Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè X2èìååì r[β8 γ2 ] = 0, òî÷êè X3 - r[γ2 β7 ] = ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëó83ñëîæåíèÿ ìåòîê r[β8 β7 ] = 0. Òåïåðü ðàññìîòðèì ðåáðî êðóãîâîé ìîëåêóëûòî÷êè B2 , îòíîñÿùååñÿ ê ñåìåéñòâó IV. Îíî ñîåäèíÿåò áèôóðêàöèè β8 è β7 .Ðàññìîòðèì òî÷êó X2 (ðèñ. 3.1), r[β8 δ1 ] = ∞, èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êèX4 - r[δ1 α10 ] = 0, èç êðóãîâîé ìîëåêóëû òî÷êè X5 èìååì r[α10 β7 ] = ∞.Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ìåòîê r[β8 β7 ] = 0. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:• òî÷êà A4 (ðàññìàòðèâàÿ êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê X1 , X3 ):ñåìåéñòâî VII: r[α9 β7 ] = 0, r[β7 γ2 ] = ∞ ⇒ r[α9 γ2 ] = 0,ñåìåéñòâî II: r[α9 β7 ] = 0, r[β7 γ2 ] = ∞ ⇒ r[α9 γ2 ] = 0.• òî÷êà B4 (ðàññìîòðèâàÿ êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê Y1 , Y3 ): :ñåìåéñòâî VI: r[β9 α7 ] = 0, r[α7 δ2 ] = ∞ ⇒ r[β9 δ2 ] = 0,ñåìåéñòâî III: r[β9 α7 ] = 0, r[α7 δ2 ] = ∞ ⇒ r[β9 δ2 ] = 0.Ðàññìîòðèì êðóãîâûå ìîëåêóëû òî÷åê Uj , Vj (j=1,2,3).
Ñ ó÷¼òîì ïðåäëîæåíèÿ 7, íà ð¼áðàõ, ñîåäèíÿþùèõ äâà ñåäëîâûõ àòîìà, ìåòêè r = ∞. Íåäîñòàþùèå ìåòêè â ìîëåêóëàõ òî÷åê Uj , Vj (j=1,2,3) íåëüçÿ âû÷èñëèòü, ïîëüçóÿñüëèøü ïðàâèëîì ñëîæåíèÿ ìåòîê. Ïîýòîìó äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû áóäåò ïðîäîëæåíî â ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ, è íåäîñòàþùèå ìåòêè áóäóò îïðåäåëåíû ïîôîðìóëàì Òîïàëîâà.×òîáû ïðèìåíÿòü ôîðìóëû Òîïàëîâà íåîáõîäèìî çíàòü òîïîëîãèþ êðóãîâîé 3-ïîâåðõíîñòè Q, òàê êàê òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû Q (ãðóïïû ãîìîëîãèé, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò ìåòîê ìîëåêóëû.Êàê ïîêàçàë Ï.
È. Òîïàëîâ â [2] ýòè ôóíêöèè ìîæíî ÿâíî âûïèñàòü âî ìíîãèõñëó÷àÿõ.  ðåàëüíûõ ïðèìåðàõ ìíîãîîáðàçèå Q îáû÷íî óñòðîåíî íåñëîæíî.Ïîýòîìó, çíàÿ òîïîëîãèþ Q, ìîæíî ïîëó÷èòü íåêîòîðûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷èñëîâûìè ìåòêàìè ìîëåêóëû, êîòîðûå ïîçâîëÿò âû÷èñëèòü íåäîñòàþùèåìåòêè r, ε, n. ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû òîïîëîãè÷åñêèå òèïû êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ îñíîâíûõ 3-àòîìîâ:843-àòîìòèï êðóãîâîãî ìíîãîîáðàçèÿðåãóëÿðíàÿ òî÷êàT3AS1 × S2A∗H3BS1 × (S2 + 2g)C2S1 × (S2 + 3g)Çäåñü (S2 + N g) - ñôåðà ñ N ðó÷êàìè, H3 - ðàññëîåíèå Çåéôåðòà ñî ñëîåìîêðóæíîñòü è áàçîé T2 ñ äâóìÿ îñîáûìè òî÷êàìè òèïà (2,1). ñëåäóþùåé òåîðåìå îïðåäåëèì òîïîëîãè÷åñêèå òèïû êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé Q3τ âñåõ âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àåÊîâàëåâñêîé-ßõüè.
