Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâg, λâíóòðè êàæ-äîé èç 18 êàìåð (ñì. ðèñ. 2.1) êîëè÷åñòâî îñîáûõ òî÷åê íå ìåíÿåòñÿ. Ïðèïåðåõîäå èç îäíîé êàìåðû â äðóãóþ èõ ÷èñëî ìîæåò èçìåíèòüñÿ.Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû â êàìåðó èçìåíÿåòñÿ òèï áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ïîýòîìó ìîæåò èçìåíèòüñÿ è êîëè÷åñòâî îñîáûõ òî÷åê (ñì. ðèñ. 2.2).Íàïðèìåð, â êàìåðå 2 (ñì. ðèñ. 2.6) äâå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ (M, X1 ), äâå òî÷êèâîçâðàòà (A1 , B2 ) è äâà êàñàíèÿ (U2 , V1 ).

À â êàìåðå 3 ÷åòûðå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ (M, X1 , X2 , X3 ), äâå òî÷êè âîçâðàòà (A1 , B3 ) è äâà êàñàíèÿ (V1 , U2 ).Ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ áûëè ïðîâåðåíû ïðè ïîìîùè ïàêåòà ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé Wolfram Mathematica 6.0.Ïðåäëîæåíèå 3. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâg, λâíóòðèêàæäîé èç 18 êàìåð êîëè÷åñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ äóã äèàãðàììû ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì êîðíåé óðàâíåíèÿ 3.1.1.Ïðåäëîæåíèå 4.  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè äëÿ êàæäîãî íåáèôóðêàöèîí-íîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ(g, λ)âñå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îòîáðàæàþòñÿâ îñîáûå òî÷êè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, à èìåííî â òî÷êè òðàíñâåðñàëüíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ãëàäêèõ äóã äèàãðàììû. Ïðè÷¼ì ðàçíûì ïîëîæåíèÿìðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, à êîëè÷åñòâî ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãëàäêèõ äóã äèàãðàììû.68Òåîðåìà 13. (Í. Ñ.

Ñëàâèíà [23])  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè ïðè íåáèôóð-êàöèîííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâgèλâñå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íåâû-ðîæäåíû, ïðè÷¼ì â ïðîîáðàçå êàæäîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííûõêðèâûõ ëåæèò ðîâíî îäíà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ðàíãà 0.Äîêàçàòåëüñòâî.Áóäåì âåñòè äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû â êîîðäèíàòàõ (s, r),òàê êàê â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ñêîáêà ËèÏóàññîíà çàïèñûâàåòñÿ ïðîùå, ÷åì âêîîðäèíàòàõ (ω, ν).Ïîêàæåì, ÷òî ïðè λ = 1, µ = 0 ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ áóäåò èìåòü ïîïàðíîðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Ðàññìîòðèì ëèíåàðèçàöèþ âåêòîðíîãî ïîòîêà 2.1.2 íà e(3)∗ .

Äèôôåðåíöèðóÿ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé 2.1.5, ïîëó÷àåì ìàòðèöó îïåðàòîðà 2AH :0−(s3 + 2λ) −s20002λ + s30s0021 0000−20 2AH =  0r−2r0−2(s+λ)s3232 −r02r1 2(s3 + λ)0−s1 3r2−r10−s2s10Îòìåòèì, ÷òî âûøå ìû îáîçíà÷àëè ÷åðåç AH îïåðàòîð ëèíåàðèçàöèè ãàìèëüòîíîâà âåêòîðíîãî ïîëÿ â îñîáîé òî÷êå íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè,ò.å. äëÿ íåâûðîæäåííîé ñêîáêè Ïóàññîíà. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî äåéñòâîâàòü è äëÿ âûðîæäåííîé ñêîáêè Ïóàññîíà (â îêðåñòíîñòè òî÷êè, ãäå ðàíãñêîáêè ëîêàëüíî ïîñòîÿíåí), ó÷èòûâàÿ, ÷òî âñå îïåðàòîðû ëèíåàðèçàöèè âýòîì ñëó÷àå áóäóò èìåòü îäíî è òî æå ÿäðî, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ðàâíàêîðàíãó ñêîáêè.Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñêîáêà ËèÏóàññîíà íà e(3)∗ ïî÷òè âñþäó èìååò ðàíã 4,âñëåäñòâèå ÷åãî îïåðàòîð ëèíåàðèçàöèè AH ãàìèëüòîíîâà âåêòîðíîãî ïîëÿsgrad H â îñîáîé òî÷êå âñåãäà èìååò äâà íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ. ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ r2 = s2 = 0.

