Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ïðîîáðàç ýòèõ òî÷åê ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, îäíà èç êîòîðûõ ñîäåðæèò íåâûðîæäåííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, à äðóãèå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ñîäåðæàò òî÷êè ðàíãà îäèí èëè äâà. Êðóãîâûå ìîëåêóëû â òàáëèöå 3.1 óêàçàíûäëÿ òåõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, êîòîðûå ñîäåðæàò òî÷êè ðàíãà íîëü. ðàáîòå Ì.
Ï. Õàðëàìîâà [35] áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îòíîñèòåëüíî îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ íà ìíîæåñòâå òî÷åê ðàíãàíîëü. Îêàçàëîñü, ÷òî òàêèõ êëàññîâ 13, åñëè ðàññìàòðèâàòü ïîëíûé ïðîîáðàç òî÷êè, îòâå÷àþùåé îòíîñèòåëüíîìó ðàâíîâåñèþ.Ïðåäëîæåíèå 5.  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè â êàìåðàõ 1', 3, 3' - 9, 9' âïðîîáðàçå ãëàäêèõ äóãγ1 , γ2 , δ1 , δ2áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì (ñì. ðèñ. 2.5-2.13) ëåæàò áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè ñëåäóþùèõ òèïîâ:äóãè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììòèï 3-àòîìàγ1 , δ1Aγ2 , δ22AÄîêàçàòåëüñòâî.Èç òåîðåìû 14 èçâåñòíî, ÷òî òî÷êàì ïåðåñå÷åíèÿ X4 , Y4áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ ñîîòâåòñòâóþò íåâûðîæäåííûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îêðåñòíîñòü êîòîðûõ ïðåäñòàâèìà â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿàòîìîâ A × A.
Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç äóãè γ1 , δ1 (ñì. ðèñ. 2.10) ïîÿâëÿþòñÿ òîðûñåìåéñòâ V, IV ñîîòâåòñòâåííî (ñì. çàìå÷àíèå 6). Èç âñåãî âûøåñêàçàííîãîñëåäóåò, ÷òî íà äóãàõ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì γ1 , δ1 ïðîèñõîäÿò ïåðåñòðîéêè òèïà A.Ðàññìîòðèì ïðîîáðàçû òî÷åê X2 , Y2 . Êàæäûé èç íèõ ñîñòîèò èç ÷åòûð¼õêîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, è ëèøü îäíà êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ñîäåðæèò òî÷êóðàíãà íîëü, îêðåñòíîñòü êîòîðîé ïðåäñòàâèìà â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ àòîìîâ A × A (òåîðåìà 14). Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïîêàæåì ýòî íà ðèñóíêå3.1.Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç äóãó γ2 ðîæäàþòñÿ 2 òîðà ñåìåéñòâ II è VII, à ïðèïåðåõîäå ÷åðåç äóãó δ2 - 2 òîðà ñåìåéñòâ III è VI (ñì. çàìå÷àíèå 6). Èç ýòîãîñëåäóåò, ÷òî íà äóãàõ γ2 , δ2 ïðîèñõîäÿò ïåðåñòðîéêè òèïà 2A.74Òàáëèöà 3.1: Êðóãîâûå ìîëåêóëû íåâûðîæäåííûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ75Ðèñ. 3.1: Ïîëíûé ïðîîáðàç òî÷åê76X2 , Y2Ïðåäëîæåíèå 5 äîêàçàíî.Çàìå÷àíèå 10.
 ðàáîòå [20] ïðåäúÿâëåíû ôîðìóëû äëÿ ïîêàçàòåëåé Ìîðñà-Áîòòà, îòêóäà òàêæå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ïåðåñòðîéêè íà äóãàõγ1 , γ2 , δ1 ,δ2 .3.2Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò.Òåïåðü áóäåì ðàññìàòðèâàòü íà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå òî÷êè âîçâðàòàAi , Bi (i = 1, 2, 3, 4) è êàñàíèÿ Uj , Vj (j = 1, 2, 3).  ïðîîáðàçàõ ýòèõ òî÷åêëåæàò îäíîìåðíûå âûðîæäåííûå îðáèòû, ïîñêîëüêó áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ íåâûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòû âûãëÿäèò êàê äóãà ãëàäêîéêðèâîé (ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû Ýëèàññîíà; ñì. [22, 28])Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðóãîâûõ ìîëåêóë âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè, äîêàçàííûìè Ï. Â.