Äëÿ òî÷åê A1 , B1 , A2 , B2 , U1 , V1 , U2 , V2 òèïû êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé áûëè îïðåäåëåíû ðàíåå, òàê êàê ýòè òî÷êè âîçíèêàëè â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé è â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðè g = 0. Òàê êàêâ [1] äëÿ ýòèõ òî÷åê äîêàçàòåëüñòâî íå ïðèâîäèòñÿ, ïðèâåä¼ì åãî çäåñü äëÿïîëíîòû èçëîæåíèÿ.Òåîðåìà 16. (Í.Ñ. Ñëàâèíà) Êðóãîâûå ìíîãîîáðàçèÿ, ëåæàùèå â ïðîîáðà-çå îêðåñòíîñòåé îñîáûõ òî÷åêAi , Biñëåäóþùèå òîïîëîãè÷åñêèå òèïû:85(i=1,2,3, 4),Uj , Vj(j=1,2,3), èìåþòòî÷êàòîïîëîãè÷åñêèé òèï êðóãîâîãî ìíîãîîáðàçèÿA1T3B1T3A22T3B22T3A3T3B3T3A42T3B42T3U1S1 × (S2 + 2g)U22H3U3S1 × (S2 + 2g)SS1 × S2 H3SS1 × S2 S1 × (S2 + 2g)SS1 × S2 H3V1V2V3Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì òî÷êó A1 .
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà â îêðåñò-íîñòè ýòîé òî÷êè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 3.7.Âîçüì¼ì êîíòóð ABC0 D0 è ïðîèçâåä¼ì åãî äåôîðìàöèþ â êîíòóð ABC1 D1 .Çâåíüÿ AC0 , BD0 èñïûòûâàþò ãëàäêóþ èçîòîïèþ, íå âñòðå÷àÿ òî÷åê áèôóðêàöèé. Ïðîîáðàç îòðåçêà Ci Di (i=0,1), îïðåäåëÿåòñÿ â M 4 óðàâíåíèåìH = const. Åù¼ ìû çíàåì èç òåîðåìû 12, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷êè A1 íåòêðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãàìèëüòîíèàíà H . Ïîýòîìó òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ ê ïðîîáðàçå êîíòóðà íå èçìåíèòñÿ ïðè äåôîðìàöèè.
Èòàê, êðóãîâîåìíîãîîáðàçèå ðàññìàòðèâàåìîé îñîáåííîñòè òî÷êè A1 , ëåæàùåå â ïðîîáðàçåêîíòóðà ABC0 D0 òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ òîðîì T3 , òàê êàê êîíòóð ABC1 D1îïðåäåëÿåò êðóãîâóþ ìîëåêóëó ðåãóëÿðíîé òî÷êè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì, ÷òî êðóãîâûå ìíîãîîáðàçèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèåîñîáûì òî÷êàì B1 , A3 , B3 , òàêæå ÿâëÿåòñÿ òîðàìè T3 , à êðóãîâûå ìíîãîîáðàçèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå îñîáûì òî÷êàì U1 , U3 ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè ïðîèçâåäåíèÿìè îêðóæíîñòè íà äâóìåðíóþ ñôåðó ñ g ðó÷êàìè S1 × (S2 + 2g).86Ðèñ.
3.7: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â îêðåñòíîñòÿõ âûðîæäåííûõ îäíîìåðíûõ îðáèò87Òåïåðü ðàññìîòðèì îñîáóþ òî÷êó A2 . Ýòîé òî÷êå îòâå÷àþò äâå íåñâÿçíûåîñîáåííîñòè (ïðåäëîæåíèå 8), êîòîðûå îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà ñïðîåöèðîâàíû â îäíó òî÷êó áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íàëè÷èåäëÿ íå¼ äâóõ êðóãîâûõ ìîëåêóë.
Íà ðèñ. 3.7 èçîáðàæåíû áèôóðêàöèîííûåäèàãðàììû â îêðåñòíîñòè äàííîé îñîáåííîñòè. Ïðîèçâåä¼ì äåôîðìàöèè êîíòóðîâ ABC0 D0 è EF G0 H0 â êîíòóðû ABC1 D1 è EF G1 H1 ñîîòâåòñòâåííî.Ïðè ýòîì òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ â ïðîîáðàçå êîíòóðà íå èçìågíèòñÿ: ïðîîáðàçû îòðåçêîâ Ci Di (i=0,1) è Gi Hi (i=0,1) îïðåäåëÿþòñÿ â M4óðàâíåíèÿìè H = const, à èç òåîðåìû 12 èçâåñòíî, ÷òî êðèòè÷åñêèõ òî÷åêãàìèëüòîíèàíà H â îêðåñòíîñòè A2 íåò. Îñòàëüíûå çâåíüÿ êîíòóðà èñïûòûâàþò ãëàäêóþ èçîòîïèþ, íå âñòðå÷àÿ òî÷åê áèôóðêàöèé.
