòè îò çíàêà u2 +u−v 2 −g 2 (åñëè çíàê +, òî ïðÿìàÿ, åñëè −, òî äîïîëíåíèå ê èíòåðâàëó), ãäååäèíñòâåííûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (2.3.4) (ïðè0).73z+ (S1 , S2 )u2 +u−v 2 −g 2 <Íàì îñòàëîñü îïðåäåëèòü ïðè ðàçëè÷íûõ ðåãóëÿðíûõR2 (S1 , S2 ),íà ïëîñêîñòèïåðåìåííûõSçàäàâàåìîé íåðàâåíñòâîì(g, h)âèä îáëàñòèu2 + u − v 2 − g 2 < 0.Âîíî ïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:1(S12 + S22 )2 + S12 + S22 − ( S12 + αS22 − h)2 − g 2 6 0.αÏåðåïèñûâàÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîéS1 , ïîëó÷à-åì íåðàâåíñòâî: 4α2 − 1 42h22S+1+S+1−αS2 + (1 + 2αh)S22 − g 2 − h2 6 0,112ααêîòîðîå ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó:224g + 1α + 2h 1 + 2αhS22 +++6 S12 ,−α2222(1−α )4(α −1) 2(α −1)s221 + 2αh4g + 1α + 2h .S12 6 α S22 ++−2(1−α2 )4(α2 −1) 2(α2 −1)s(2.3.5)(2.3.6)Çàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü âñåãäà ìåíüøå íóëÿ.

Ïðàâàÿ ÷àñòü áóäåò áîëüøåα 1p 2S2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà h < − +(α − 1)(4g 2 + 1).2 2α 1p 2Åñëè h > − +(α − 1)(4g 2 + 1), òî ïðàâàÿ ÷àñòü áóäåò ïîëîæèòåëüíà ïðè2 2α 1p 2|S2 | > const, const çàâèñèò îò g è h.  ñëó÷àå h = − +(α − 1)(4g 2 + 1)2 23ïðàâàÿ ÷àñòü áóäåò áîëüøå íóëÿ ïðè S2 6= 0 è ðàâíà íóëþ ïðè S2 = 0. Pg,híóëÿ ïðè âñåõáóäåò èìåòü ñëåäóþùèé òèï:α 1p 2h 6= 0 è h < − +(α − 1)(4g 2 + 1) èìååì ïðîñòðàíñòâî R3 (S) ñ2 2âûðåçàííûìè èç íåãî ¾îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì¿ è ïðÿìîé S1 = S2 =1) ïðè0,ïðèh=02) ïðèýòà ïðÿìàÿ ¾âêëåèâàåòñÿ¿;α 1p 2h 6= 0 è h > − +(α − 1)(4g 2 + 1) èìååì ïðîñòðàíñòâî R3 (S) ñ2 274âûðåçàííûìè èç íåãî ¾äâóïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì¿ è ïðÿìîéïðèh=0S1 = S2 = 0,ýòà ïðÿìàÿ ¾âêëåèâàåòñÿ¿.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè íåîáõîäèìî ñêëåèòü äâàýêçåìïëÿðà ìíîãîîáðàçèé3Pg,h,îïèñàííûõ âûøå, ïî èõ ãðàíèöå.

Òåîðåìà äî-êàçàíà.2.4Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòàÐàññìîòðèì òåïåðü îòîáðàæåíèå ìîìåíòà äëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàH × K : { (S, R) | f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g } → R2 (h, k),so(3, 1)çàäàííîå ôîðìóëîé(H × K)(S, R) = (H(S, R), K(S, R)). Òî÷êà (S, R) áóäåò êðèòè÷åñêîé òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäàsgrad Hïåðåéòè îò ïåðåìåííûõSèèsgrad Káóäóò ëèíåéíî çàâèñèìûìè. ÓäîáíîR ê ïåðåìåííûì SèQ. Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòîñäåëàíî â ðàáîòå À. À.

Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîïðèS 6= 0ýòî áóäåò äèôôåîìîðôèçì4M1,gíà ñâîé îáðàç. Ïîýòîìó áèôóð-êàöèîííóþ äèàãðàììó ìîæíî èñêàòü â ïåðåìåííûõ(S, Q).Ïðè ýòîì ñêîáêàïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:{Si , Sj } = ijk Sk , {Si , Qj } = ijk Qk ,{Qi , Qj } = qijk Sk ,ãäåq = κS 2 −R2 = 2κS 2 − 1.Ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ïîëåçíîå òîæäåñòâî:1 − q2Q =S R −g =− g2, κ =6 0.4κ2Òåîðåìà 8.2224Ðàññìîòðèì M1,g, g ∈ R.