Ìîðîçîâûì[36].Ïðåäëîæåíèå 6. (Ï. Â. Ìîðîçîâ[36]) Íà ð¼áðàõ, ñîåäèíÿþùèõ äâà ñåäëî-âûõ àòîìà êðóãîâîé ìîëåêóëû âûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòû,ðàâíû∞.Íà ð¼áðàõ, ñîåäèíÿþùèõ àòîìîáîèõ ñëó÷àÿõ ìåòêèεðàâíûAñ ñåäëîâûì,r-ìåòêèr-ìåòêèêîíå÷íû. Â+1.Îáîçíà÷èì ÷åðåç B A ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëû âûðîæäåííîé îðáèòû,êîòîðîå ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèþ B ñ áèôóðêàöèåé A.Ïðåäëîæåíèå 7. (Ï.
Â. Ìîðîçîâ[36]) Ïóñòü áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà3-àòîìû, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì äóãàì, ïðèìûêàþùèì ê òî÷êå v , èìåþò òèï B è A.Òîãäà íà ðåáðàõ êðóãîâîé ìîëåêóëû B A ìåòêè r ðàâíû 0.ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ êðèâóþ ñ òî÷êîé âîçâðàòàv,ïðè÷åìÄàëåå áóäåì ÷åðåç r[xy] îáîçíà÷àòü r-ìåòêó íà ðåáðå ìîëåêóëû, êîòîðîåñîåäèíÿåò àòîìû, ñîîòâåòñòâóþùèå áèôóðêàöèÿì x è y . Íàïîìíèì77ïðàâèëîñëîæåíèÿ ìåòîê(ñì. [22, ò. 2]): ïóñòü äëÿ ð¼áåð, îòíîñÿùèõñÿ ê íåêîòîðîìóñåìåéñòâó òîðîâ, èçâåñòíû ìåòêè r[xy] = r0 è r[y z] = ∞, òîãäà r[xz] = r0â òîì æå ñåìåéñòâå.Çàìå÷àíèå 11. Íàïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè âîçíèêëà íåîá-õîäèìîñòü ââåñòè áîëåå ìåëêîå ðàçáèåíèå òîðîâ íà ñåìåéñòâà (ñì.
çàìå÷àíèå 6), ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçáèåíèåì â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé èâ ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðèg=0(ñì. òåîðåìû 8, 9). Ïðèâåä¼ì ïîëíîåäîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé òåîðåìû, ÷òîáû ôèêñèðîâàòü íîâûå ñåìåéñòâàòîðîâ. Ýòî íåîáõîäèìî äëÿ îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ áàçèñíûõöèêëîâ â ñåìåéñòâàõ òîðîâ, ÷òî áóäåò ïðîäåëàíî äàëåå.r- è ε-ìåòêàìè4),Uj , Vj (j=1, 2,Òåîðåìà 15. (Í.Ñ. Ñëàâèíà) Êðóãîâûå ìîëåêóëû ñ÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììûAi , Bi(i=1, 2, 3,äëÿ òî3), ïðî-îáðàçû êîòîðûõ ñîäåðæàò âûðîæäåííûå îäíîìåðíûå îðáèòû, ïðèâåäåíû âòàáëèöå 3.2.Ïðåäëîæåíèå 8. Ïðîîáðàç òî÷åê âîçâðàòàU1 , U3 ñîñòîèò èç îäíîéòà A2 , B2 , A4 ,B4 è òî÷åêA1 , B1 , A3 , B3è òî÷åê êàñàíèÿêîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.