Êîíòóðû ABC1 D1è EF G1 H1 îïðåäåëÿþò êðóãîâûå ìîëåêóëû ðåãóëÿðíûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì. Çíà÷èò, êðóãîâûå ìíîãîîáðàçèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ îñîáåííîñòåé òî÷êè A2 , ëåæàùèå â ïðîîáðàçàõ êîíòóðîâ ABC0 D0 è EF G0 H0 òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ òîðàìè T3 . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì, ÷òî êðóãîâîå ìíîãîîáðàçèå, ñîîòâåòñòâóþùåå îñîáîé òî÷êå B2 , òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì äâóõ òîðîâ T3 .Ðàññìîòðèì áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó â îêðåñòíîñòè òî÷êè U2 (ðèñ.3.7).
Ýòîé òî÷êå îòâå÷àþò äâå íåñâÿçíûå îñîáåííîñòè (ïðåäëîæåíèå 8). Ðàññìîòðèì êîíòóðû ABC0 D0 è EF G0 H0 è ïðîèçâåä¼ì èõ äåôîðìàöèè â êîíòóðû ABC1 D1 è EF G1 H1 ñîîòâåòñòâåííî. Çâåíüÿ AC0 , BD0 , EG0 , F H0 èñïûòûâàþò ãëàäêóþ èçîòîïèþ, ïðîîáðàçû îòðåçêîâ Ci Di (i=0,1) è Gi Hi (i=0,1)gîïðåäåëÿþòñÿ â M4 óðàâíåíèÿìè H = const, è â îêðåñòíîñòè U2 êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãàìèëüòîíèàí H íå èìååò (ñì. òåîðåìó 12). Êîíòóðû ABC1 D1è EF G1 H1 îïðåäåëÿþò êðóãîâûå ìîëåêóëû 3-àòîìà A∗ êðèâîé β5 . Çíà÷èò,êðóãîâûå ìíîãîîáðàçèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ îñîáåííîñòåé òî÷êè U2 , ëåæàùèå âïðîîáðàçàõ êîíòóðîâ ABC0 D0 è EF G0 H0 òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèÿìè Çåéôåðòà H3 ñî ñëîåì îêðóæíîñòü è áàçîé T2 ñ äâóìÿ îñîáûìè òî÷êàìèòèïà (2,1).Çàìåòèì, ÷òî ïðîîáðàçû îêðåñòíîñòåé îñîáûõ òî÷åê V1 è V3 ïðåäñòàâëåíû88îäèíàêîâûìè êðóãîâûìè ìîëåêóëàìè.
Ïîýòîìó ðàññóæäåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîïîëîãè÷åñêîãî òèïà êðóãîâûõ ìíîãîîáðàçèé àíàëîãè÷íûå. Ïðîâåä¼ìèõ äëÿ îêðåñòíîñòè òî÷êè V1 . Ýòîé òî÷êå îòâå÷àþò äâå íåñâÿçíûõ îñîáåííîñòè (ïðåäëîæåíèå 8). Íà ðèñ. 3.7 èçîáðàæåíû áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììûâ îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè. Ïðîèçâåä¼ì äåôîðìàöèè êîíòóðîâ ABC0 D0 èEF G0 H0 â êîíòóðû ABC1 D1 è EF G1 H1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì òîïîëîãè÷åñêèé òèï ìíîãîîáðàçèÿ â ïðîîáðàçå êîíòóðà íå èçìåíèòñÿ: ïðîîáðàçû îòðåçgêîâ Ci Di (i=0,1) è Gi Hi (i=0,1) îïðåäåëÿþòñÿ â M4 óðàâíåíèÿìè H = const,à èç òåîðåìû 12 èçâåñòíî, ÷òî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ãàìèëüòîíèàíà H â îêðåñòíîñòè V1 íåò.