Áóäåì èñêàòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿìàòðèöû 2AH .69−t−(s3 + 2λ) 00002λ + s3−ts0021 00−t0−202AH − tE =  0r0−t−2(s+λ)033 −r02r1 2(s3 + λ)−t−s1 30−r100s1−tÕàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò âèäχAH (t) = det(2AH − tE) = t2 [t4 + (s21 + 4(s3 + λ)2 + 6r1 + (s3 + 2λ)2 )t2 ++(s21 + 4(s3 + λ)2 + 4r1 )(2r1 + (s3 + 2λ)2 )].Ïóñòüa = s21 + 4(s3 + λ)2 + 4r1 ,b = 2r1 + (s3 + 2λ)2 .(3.1.2)Òîãäà χAH (t) = t2 [t4 + (a + b)t2 + ab]. Äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ íóëåâûå,√√à ÷åòûðå îñòàëüíûõ èìåþò âèä ± a, ± b.Íåâûðîæäåííîñòü îñîáîé òî÷êè ðàíãà 0 ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî a 6= b èab 6= 0.

Ïðè ýòîì âîçíèêàþò ñëåäóþùèå âîçìîæíîñòè:åñëè a < 0, b < 0, òî ïîëó÷èì ÷åòûðå äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ =⇒ òèï òî÷êè"ñåäëî-ñåäëî";åñëè ab < 0, òo âîçíèêàåò îäíà ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ è îäíà ïàðà ìíèìûõêîðíåé =⇒ òèï òî÷êè "öåíòð-ñåäëî";åñëè a > 0, b > 0, òî ïîëó÷èì 4 ÷èñòî ìíèìûõ êîðíÿ =⇒ òèï òî÷êè "öåíòðöåíòð".Äëÿ âñåõ íåáèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé (g, λ), ò.å. äëÿ êàæäîé èç 18 êàìåðïðîâåðêà óñëîâèé a 6= b è ab 6= 0, à òàêæå îïðåäåëåíèå çíàêîâ a è b ìîãóò áûòüâûïîëíåíû ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà (ñì. çàìå÷àíèå 7, à òàêæå òåîðåìó??).Òåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî äëÿ íåáèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé (g, λ) â êàæäîéòî÷êå ðàíãà 0 îïåðàòîðû AH è AK ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Èç-çà òîãî, ÷òî èíòåãðàë K ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì ïîëèíîìîì 4-ñòåïåíè ñäåëàòü ýòî íå òàê ëåãêî.

Ïîýòîìó áóäåì âû÷èñëÿòü ëèøü ÷àñòü êîýôôèöèåíòîâ ìàòðèöû AK =(grad (Ω · grad K))T .70Ðàññìîòðèì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ x è âåêòîð v = (0, 1, 0, 0, 0, 0) ∈ Tx M 4 .Ïîä äåéñòâèåì îïåðàòîðà AH îí ïåðåéä¼ò â âåêòîð (−2λ−s3 , 0, 0, r3 , 0, −r1 ),à ïîä äåéñòâèåì îïåðàòîðà AK â âåêòîð ñ êîîðäèíàòàìè (∗, 0, a32 , ∗, 0, ∗), ãäå∂(sgrad K)3a32 (x) =(x). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåçàâèñèìîñòè äîñòàòî÷íî ïðî∂s2âåðèòü, ÷òî a32 6= 0.2ss123s1 − 2 + 4r1 s1 + s2 r2 − λs1 (s3 + 2λ) − 2λr3 s21 s23− 4s2 r1 + s1 r2 − λs2 (s3 + 2λ)s2 −2λ22(s+s)12dK = 2 22s1 − s2+ 2r12s1 s2 + 2r2−2λs1s1 s22+ 4r1 s1 + s2 r2 − λs1 (s3 + 2λ) − 2λr3 ) − s1 (s32 −2s21 s2s2 − s22− 4s2 r1 + s1 r2 − λs2 (s3 + 2λ)) + r2 ( 1+ 2r1 ) − r1 (s1 s2 + 2r2 ).22s2s1 s22+ 4r1 s1 + s2 r2 − λs1 (s3 + 2λ) − 2λr3 − s1 (−s21 − 4r1 + 1 −a32 (x) = s31 −22λ(s3 + 2λ)) = 1, 5s31 + 7r1 s1 − 2λr3 . ñèëó òåîðåìû 6 áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû âíóòðè êàæäîé èç 18 êàìåðãîìåîìîðôíû, à çíà÷èò ìû ìîæåì âçÿòü òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ g è λâíóòðè êàæäîé êàìåðû, ÷òîáû íàéäåííûå êîîðäèíàòû ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ(sgrad K)3 = s2 (s31 −óäîâëåòâîðÿëè ñîîòíîøåíèþ a32 (x) 6= 0.Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 7.

