Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня (1105048), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ìû èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó, çàäàþùóþ2Mh,k:h = αS22 + Q3 , k = −Q3 − α(Q21 + Q23 ),S1 Q1 + S2 Q2 + S3 Q3 = 0, Q2 + Q2 + Q2 = S 2 + S 2 + S 2 − g 2 .123123Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ èìååì:60(1.7.1)0 6 αQ21 = −(Q3 + αQ23 + k),(1.7.2)αQ23 + Q3 + k 6 0(1.7.3)îòêóäàÅñëè â ôîðìóëå (1.7.3) ñòðîãîå íåðàâåíñòâî, òî ïîëó÷àåì äâà çíà÷åíèÿ äëÿQ1 ,îòëè÷àþùèõñÿ çíàêîì, åñëè æå â ôîðìóëå (1.7.3) ðàâåíñòâî, òîÂûðàçèâQ3Q1 = 0.èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.7.2) è ïîäñòàâèâ â íåðàâåí-ñòâî (1.7.3), ïîëó÷àåì:(h − αS22 ) + α(h − αS22 )2 + k 6 0,(1.7.4)h − αS22 + αh2 − 2α2 hS22 + α3 S24 + k 6 0.(1.7.5)èëèÎáîçíà÷èìS22÷åðåçx.Òîãäà íåðàâåíñòâî (1.7.5) ïåðåïèøåòñÿ òàê:α3 x2 − α(2αh + 1)x + k + αh2 + h 6 0.(1.7.6)Äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿα3 x2 − α(2αh + 1)x + k + αh2 + h = 0,ñîîòâåòñòâóþùåãî íåðàâåíñòâó (1.7.6), ðàâíûéÅñëèα2 (1 − 4αk),(1.7.7)íåîòðèöàòåëåí.k + αh2 + h < 0, òî êîðíè óðàâíåíèÿ (1.7.7) èìåþò ðàçíûå çíàêè.
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî|S2 | 6 C(h, k),ïðè÷åì, åñëè|S2 | < C(h, k),äâà çíà÷åíèÿ, ðàçëè÷àþùèåñÿ çíàêîì. Åñëè æåòî äëÿ|S2 | = C(h, k),Q1òîèìååìQ1 = 0 .Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîåêöèÿ ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà èäîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà íà ïëîñêîñòü61(S2 , Q1 )ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ.Åñëèk + αh2 + h > 0,2Mh,kïðîåêöèÿÔèêñèðóåìïðè0 < C1 (h, k) 6 |S2 | 6 C2 (h, k).òîíà ïëîñêîñòüS2 , Q1 , S2 6= 0k < −αh2 − h).(S2 , Q1 )Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîÿâëÿåòñÿ äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè.(çàìåòèì, ÷òîS2ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ òîëüêîÒîãäà ñèñòåìà (2.7.2) ïåðåïèøåòñÿ òàê:Q3 = h − αS22 , k = −Q3 − α(Q21 + Q23 ),S1 Q1 + S3 Q3Q=−,2S2 Q2 + Q2 + Q2 = S 2 + S 2 + S 2 − g 2 .123123Âûðàçèâ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.7.8)íåíèÿQ2 ,òî÷êîéäëÿQ2ìû ïîëó÷èì îäíî óðàâíåíèå íàS1èQ3 ,S3 .(1.7.8)çàòåì èç òðåòüåãî óðàâ-Îíî çàäàåò íàì ñëîé íàä(S2 , Q1 ).
Ïîäñòàâèì â ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.7.8) âûðàæåíèÿèQ3 :Q21 +(S1 Q1 + S3 Q3 )2+ Q23 = S12 + S22 + S32 − g 2 ,2S2S22 Q21 + S12 Q21 + 2S1 S3 Q1 Q3 + S32 Q23 + S22 Q23 = (S12 + S22 + S32 − g 2 )S22 ,(Q21 − S22 )S12 + 2Q1 Q3 S1 S3 + (Q23 − S32 )S32 = (S22 − Q21 − Q23 − g 2 )S22 ,Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà(h+k− g 2 )S22 < 0,αòàê êàêk < −h − αg 2(ýòî ìûäîêàçàëè â ï.1).Ðàññìîòðèì ëåâóþ ÷àñòü êàê êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõS1èS3 .Ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû èìååò ñëåäóþùèé âèä:Q21−S22Q1 Q3Q1 Q3Q23 − S2262h+kS22 (S22 − Q21 − Q23 ) = S22 ().αk+hQ21 + Q23 − 2S22 = −− S22 .αÎïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû ðàâåíìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ðàâåíÅñëèk > −h,Ñëåäòî îïðåäåëèòåëü ïîëîæèòåëåí, à ñëåä îòðèöàòåëåí, è óðàâ-íåíèå çàäàåò ýëëèïñ, òî åñòü òîïîëîãè÷åñêè îêðóæíîñòü.