Ïðîîáðàç òî÷åê âîçâðàêàñàíèÿV1 , V2 , V3 , U2ñîñòîèò èç äâóõ êîìïîíåíòñâÿçíîñòè.  òàáëèöå 3.2 óêàçàí ïîëíûé ïðîîáðàç âñåõ âûøåïåðå÷èñëåííûõâûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò.Äîêàçàòåëüñòâî.Êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê âîçâðàòà A1 , B1 , A3 , B3 è òî÷åêêàñàíèÿ U1 , U3 ìîæíî ïîñòðîèòü î÷åâèäíûì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿàòîìîâ A, B, C2 è çíàÿ êàêèå ñåìåéñòâà òîðîâ ïåðåñòðàèâàþòñÿ â îêðåñòíîñòÿõ ýòèõ òî÷åê. Îêàçàëîñü, ÷òî êðóãîâûå ìîëåêóëû ýòèõ òî÷åê ñîñòîÿò èçîäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè.Ðàññìîòðèì òî÷êó A2 . Íà ðèñ. 3.2 óêàçàíû âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ êðóãîâîé ìîëåêóëû.Ïåðâûé âàðèàíò êðóãîâîé ìîëåêóëû ñîñòîèò èç äâóõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè,à âòîðîé è òðåòèé - èç îäíîé.78Òàáëèöà 3.2: Êðóãîâûå ìîëåêóëû âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò79Ðèñ.
3.2: Âàðèàíòû êðóãîâûõ ìîëåêóë äëÿ òî÷êèA2Äóãå α7 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêà òèïà 2B . Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êèY1 , â ïðîîáðàçå êîòîðîé ëåæèò íåâûðîæäåííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ òèïàñåäëî-ñåäëî, ñëåäóåò, ÷òî òîðû ñåìåéñòâ V è V I , ðîäèâøèåñÿ íà äóãå α8 , ïðèïîäõîäå ê äóãå α7 íå ïåðåñòðàèâàþòñÿ âìåñòå â îäèí òîð, à îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûìàòîìàì B . Ïîýòîìó âòîðîé âàðèàíò êðóãîâîé ìîëåêóëû, ñîñòîÿùèé èç îäíîéêîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè íåâîçìîæåí.
Òðåòèé âàðèàíò òîæå íåâîçìîæåí, òàêêàê ïðè ïîäõîäå ê äóãå α7 ñ ïåðåñòðîéêîé 2B ñïðàâà òîðû ñåìåéñòâ I, Vñëèâàþòñÿ â îäèí òîð ñåìåéñòâà I , à òîðû ñåìåéñòâ III, V I - â îäèí òîðñåìåéñòâà III .Äëÿ òî÷êè B2 ïðîâîäèì òå æå ðàññóæäåíèÿ, íî ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóåì èíôîðìàöèþ èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè X1 î ïåðåñòðîéêàõ òîðîâñåìåéñòâ I, II, IV, V II íà äóãå β7 .Ðàññìîòðèì òî÷êè êàñàíèÿ V1 , V3 . Òàê êàê îíè ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè êàñàíèÿäóãè α5 ñ äóãîé β2 β3 áèôóðêàöèîííûõ êðèâûõ, è â èõ îêðåñòíîñòÿõ èñïûòûâàþò ïåðåñòðîéêè òîðû èç îäíèõ è òåõ æå ñåìåéñòâ (ñì.
ðèñ. 2.12), òî êðóãîâûåìîëåêóëû ýòèõ òî÷åê ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó ïðîâåä¼ì âñå ðàññóæäåíèÿ äëÿ òî÷êè V1 . Êðóãîâóþ ìîëåêóëó ìîæíî ïîñòðîèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè(ðèñ. 3.3).Çàìåòèì, ÷òî ïåðâàÿ êðóãîâàÿ ìîëåêóëà ñîñòîèò èç äâóõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, à âòîðàÿ - èç îäíîé. Äóãå β5 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêà òèïà 2A∗ . Èç80Ðèñ. 3.3: Âàðèàíòû êðóãîâûõ ìîëåêóë äëÿ òî÷êèV1êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè Z1 , â ïðîîáðàçå êîòîðîé ëåæèò íåâûðîæäåííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïåðåñòðîéêå òîðà ñåìåéñòâà II íà äóãåβ5 ïîëó÷àåòñÿ òîð ñåìåéñòâà IV , à ïðè ïåðåñòðîéêå òîðà ñåìåéñòâà I íà äóãåβ5 ïîëó÷àåòñÿ òîð ñåìåéñòâà I .Ïîýòîìó äëÿ òî÷êè V1 âûáèðàåì ïåðâóþ êðóãîâóþ ìîëåêóëó.Òî÷êè U2 , V2 âîçíèêàþò â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé è ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðè g = 0.
