Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Ïîëó÷èì:q+1,2κ(S1 Q1 + S2 Q2 )2q+122S1 + S2 +=,Q232κS12 + S22 + S32 =(Q21+Q23 )S12Òàêèì îáðàçîì, ïðè+ 2Q1 Q2 S1 S2 +Q3 6= 0(Q22+Q23 )S22Q23 (q + 1)=.2κñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé,ñîñòàâëåííîé èç ïåðâîãî, òðåòüåãî è ïÿòîãî óðàâíåíèé ñèñòåìû (2.7.2), ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ ðåøåíèé ó ñëåäóþùåé ñèñòåìû:κ − S12 + αS22 = h − Q3 ,α2 (Q2 + Q2 )S 2 + 2Q1 Q2 S1 S2 + (Q2 + Q2 )S 2 = Q3 (q + 1) .13 123 22κÏðèìåíÿåì Óòâåðæäåíèå 2.7.1. Çäåñü(2.7.8)a = Q21 + Q23 , b = 2Q1 Q2 , c = Q22 + Q23 ,Q23 (q + 1)κd=, p = − , q = α, r = h − Q3 .2κα2b −4ac =ad > 0,4Q21 Q22 −4(Q21 +Q23 )(Q22 +Q23 )=−4Q23 (Q21 +Q22 +Q23 )=1−4Q23 (− q2 2−g ) < 0,4κïîýòîìó óñëîâèÿ Óòâåðæäåíèÿ 2.7.1 âûïîëíåíû.aq + cp = (Q21 + Q23 )α + (Q22 + Q23 )−κκκ= αQ21 − Q22 + (α − )Q23 = Q3 q − k.ααα89Ïîýòîìó− q2Q23 (q + 1)2r(b − 4ac) + 2d(aq + cp) = (Q3 −−g )+(Q3 q − k) =4κκQ23=(Q3 − h)(1 − q 2 − 4κg 2 ) + (q + 1)(Q3 q − k) .κ1h)4Q23 (2(2.7.9)aq − cp = (Q21 + Q23 )α − (Q22 + Q23 )−κκκ= αQ21 + Q22 + (α + )Q23 .αααÑëåäîâàòåëüíî,κ2 4κ 2 4Q+(α+) Q3 + 2κQ21 Q22 + 2(α2 + κ)Q21 Q23 +22αα22α κ+κ 2 2+2Q2 Q3 − 4κQ21 Q22 =2ακκ2 42 4= α Q1 + 2 Q2 + (α + )2 Q43 − 2κQ21 Q22 +αα2ακ+ κ2 2 222 2Q2 Q3 .+ 2(α + κ)Q1 Q3 + 2α2(aq − cp)2 + b2 pq = α2 Q41 +κ 2 2κ 2(Q3 q − k) = αQ1 − Q2 + (α − )Q3 =αα2κκ= α2 Q41 + 2 Q42 + (α − )2 Q43 − 2κQ21 Q22 + 2(α2 − κ)Q21 Q23 +αα22κ2 4κ 2 4−α κ + κ 2 22 4QQ=αQ+Q+(α+) Q3 − 2κQ21 Q22 ++2231222ααα22α κ+κ 2 2Q2 Q3 − 4κQ43 − 4κQ21 Q23 − 4κQ22 Q23 =+ 2(α2 + κ)Q21 Q23 + 22α2= (aq − cp)2 + b2 pq − 4κQ23 (Q21 + Q22 + Q23 ) == (aq − cp)2 + b2 pq − 4κQ23 (1 − q2− g 2 ).4κÎòñþäà(ap − cq)2 + b2 pq = (Q3 q − k)2 + Q23 (1 − q 2 − 4κg 2 ).90Íåðàâåíñòâî (2.7.1) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:2Q2322(Q−h)(1−q−4κg)+(q+1)(Qq−k)633κ2Q436 2 (q + 1)2 (Q3 q − k)2 + Q23 (1 − q 2 − 4κg 2 ) ,κèëè(Q3 − h)2 (1 − q 2 − 4κg 2 )2 + 2(Q3 − h)(1 − q 2 − 4κg 2 )(q + 1)(Q3 q − k)++ (q + 1)2 (Q3 q − k)2 6 (q + 1)2 (Q3 q − k)2 + (q + 1)2 Q23 (1 − q 2 − 4κg 2 ).Óíè÷òîæèâ îäèíàêîâîå ñëàãàåìîåà òàêæå ñîêðàòèâ íà(q + 1)2 (Q3 q − k)2â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ,(1 − q 2 − 4κg 2 ) = 4κ(Q21 + Q22 + Q23 ) < 0è ïåðåíåñÿ âñåâ ïðàâóþ ÷àñòü, ïîëó÷àåì:(Q3 − h)2 (1 − q 2 − 4κg 2 ) + 2(Q3 − h)(q + 1)(Q3 q − k) − (q + 1)2 Q23 > 0.Îáîçíà÷èìh − Q3÷åðåç(2.7.10)x, q + 1 ÷åðåç y .