Åñëè æåk < −h, òîóðàâíåíèå çàäàåò ãèïåðáîëó, òî åñòü òîïîëîãè÷åñêè äâå ïðÿìûå.ÏðèS2 = 0ïîëó÷àåì ñèñòåìó:h = Q3 , k = −Q3 − α(Q21 + Q23 ),(1.7.9)S1 Q1 + S3 Q3 = 0, Q2 + Q2 + Q2 = S 2 + S 2 − g 2 .12313S3 = −S1 Q1.hk+hS12 Q2122−+ Q2 = S1 + 2 − g 2 .αhQ21 = −k + αh2 + h.α èòîãå ïîëó÷àåì:Q22Ïðàâàÿ ÷àñòü ìåíüøåk + h < 0,k < −αh2 − hòàê êàê0,k + h 2 k + h − αg 2S =+αh2 1αòàê êàêk < −h + αg 2 .k < −αh2 − h (S2ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ òîëüêî ïðè).Óðàâíåíèå çàäàåò ãèïåðáîëó, òî åñòü òîïîëîãè÷åñêè äâå ïðÿìûå. èòîãå, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå.63Ïðèk < −αh2 −h ìû èìååì ðàññëîåíèå íàä îêðóæíîñòüþ ñî ñëîåì äâå ïðÿ-ìûå. Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî ñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ýòî ìîæåò áûòü ëèáî öèëèíäð, ëèáî äâà öèëèíäðà.Íî ÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ðàâíî â ýòîì ñëó÷àå äâóì, òàê êàê ñîâìåñòíàÿïîâåðõíîñòü óðîâíÿ íà êóñêå ïàðàáîëûk = −αh2 − h, h < −ëÿåò ñîáîé äâå êðèòè÷åñêèå ïðÿìûå èíäåêñàäèôôåîìîðôíîÏðè2.ïðåäñòàâ-Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå2Mh,k2C 2 .−αh2 − h < k < −hó íàñ ðàññëîåíèå íàä äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè ñîñëîåì äâå ïðÿìûå.
Ó÷èòûâàÿ îðèåíòèðîâàííîñòük=12α111, −6h<4α2α4α2Mh,k,à òàêæå òî, ÷òî ïðèñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòûðüìÿêðèòè÷åñêèìè ïðÿìûìè èíäåêñà2,ìû ïîëó÷àåì, ÷òî2Mh,käèôôåîìîðôíî4C 2 .Íàêîíåö ïðèk > −hìû èìååì ðàññëîåíèå íàä äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè ñîñëîåì îêðóæíîñòü. Èç-çà îðèåíòèðóåìîñòè4α2 g 2 − 1h64α2Mh,kè òîãî, ÷òî ïðè k =1 1,<4α 4αñîâìåñòíàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ ÿâëÿåòñÿ äâóìÿ êðèòè÷åñêèìèîêðóæíîñòÿìè èíäåêñà22, Mh,käèôôåîìîðôíî2T 2 .Ìû âèäèì, ÷òî ïîìèìî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììåòàêæå ïðèíàäëåæèò è ëó÷k = −h (h > −1), òàê êàê òîïîëîãèÿ ñîâìåñòíîé4αïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòîò ëó÷.Íà Ðèñóíêå 1.10 ïðåäñòàâëåíî ðàñïîëîæåíèå êàìåð, îòâå÷àþùèõ ðàçíûìñîâìåñòíûì ïîâåðõíîñòÿì óðîâíÿHèìåðàì â Òåîðåìå 6.64K.Íîìåðà êàìåð ñîîòâåòñòâóþò íî-Ðèñ.