Íà ðèñ. 3.4, 3.5 óêàçàíû âàðèàíòû ïîñòðîåíèÿ êðóãîâûõìîëåêóë äëÿ ýòèõ òî÷åê. [1] è [36] ÿâíî íå äîêàçûâàåòñÿ âûáîð ïåðâîãî âàðèàíòà êðóãîâîé ìîëåêóëû äëÿ ýòèõ òî÷åê. Êàê ñîîáùèëè ìíå àâòîðû äàííûõ ðàáîò, êðóãîâûåìîëåêóëû ýòèõ òî÷åê áûëè ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà. Áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòîò ðåçóëüòàò â äàííîé ðàáîòå.Çíàÿ êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê U2 , V2 , ìîæíî óáðàòü íåîïðåäåë¼ííîñòü,âîçíèêøóþ ïðè ðàññòàíîâêå ñåìåéñòâ òîðîâ â êðóãîâûõ ìîëåêóëàõ òî÷åêX1 , Y1 , íåïîäõîäÿùèé âàðèàíò ðàññòàíîâêè ñåìåéñòâ óêàçàí â ñêîáêàõ (ñì.ðèñ. 3.6, à òàêæå òàáëèöó 3.1).Ïðè ïîñòðîåíèè êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê âîçâðàòà A4 , B4 âîçíèêàþò àíàëîãè÷íûå âîçìîæíîñòè, ÷òî è ïðè ïîñòðîåíèè êðóãîâûõ ìîëåêóë òî÷åê A2 , B2 .Ïðè âûáîðå ïîäõîäÿùåé êðóãîâîé ìîëåêóëû äëÿ òî÷êè B4 ïîëüçóåìñÿ êðóãîâîé ìîëåêóëîé òî÷êè Y1 , ðàññìàòðèâàÿ ïåðåñòðîéêè òîðîâ ñåìåéñòâ I, III, V, V I81Ðèñ.
3.4: Âàðèàíòû êðóãîâûõ ìîëåêóë äëÿ òî÷êèU2Ðèñ. 3.5: Âàðèàíòû êðóãîâûõ ìîëåêóë äëÿ òî÷êèV282Ðèñ. 3.6: Êðóãîâûå ìîëåêóëû äëÿ òî÷åêX1 , Y1íà äóãå β9 . Äëÿ òî÷êè A4 ïðîâîäèì òå æå ðàññóæäåíèÿ, íî ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóåì èíôîðìàöèþ èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè X1 î ïåðåñòðîéêàõòîðîâ ñåìåéñòâ I, II, IV, V II íà äóãå α9 .Ïðåäëîæåíèå 8 äîêàçàíî.Âåðí¼ìñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 15.Äëÿ òî÷åê A1 , A3 , B1 , B3 íà ðåáðå êðóãîâîé ìîëåêóëû B - A ìåòêà r = 0 âñèëó ïðåäëîæåíèÿ 7. Äëÿ òî÷åê A2 , B2 , A4 , B4 , c ó÷¼òîì ïðåäëîæåíèÿ 6, íàìîñòà¼òñÿ âû÷èñëèòü ìåòêè r íà ð¼áðàõ, âåäóùèõ â àòîìû A.Ðàññìîòðèì ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè A2 , îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâóVI.
Îíî ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèè α8 è α7 . Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè Y2èìååì r[α8 δ2 ] = 0, òî÷êè Y3 - r[δ2 α7 ] = ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëóñëîæåíèÿ ìåòîê r[α8 α7 ] = 0. Òåïåðü ðàññìîòðèì ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëûòî÷êè A2 , îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâó V. Îíî ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèè α8 è α7 .Ðàññìîòðèì òî÷êó Y2 (ðèñ. 3.1), r[α8 γ1 ] = ∞, èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êèY4 - r[γ1 β10 ] = 0, èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè Y5 èìååì r[β10 α7 ] = ∞.Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ìåòîê r[α8 α7 ] = 0.Ðàññìîòðèì ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè B2 , îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâóVII. Îíî ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèè β8 è β7 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