Òîãäà q = y − 1, 1 − q 2 = −y 2 + 2y ,íåðàâåíñòâî (2.7.10) ïåðåïèøåòñÿ â íîâûõ ïåðåìåííûõ òàê:x2 (−y 2 + 2y − 4κg 2 ) + 2xy(Q3 (y − 1) − k) − y 2 Q23 > 0.Ñãðóïïèðóåì (2.7.11) ïî ñòåïåíÿìy:(2xQ3 − Q23 − x2 )y 2 − 2x(x − k − Q3 )y − 4κg 2 x2 > 0.Çàìåòèì, ÷òî(2.7.11)(2.7.12)2xQ3 − Q23 − x2 = 2(h − Q3 )Q3 − Q23 − (h − Q3 )2 = −h2 ,x − k − Q3 = −h − k .Íåðàâåíñòâî (2.7.12) ïîýòîìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:h2 y 2 − 2(h − Q3 )(h + k)y + 4κg 2 (h − Q3 )2 6 0,îòêóäà91p222(h−Q3 ) h+k− (h+k) −4κg hp222(h−Q3 ) h+k+ (h+k) −4κg h6y6h2.h2(2.7.13)Íîy = q + 1 < 0, à ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâ (2.7.13) íåîòðèöàòåëüíà, ïîýòîìóîêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ñèñòåìó(h − Q3 ) h + k −p(h +k)2−4κg 2 h26 y < 0.h2Èòàê, ìíîæåñòâî òî÷åê íà ïëîñêîñòè(Q3 , q),ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà (2.7.8)èìååò ðåøåíèå, èìååò âèä óãëà (ñ âíóòðåííîñòüþ) ìåæäó ëó÷àìèQ3 6 hq = −1,è−(h + k) +p(h +q+1=k)2−4κg 2 h2(h, −1).(Q3 − h), Q3 6 h,h2ïåðåñåêàþùèìèñÿ â òî÷êå(2.7.14)Ïîñëåäíèé ëó÷ íàçîâåì ¾òî÷å÷íûì¿, îíáóäåò îáîçíà÷àòüñÿ íà ðèñóíêàõ òî÷å÷íûìè ëèíèÿìè.

Ïðè ýòîì âíóòðåííèìòî÷êàì óãëà ñîîòâåòñòâóþò¾òî÷å÷íîìó¿ ëó÷ó 24 òî÷êè (S1 , S2 ), óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå (2.7.8),òî÷êè.påñëè k 6 0;−h − k + (h + k)2 − 4κg 2 h2 ∞,Çàìåòèì, ÷òî lim=.2h→0h2− 2κg , åñëè k > 0.kÏîýòîìó ïðè h = 0 è k 6 0 ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ ñòàíåò âåðòèêàëüíûì ëó÷îìq 6 −1, Q3 = 0,2κg 2q+1=−Q3 .kà ïðèh = 0, k > 0,¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ áóäåò èìåòü âèäÏîñìîòðèì, êîãäà ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ íèæíåé ¾ïóíêòèðíîé¿ è íèæíåé ¾ñïëîøíîé¿ ïðÿìîé. Îáîçíà÷èì òî÷êó èõ ïåðåñå÷åíèÿ(Q?3 , q ? ).

Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèå ¾òî÷å÷íîé¿ ïðÿìîé äîëæíî ñîâïàäàòü92ñ óðàâíåíèåì ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè(h, −1)è(Q?3 , q ? ).Óðàâíåíèåýòîé ïðÿìîé:q+1Q3 − h=,?−1 − qh − Q?3èëèq? + 1q+1=−(Q3 − h).h − Q?3Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðèQ3 − h(2.7.15)â (2.7.14) è (2.7.15), ïîëó÷àåì ñëå-äóþùåå óðàâíåíèå:−h − k +p(h + k)2 − 4κg 2 h2q? + 1=−,h2h − Q?3îòêóäà(h −Q?3 )(−h−k+p(h + k)2 − 4κg 2 h2 ) = −h2 (q ? + 1).Ïîñëå ïåðåíîñà ñëàãàåìîãî ñ êîðíåì â ëåâóþ ÷àñòü, à îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõâ ïðàâóþ è âîçâåäåíèÿ îáåèõ ÷àñòåé â êâàäðàò ïîëó÷àåì:(h−Q?3 )2 (h + k)2 − 4κg 2 h2 ) = (h−Q?3 )2 (h+k)2 −2(h−Q?3 )(h+k)h2 (1+q ? )+h4 (1+q ? )2 ,îòêóäà−4κ(h − Q?3 )2 g 2 h2 = −2(h − Q?3 )(h + k)h2 (1 + q ? ) + h4 (1 + q ? )2 .Ïóñòüh 6= 0.Ñîêðàòèì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íàh2 :− 4κ(h − Q?3 )2 g 2 = −2(h − Q?3 )(h + k)(1 + q ? ) + h2 (1 + q ? )2 .Îáîçíà÷èìh − Q?3÷åðåçx? ,óðàâíåíèå (2.7.16) ïåðåïèøåòñÿ òàê:−4κ(x? )2 g 2 = −2x? (x? + Q?3 + k)(1 + q ? ) + (x? + Q?3 )2 (1 + q ? )2 ,93(2.7.16)èëè4κg 2 − 2(1 + q ? ) + (1 + q ? )2 (x? )2 −2x? (1+q ? ) (Q?3 + k − Q3 (1 + q ? ))+Q23 (1+q ? )2 = 0.Ñãðóïïèðóåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïî ñòåïåíÿìx? :(4κg 2 − 2q ? + (q ? )2 )(x? )2 − 2x? (1 + q ? )(k − Q3 q ? ) + (Q?3 )2 (1 + q ? )2 = 0.Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ïðèåäèíñòâåííîå ðåøåíèåQ3 = Q?3Q1 = Q2 = 0.1 − (q ? )2− g 2 − (Q?3 )2 = 0,4κQ?3 6= 0èq?Ïîýòîìóñèñòåìà (2.7.3) èìååòk − Q?3 q ? = (κ− α)(Q?3 )2αèκ− α)(Q?3 )2 + (Q?3 )2 (1 + q ? )2 = 0.αïî ïðåäïîëîæåíèþ, òî ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:− 4κ(x? )2 − 2x? (1 + q ? )(Q?3q = q?îòêóäà−4κ(Q?3 )2 (x? )2 − 2x? (1 + q ? )(Òàê êàêèκ− α) + (1 + q ? )2 = 0.α(2.7.17)íàõîäÿòñÿ èç ñëåäóþùåé ñèñòåìû:!r1??q=2αQ−− κg 2 − αk ,34!r2α2?? q = α −κQ3 − kκα + 4 − α2 κg 2 .Ðàññìîòðèì äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ (2.7.17), êîòîðûé îáîçíà÷èì(2.7.18)D:κκD= (1 + q ? )2 ( − α)2 + 4κ(1 + q ? )2 = (1 + q ? )2 ( + α)2 .4αα(1 + q ? )( κα − α) + (1 + q ? )( κα + α)1 + q???x1 = h1 − Q3 ==, îòêóäà h1 =−4κ−2α11 q111 q1??2−− Q3 +− κg − αk + Q3 = −+− κg 2 − αk .442αα2α α2Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà (h1 , k) ëåæèò íà ïðàâîé âåòâè ïàðàáîëû k = −αh −h − κα g 2 .94(1 + q ? )( κα − α) − (1 + q ? )( κα + α)(1 + q ? )α= h2 −==, îòêóäà−4κ2κqqα11α22h2 =− Q?3 −kκα + α4 − α2 κg 2 + Q?3 =−kκα + α4 − α2 κg 2 .2κκ2κ κκ 22Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà (h2 , k) ëåæèò íà êóñêå ïàðàáîëû k = h − h + αg .αx?2Q?3Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ è íèæíèå ¾ïóíêòèðíàÿ¿ è ¾ñïëîøíàÿ¿ ïðÿìûå ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâhèk,ëåæàùèõ íà êóñêàõ ïàðàáîë, ñîñòàâëÿþùèõ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû.Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ èìååò áîëüøèé óãîëíàêëîíà, ÷åì ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êèïàðàìåòðîâhèk,(h, −1)è(Q?3 , q ? ),ïðè çíà÷åíèÿõëåæàùèõ â îáëàñòè ïîä êóñêàìè ïàðàáîë íà áèôóðêàöè-îííîé äèàãðàììå, è áîëüøèé óãîë íàêëîíà ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâhèkâíå äàííîé îáëàñòè.Ïîñìîòðèì, êàê ðàñïîëîæåíû ¾ñïëîøíûå¿ è ¾ïóíêòèðíûå¿ ïðÿìûå, à òàêæå ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà.Âî-ïåðâûõ, îíè âñå èìåþò íåîòðèöàòåëüíûå êîýôôèöèåíòû íàêëîíà, òàêp−h − k + (h + k)2 − 4κg 2 h2−2κêàê 2α > 0,> 0,> 0.αh2p−h − k + (h + k)2 − 4κg 2 h2< 2α òîãäà è òîëüêî òîãäà,Çàìåòèì, ÷òîh2κ 22êîãäà k > −αh − h − g .