Òîãäàïðè κ < 0 êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ñîñòîÿò èçñëåäóþùèõ êóñêîâ:75p(α2 + κ)(1 − 4κg 2 )1) êóñêà ïàðàáîëû k = κα h2 − h + αg 2 , h >,2κïðè ýòîì â ïðîîáðàçå ïîëó÷àþòñÿ 2 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè (0, S2 , 0, Q1 , 0, Q3 ).κg 222) ïàðàáîëû k = −αh − h −, h ∈ R,αïðè ýòîì â ïðîîáðàçå 2 êðèòè÷åñêèå ïðÿìûåp (S1 , 0, 0, 0, Q2 , Q3 ).2α − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )11 − 4κg,−6h6,3) îòðåçêà k =4α2α2κqïðè ýòîì â ïðîîáðàçå áóäóò 2 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè (S1 , S2 , S3 , 0, Q2 , ).2α4) èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè h = k = 0.α−Äîêàçàòåëüñòâî.Îáîçíà÷èìÂûïèøåì êîîðäèíàòû2αQ3 − qsgrad Hè÷åðåçκA, q + 2 Q3α÷åðåçB.sgrad K :{S1 , H} = 2αS2 S3 − Q2 ,2κS1 S3 + Q1 ,ακ{S3 , H} = −2( + α)S1 S2 ,α{S2 , H} ={Q1 , H} = S2 A,{Q2 , H} = S1 B,κ{Q3 , H} = −2( S1 Q2 + αS2 Q1 ),α{S1 , K} = Q2 A,{S2 , K} = Q1 B,{S3 , K} = −2(κ+ α)Q1 Q2 ,ακ{Q1 , K} = [2 (S2 Q3 − S3 Q2 ) + qS2 ]A,α{Q2 , K} = [2α(S3 Q1 − S1 Q3 ) + qS1 ]B,{Q3 , K} = 4κQ3 (S1 Q2 − S2 Q1 ) − 2q(αS2 Q1 +76κS1 Q2 ).αÑíà÷àëà ìû ïåðå÷èñëèì ñëó÷àè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèïðèκ < 0,sgrad Hèsgrad Kêîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå êóñêè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîá-ðàæåíèÿ ìîìåíòà ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè êðèâûõ ïîðÿäêà íå âûøå 2, ïðè÷åì òî,÷òî â ýòèõ ñëó÷àÿõ êîñûå ãðàäèåíòû ëèíåéíî çàâèñèìû, áóäåò ïðîâåðåíîíåïîñðåäñòâåííî.

Çàòåì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî âñå âîçìîæíîñòè, êîãäà êîñûåãðàäèåíòû ëèíåéíî çàâèñèìû, ñâîäÿòñÿ ê ýòèì èëè æå ïðèâîäÿò ê òî÷êåS1 = S3 = 0.1)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîQ2 = S3 R1 − S1 R3 = 0.(0, 0).Ïðè ýòîììàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç êîñûõ ãðàäèåíòîâ, ïðèîáðåòàåò ñëåäóþùèé âèä:Î÷åâèäíî, ÷òî0Q10S2 A0−2αS2 Q10 Q1 B 0 S2 AB 0 −2αS2 Q1 Bsgrad Hè.sgrad K â ýòîì ñëó÷àå ëèíåéíî çàâèñèìû, òàê êàêîíè ïðîñòî ïðîïîðöèîíàëüíû ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ðàâíûìB.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî çàâèñèìîñòühèkíà äàííîì êóñêå áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:k=κ 2h − h + αg 2 .α(2.4.1)Íàéäåì òåïåðü êðèòè÷åñêèå òî÷êè è îáëàñòü èçìåíåíèÿh.Ðàññìîòðèìñëåäóþùóþ ñèñòåìó, çàäàþùóþ êðèòè÷åñêèå òî÷êè:S2 R2 = g,αS22 − S2 R1 = h,(2.4.2) κS 2 + R2 + R2 + R2 = 1.2123Îíà èìååò ðåøåíèå ïðè ôèêñèðîâàííîìêîãäà77S2â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,g 2 (h − αS22 )2+6 1 − κS22 .22S2S2(2.4.3) ñëó÷àå ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà èìååì 2 òî÷êè è 1 òî÷êó â ïðîîáðàçå ïðèïðîåêöèè êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íà (2.4.3) â ñëó÷àå ðàâåíñòâà.Îáîçíà÷èìS22÷åðåçy.Òîãäà íåðàâåíñòâî (2.4.3) ïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:(α2 + κ)y 2 − (2αh + 1)y + g 2 + h2 6 0.(2.4.4)Íåðàâåíñòâî (2.4.4) èìååò íåîòðèöàòåëüíûå ðåøåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà D = (2αh + 1)2 − 4(α2 + κ)(g 2 + h2 ) > 0,Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òîα2 + κ > 0.Èç ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (2.4.5) ñëåäóåò, ÷òî îáëàñòü èçìåíåíèÿèìååò âèä:(2.4.5)2αh + 1 > 0.h ïðè κ < 0p(α2 + κ)(1 − 4κg 2 )h>,2κpα + (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )(2.4.6),h62κh > − 1 .2αpα + (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )12< −ïðè α + κ > 0, ïîýòîìó ñèñòåÍî2κ2α pα − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 )ìà (2.4.6) ðàâíîñèëüíà íåðàâåíñòâó h >.

Характеристики

Список файлов диссертации