 ðàáîòå Ï. Å. Ðÿáîâà [34] îïèñàíû êðèòè÷åñêèå òî÷êè ðàíãà0 è óêàçàí ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ èõ òèïà. Îäíàêî, îêîí÷àòåëüíîé êëàññèôèêàöèè â âèäå òàáëèöû ñ ïîëíûì îïèñàíèåì òèïîâ íåâûðîæäåííûõ îñîáûõòî÷åê ðàíãà 0 è ñ ïðåäñòàâëåíèåì èõ îêðåñòíîñòåé â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãîïðîèçâåäåíèÿ â [34] ïîëó÷åíî íå áûëî.

Ïîñêîëüêó çíàíèå òîïîëîãèè íåîáõî-71äèìî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåòîê èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë, òî äàííàÿ êëàññèôèêàöèÿ áûëà ïðîâåäåíà íàìè äî êîíöà.Òåîðåìà 14. (Í. Ñ. Ñëàâèíà [23])  ïðîîáðàçå êàæäîé èç 13 òî÷åê ïåðåñå÷å-íèÿ äóã áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, à èìåííî òî÷åêX4 , X5 , Y1 , Y2 , Y3 , Y4 , Y5M , Z1 , Z2 , X1 , X2 , X3 ,(ñì. ðèñ. 2.5-2.13), ëåæèò ðîâíî ïî îäíîé êðèòè÷å-ñêîé òî÷êå ðàíãà íîëü. Ïðåäñòàâëåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ 13 îñîáåííîñòåéâ âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ óêàçàíî â òàáëèöå:òî÷êàòèïï/ï ïðîèçâåäåíèåMöåíòð-öåíòðA×AZ2öåíòð-öåíòðA×AX2öåíòð-öåíòðA×AY2öåíòð-öåíòðA×AX4öåíòð-öåíòðA×AY4öåíòð-öåíòðA×AX3öåíòð-ñåäëîA×BY3öåíòð-ñåäëîA×BX5öåíòð-ñåäëîA×BY5öåíòð-ñåäëîA×BZ1ñåäëî-ñåäëî(B × C2 )/Z2X1ñåäëî-ñåäëîB×BY1ñåäëî-ñåäëîB×BÄîêàçàòåëüñòâî.Ïî òåîðåìå 9.3 (ñì. [22, ò.

1, ãë. 9]) îñîáåííîñòü òèïà öåíòð-öåíòð èìååò âèä ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ àòîìà A íà àòîì A. Òî÷êàìè òàêîãîòèïà ÿâëÿþòñÿ òî÷êè : M, Z2 , X2 , Y2 , X4 , Y4 . Ïðè÷¼ì îêðåñòíîñòü ïðîîáðàçîâòî÷åê X2 è Y2 ñîñòîèò èç ÷åòûð¼õ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, à îêðåñòíîñòü ïðîîáðàçîâ òî÷åê X4 è Y4 èç äâóõ, íî ëèøü îäíà êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ñîäåðæèòòî÷êó ðàíãà íîëü.Ïî òåîðåìå 9.2 (ñì. [22, ò. 1, ãë. 9]) ëþáàÿ îñîáåííîñòü òèïà öåíòð-ñåäëî ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà êàíîíè÷åñêîé îñîáåííîñòè âèäà A×V äëÿ íåêîòîðîãî72ïîäõîäÿùåãî ñåäëîâîãî àòîìà, êîòîðûé ìîæíî îïðåäåëèòü, ïîñòðîèâ êðóãîâóþ ìîëåêóëó îñîáåííîñòè.  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè òî÷êè X3 , Y3 , X5 , Y5ÿâëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìè òèïà öåíòð-ñåäëî.