Ïîýòîìó ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ èìååò ìåíüøèé óãîëαíàêëîíà ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâhèkè áîëüøèé óãîë íàêëîíà ïðè çíà÷åíèÿõíàä ïàðàáîëîéhèkk = −αh2 − h − κα g 2ïîä äàííîé ïàðàáîëîé, ÷åì¾ïóíêòèðíûå¿ ïðÿìûå.p−h − k + (h + k)2 − 4κg 2 h2−2κÇàìåòèì, ÷òî<òîãäà è òîëüêî òî2hακ 22ãäà, êîãäà k >α h − h − αg . Ïîýòîìó ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ èìååò ìåíüøèéóãîë íàêëîíà ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ95hèk,ëåæàùèõ íàä ïàðàáîëîéÐèñ. 2.3: Ñëó÷àé 2k = −αh2 − h =hèkκ 2α g , è áîëüøèé óãîë íàêëîíà ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâïîä äàííîé ïàðàáîëîé, ÷åì ¾ñïëîøíûå¿ ïðÿìûå. çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñëó÷àè:1. Ïðèýòîìó1 − 4κg 2k>4α2Mh,kñèñòåìà (2.7.3) íå èìååò ðåøåíèé â ñèëó (2.7.5), ïî-ïóñòî.1 − 4κg 22. Ïðè k =äâå ïàðàëëåëüíûå ¾ïóíêòèðíûå¿ ïðÿìûå4α!r1q = 2 αQ3 ±− κg 2 − αk ñëèâàþòñÿ â îäíó ïðÿìóþ q = 2αQ3 .

Ïðè4#"p1 α − (α2 + κ)(1 − 4κg 2 );¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ýòîì ïðè h íå èç îòðåçêà −2α2κïåðåñåêàåò ¾ïóíêòèðíóþ¿ ïðÿìóþ ìåæäó ¾ñïëîøíûìè¿ ïðÿìûìè, à âíóòðèîòðåçêà íèæå ¾ñïëîøíûõ¿ ïðÿìûõ (ñì. Ðèñ. 2.3). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîïåðâîì ñëó÷àå ïóñòî, à âî âòîðîì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé22Mh,kâêðèòè÷åñêèõ îêðóæ-íîñòè.κg 213. Ïðè k > −αh − h −è h < −α2α2Ðèñ. 2.4), ïîýòîìó Mh,k ïóñòî.296óãîë è ïîëîñà íå ïåðåñåêàþòñÿ (ñì.Ðèñ. 2.4: Ñëó÷àé 3Ðèñ. 2.5: Ñëó÷àé 44. Ïðèk = −αh2 − h −κg 2αèh<−12αóãîë è ïîëîñà èìåþò îáùóþ ñòîðîíó(ñì. Ðèñ.