1.10: Ðàñïîëîæåíèå êàìåð, îòâå÷àþùèõ ðàçíûì ñîâìåñòíûì ïîâåðõíîñòÿì óðîâíÿèHK1.8ÏåðåñòðîéêèÌû îïèøåì ïåðåñòðîéêè òîðîâ è öèëèíäðîâ Ëèóâèëëÿ èçó÷àåìîãî ñëó÷àÿÑîêîëîâà.1. Íà ãðàíèöå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû âîçíèêàåò ïåðåñòðîéêè âèäà∅T2èëè∅C2(ðîæäåíèå òîðà è öèëèíäðà ñîîòâåòñòâåííî). Ïåðâàÿ èçíèõ îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íîâòîðàÿ æå ïîëó÷àåòñÿ èçS1 × S1A (ñì. êíèãó À. Â. Áîëñèíîâà è À. Ò. Ôîìåíêî [12]),A çàìåíîé îêðóæíîñòè íà ïðÿìóþ (âìåñòî òîðà T 2 =çäåñü áóäåò öèëèíäðC 2 = S 1 × R1 ,âìåñòî êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè◦ êðèòè÷åñêàÿ ïðÿìàÿ). Îáîçíà÷èì âòîðóþ ïåðåñòðîéêóA.Êàê ýòî ïðèíÿòîâ êîìïàêòíîé òåîðèè, ÷èñëî ïåðåä áóêâîé, îçíà÷àþùåé ïåðåñòðîéêó, áóäåòîçíà÷àòü, ÷òî îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò íåñêîëüêî áèôóðêàöèé òàêîãî ðîäà.2.  èçó÷àåìîé ñèñòåìå âñòðå÷àåòñÿ åùå îäèí àíàëîã õîðîøî èçâåñòíîéïåðåñòðîéêèB (T 22T 2 ).ÏåðåñòðîéêóBìîæíî îïèñàòü òàê (ñì.
êíèãóÀ. Â. Áîëñèíîâà è À. Ò. Ôîìåíêî [12]): èñõîäíàÿ îêðóæíîñòü ïåðåòÿãèâàåòñÿ,âîçíèêàåò ïåðåìû÷êà, ïîëó÷àåòñÿ âîñüìåðêà, êîòîðàÿ çàòåì ðàñïàäàåòñÿ íà65äâå îêðóæíîñòè. Âñÿ ýòà êàðòèíêà óìíîæàåòñÿ íà îêðóæíîñòü. Ó íàñ æåêàðòèíêà áóäåò óìíîæàòüñÿ íà ïðÿìóþ, à íå íà îêðóæíîñòü. Ìû ïîëó÷èìíîâóþ ïåðåñòðîéêóC22C 2 ,◦êîòîðóþ îáîçíà÷èìB.3.  èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Ñîêîëîâà ïðèñóòñòâóåò íåêîìïàêòíàÿ ïåðåñòðîéêà, äëÿ êîòîðîé íåò êîìïàêòíîãî àíàëîãà. Ýòî ïåðåñòðîéêà áåç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Òîð ïåðåñòðàèâàåòñÿ â äâà öèëèíäðà. Ïåðåñòðîéêó ìîæíîîïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ôóíêöèþf,çàäàííóþíåÿâíî â âèäå(x + cy)2 + (1 − c2 )y 2 = 1.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëèc2 < 1,òî ëèíèåé óðîâíÿòîïîëîãè÷åñêè äâå ïðÿìûå.