 êà÷åñòâå ñåäëîâîãî àòîìà V íóæíî âçÿòü àòîì B .Òåîðåìà 9.6 èç [22, ò. 1, ãë. 9], óòâåðæäàåò, ÷òî êðóãîâûå ìîëåêóëû îñîáåííîñòè òèïà ñåäëî-ñåäëî ñ ðîâíî îäíîé îñîáîé òî÷êîé íà ñëîå, ñîîòâåòñòâóþòîäíîìó èç ÷åòûð¼õ ñëó÷àåâ, êîòîðûå óêàçàíû â òåîðåìå 9.6 èç [22, ò. 1, ãë. 9].×òîáû îïðåäåëèòü êàêîìó èìåííî ñëó÷àþ ñîîòâåòñòâóåò îñîáåííîñòü, íåîáõîäèìî çíàòü ïåðåñòðîéêè íà äóãàõ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, âõîäÿùèõ âäàííóþ òî÷êó.  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè òî÷êè Z1 , X1 , Y1 ÿâëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìè òèïà ñåäëî-ñåäëî. Ïîëüçóÿñü òåîðåìàìè 12, 13,çàêëþ÷àåì, ÷òî îêðåñòíîñòè òî÷åê X1 , Y1 ïðåäñòàâèìû â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãîïðîèçâåäåíèÿ àòîìîâ B , à îêðåñòíîñòü òî÷êè Z1 ïðåäñòàâèìà â âèäå ïî÷òèïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ (B × C2 )/Z2 .

Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 8. Çíàÿ òèï îñîáåííîñòè íåâûðîæäåííîé òî÷êè ðàíãà íîëü,ìîæíî îäíîçíà÷íî ïîñòðîèòü äëÿ ýòîé òî÷êè êðóãîâóþ ìîëåêóëó ñ ìåòêàìè (ñì. [22, ò. 1, ãë. 9]).  òàáëèöå 3.1 ïðèâåäåíû êðóãîâûå ìîëåêóëû ñr−ìåòêàìè äëÿ âñåõ 13 òî÷åê èç òåîðåìû 14, ãäå ðèìñêèìè öèôðàìè îáîçíà÷åíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñåìåéñòâà òîðîâ. Ðÿäîì ñ ïåðåñòðîéêàìè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè ñ èíäåêñàìè îáîçíà÷åíû äóãè äèàãðàìì, íà êîòîðûõ äàííûåïåðåñòðîéêè ïðîèñõîäÿò. Äëÿ òî÷åêX1 , Y1âîçíèêàåò äâå âîçìîæíîñòèðàññòàíîâêè ñåìåéñòâ òîðîâ (âòîðîé âàðèàíò óêàçàí ðèìñêèìè öèôðàìèâ ñêîáêàõ).

Äàëåå â ïðåäëîæåíèè 8 ýòà íåîïðåäåë¼ííîñòü áóäåò óñòðàíåíà,à èìåííî áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî íà ñàìîì äåëå âàðèàíò â ñêîáêàõ íå ðåàëèçóåòñÿ. Êðóãîâûå ìîëåêóëû íóæíû íàì äëÿ äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé, àèìåííî äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò è äëÿ îïðåäåëåíèÿâçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõ öèêëîâ â ñåìåéñòâàõ òîðîâ.Çàìå÷àíèå 9. Êðóãîâûå ìîëåêóëû áåç ìåòîê òî÷åêZ2 , X2 , Y2 , X3 , Y3 , X4 , Y4áûëè ïîñòðîåíû àâòîðîì ñîâìåñòíî ñ Ï.Ï. Àíäðåÿíîâûì ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû ïî âèçóàëèçàöèè ïåðåñòðîåê òîðîâ, íàïèñàííîé íà ÿçûêå Wolfram73Mathematica 6.0 ïî àëãîðèòìó èç ðàáîòû [19].

Характеристики

Список файлов диссертации