2.7).  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì ëó÷, íàä âíóòðåííåé òî÷êîé ëó÷àíàõîäÿòñÿ2.4òî÷êè ïðè ïðîåêöèèÒàêèì îáðàçîì,5. Ïðè2Mh,kíà ïëîñêîñòü(Q3 , q),à íàä âåðøèíîéñîñòîèò èõ äâóõ êðèòè÷åñêèõ ïðÿìûõ.κg 2k < −αh − h −α22Mh,kè(h, k) 6= (0, 0)êàê ïîêàçàíî íà Ðèñ. 2.6, ïðîåêöèåé2Mh,kóãîë è ïîëîñà ïåðåñåêàþòñÿ òàê,íà ïëîñêîñòüR2 (Q3 , q)ÿâëÿåòñÿçàêðàøåííîå ìíîæåñòâî. Ïðè ýòîì íàä âíóòðåííèìè òî÷êàìè íàõîäèòñÿ9716Ðèñ.

2.6: Ñëó÷àé 5òî÷åê, íàä ñòîðîíàìè 8,íàä âåðøèíàìè ýòîì ñëó÷àå, íåîáõîäèìî ñêëåèòü4.×òîáû ïîëó÷èòü òèï2Mh,kâ16 ýêçåìïëÿðîâ çàêðàøåííîãî ìíîæåñòâà ïîñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì. Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èòñÿ2S42 .6. Ïðèk = −αh2 − h −κg 2αèh>−12α¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ ñîâïàäàåò ñ íèæíåé¾ïóíêòèðíîé¿ ïðÿìîé, êàê ïîêàçàíî íà Ðèñ. 2.7. Çàêðàøåíî ìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ îáðàçîì ïðîåêöèèòî÷êàìè íàõîäÿòñÿãî¿ îòðåçêà 4,162Mh,kíà ïëîñêîñòüR2 (Q3 , q).Íàä âíóòðåííèìèòî÷åê, íàä âíóòðåííèìè òî÷êàìè âåðõíåãî ¾ñïëîøíî-íàä âíóòðåííèìè òî÷êàìè âåðõíåãî ¾ïóíêòèðíîãî¿ ëó÷à 4òî÷êè, íàä âíóòðåííèìè òî÷êàìè íèæíåãî ëó÷à 2, íàä óãëîâûìè òî÷êàìè 22Mh,kÿâëÿåòñÿ îñîáîé ïîâåðõíî-(íà âåðõíåé) è1(íà íèæíåé).

 ýòîì ñëó÷àåñòüþ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå ïàðû öèëèíäðîâ, ñêëååííûõ ïî îáðàçóþùåé(îäíà ïàðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ¾âîñüìåðêó¿, óìíîæåííóþ íà ïðÿìóþ).7. Ïðèκg 2k > −αh − h −α2èk <98κ 2h − h + αg 2αìíîæåñòâî ïðîåêöèèÐèñ. 2.7: Ñëó÷àé 6Ðèñ. 2.8: Ñëó÷àé 7ïðåäñòàâëÿåì ñîáîé ÷åòûðåõóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà Ðèñ. 2.8. Íàä âíóòðåííèìè òî÷êàìè íàõîäÿòñÿÑêëåèâ16ïîëó÷àåì8. Ïðè16 òî÷åê, íàä ñòîðîíàìè 8, íàä âåðøèíàìè 4.çàêðàøåííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì,2T 2 .k =κ 2h − h + αg 2αòî÷êà(h, −1)íàõîäèòñÿ íà íèæíåé ¾ñïëîøíîé¿ïðÿìîé ñïðàâà îò ¾ïóíêòèðíûõ¿ ïðÿìûõ, à óãîë íàêëîíà ¾òî÷å÷íîãî¿ ëó÷àè ¾ñïëîøíûõ¿ ïðÿìûõ ñîâïàäàåò, òî åñòü ¾òî÷å÷íûé¿ ëó÷ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì íèæíåé ¾ñïëîøíûé¿ ïðÿìîé.

Характеристики

Список файлов диссертации