Ïðèíûå ïðÿìûå. Ïðèc2 > 1|c| = 1fáóäåò ãèïåðáîëà, òî åñòüëèíèåé óðîâíÿ áóäóò äâå ïàðàëëåëü-ëèíèåé óðîâíÿ áóäåò ýëëèïñ, òî åñòü òîïîëîãè÷åñêèîêðóæíîñòü. Êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ó ôóíêöèèfíåò. Îïèñàííàÿ ïåðåñòðîéêà(äâå ïðÿìûå ïåðåõîäÿò â îêðóæíîñòü) ïðîèñõîäèò áåç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.Óìíîæàåì îïèñàííóþ ïåðåñòðîéêóäâå ïðÿìûå”íîñòü.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ïåðåñòðîéêóT2îêðóæíîñòü“ íà îêðóæ-2C 2 ,êîòîðóþ îáîçíà÷èìS.Íà Ðèñóíêå 1.11 ïðåäñòàâëåíû ïåðåñòðîéêè òîðîâ è öèëèíäðîâ Ëèóâèëëÿäëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà66Ðèñ.
1.11: Ïåðåñòðîéêè òîðîâ è öèëèíäðîâ Ëèóâèëëÿ67Ãëàâà 2Ñëó÷àé Ñîêîëîâà íà so(3, 1)2.1Ââåäåíèå ýòîé ãëàâå ìû èññëåäóåì ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ñëó÷àÿ Ñîêîëîâà íàso(3, 1).Îïèñàíà òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ãàìèëüòîíèàíà (ñì. Òåîðåìó 7), áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ãàìèëüòîíèàíîì (ñì. Óòâåðæäåíèå 2.2), è îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (ñì. Òåîðåìó 8), èíäåêñûêðèòè÷åñêèõ òî÷åê (ñì. Óòâåðæäåíèå 2.6.1), à òàêæå ñîâìåñòíûå ïîâåðõíîñòèóðîâíÿ ãàìèëüòîíèàíà è äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà (ñì. Òåîðåìó 9). Òàêæå áûëî äîêàçàíî, ÷òî ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ, îòâå÷àþùåãî ãàìèëüòîíèàíó,íåïîëîí (ñì. ïàðàãðàô 2.5).2.2Áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíàÁèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà çíà÷åíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ áèôóðêàöèîííûìè äëÿ îòîáðàæåíèÿ4H : M1,g→ R(h).Êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìèãàìèëüòîíèàíà ÿâëÿþòñÿ òå òî÷êè, ãäå êîñîé ãðàäèåíò ãàìèëüòîíèàíà ðàâåííóëþ.68Âûïèøåì ÿâíî ïîëåsgrad H :{S1 , H} = 2αS2 S3 + S1 R3 − R1 S3 , {R1 , H} = 2αS2 R3 + κS1 S3 − R1 R3 ,2κ2κ{S2 , H} =S1 S3 + S2 R3 − R2 S3 , {R2 , H} =S1 R3 + κS2 S3 − R2 R3 ,αακκ{S3 , H} = −2(α + )S1 S2 ,{R3 , H} = −2(αR1 S2 + S1 R2 ) + R12 + R22 −αα− κS12 − κS22 .Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðèôîðìóëû(5)κ=1(ñëó÷àéso(4)? )ìû ïîëó÷èì â òî÷íîñòèèç ðàáîòû À.
À. Îøåìêîâà è Ã. Õàãèãàòäóñòà [27].Ïðèðàâíÿâ íóëþsgrad H ,Óòâåðæäåíèå 2.2.1.ïîëó÷àåì ñëåäóþùååÄëÿ ïðîèçâîëüíîãî κ 6= −α2 êðèòè÷åñêèå òî÷êè ãà-ìèëüòîíèàíà îáðàçóþò ñëåäóþùèå äâóïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà. Ïðè ýòîìsgrad K â ýòèõ òî÷êàõ òîæå ðàâåí íóëþ.1) (0, 0, S3 , 0, 0, R3 );2) (0, S2 , 0, R1 , R2 , 0), ãäå R12 + R22 − κS22 − 2αR1 S2 = 0;√√3) (0, S2 , S3 , 2αS2 , ± κS2 , ± κS3 ) ïðè κ > 0;2κ4) (S1 , 0, 0, R1 , R2 , 0), ãäå R12 + R22 − κS12 −R2 S1 = 0;α√√2κ5) (S1 , 0, S3 , ± κS1 ,S1 , ± κS3 ) ïðè κ > 0.αÇàìå÷àíèå 6.Óòâåðæäåíèå 2.2.1 ýòî îáîáùåíèå Ïðåäëîæåíèÿ 1 èç ñòà-òüè À.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