Îñòàëüíûå çâåíüÿ êîíòóðà èñïûòûâàþò ãëàäêóþ èçîòîïèþ, íåâñòðå÷àÿ òî÷åê áèôóðêàöèé. Êîíòóð ABC1 D1 îïðåäåëÿåò êðóãîâóþ ìîëåêóëóíåîñîáîé òî÷êè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, áîëåå òî÷íî êðóãîâóþ ìîëåêóëó 3-àòîìà A êðèâîé β6 , êîíòóð EF G1 H1 îïðåäåëÿåò êðóãîâóþ ìîëåêóëó3-àòîìà A∗ êðèâîé β5 . Çíà÷èò, êðóãîâîå ìíîãîîáðàçèå ðàññìàòðèâàåìîé îñîáîé òî÷êè V1 , ëåæàùåå â ïðîîáðàçå êîíòóðà ABC0 D0 òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì îêðóæíîñòè íà äâóìåðíóþ ñôåðó S1 × S2 , à êðóãîâîåìíîãîîáðàçèå, ëåæàùåå â ïðîîáðàçå êîíòóðà EF G0 H0 òîïîëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèÿìè Çåéôåðòà H3 ñî ñëîåì îêðóæíîñòü è áàçîé T2 ñ äâóìÿîñîáûìè òî÷êàìè òèïà (2,1).Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü îñîáóþ òî÷êó V2 .
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà âîêðåñòíîñòè òî÷êè ýòîé òî÷êè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 3.7. Òî÷êå V2 îòâå÷àþò äâåíåñâÿçíûõ îñîáåííîñòè. Ïîýòîìó äëÿ ïðîîáðàçà òî÷êè V2 ïîñòðîåíû äâå êðóãîâûå ìîëåêóëû. Ðàññìîòðèì êîíòóðû ABC0 D0 è EF G0 H0 è ïðîèçâåä¼ì èõäåôîðìàöèè â êîíòóðû ABC1 D1 è EF G1 H1 . Çâåíüÿ AC0 , BD0 , EG0 , F H0 èñïûòûâàþò ãëàäêóþ èçîòîïèþ, ïðîîáðàçû îòðåçêîâ Ci Di (i=0,1) è Gi Hi (i=0,1)gîïðåäåëÿþòñÿ â M4 óðàâíåíèÿìè H = const, è â îêðåñòíîñòè V2 ãàìèëüòîíèàí H íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê (ñì. òåîðåìó 12). Êîíòóð ABC1 D1 îïðåäåëÿåò êðóãîâóþ ìîëåêóëó 3-àòîìà A êðèâîé β6 , êîíòóð EF G1 H1 îïðåäåëÿåòêðóãîâóþ ìîëåêóëó 3-àòîìà B êðèâîé β9 .
Çíà÷èò, êðóãîâîå ìíîãîîáðàçèå ðàññìàòðèâàåìîé îñîáîé òî÷êè V2 , ëåæàùåå â ïðîîáðàçå êîíòóðà ABC0 D0 òîïî89ëîãè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì îêðóæíîñòè íà äâóìåðíóþ ñôåðó S1 × S2 , à êðóãîâîå ìíîãîîáðàçèå, ëåæàùåå â ïðîîáðàçå êîíòóðà EF G0 H0 ïðÿìûìè ïðîèçâåäåíèÿìè îêðóæíîñòè íà äâóìåðíóþ ñôåðó ñ g ðó÷êàìèS1 × (S2 + 2g).Òåîðåìà 16 äîêàçàíà.90Ãëàâà 4Âûáîð áàçèñíûõ öèêëîâ â ñåìåéñòâàõòîðîâ è âû÷èñëåíèå íåäîñòàþùèõ ìåòîêêðóãîâûõ ìîëåêóë âûðîæäåííûõîäíîìåðíûõ îðáèò.4.1Ïîñòðîåíèå äîïóñòèìûõ ñèñòåì êîîðäèíàò.Äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ñåäëîâûõ àòîìàõ âûáåðåì èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ òî÷åê X1 , Y1 , Z1 òèïà ñåäëîñåäëî.
Òàêàÿ ïðîöåäóðà ïðîäåëàíà â [1] äëÿ êëàññè÷åñêîãî ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé, ãäå îñîáåííîñòè òèïà ñåäëî-ñåäëî â òî÷íîñòè òàêèå æå.Ðàññìîòðèì òî÷êó Z1 . Îíà èìååò òèï ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ (B ×C2 )/Z2 . Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû [1], ïîëó÷àåì:(λβ5 ,(λβ5 ,λβ5 +λα4)2λβ5 +λα4)2(I)(I)(II)(IV )−−→ A∗β5 −−→ (λβ5 , −λα5 ),−−→ A∗β5 −−→ (λβ5 , −λα5 ),(I)(λα5 , −λβ5 ) −−→(IV )(λα5 , −λβ5 ) −−→λα4 +λβ5)2λ +λ(λα4 , − α4 2 β5 )(λα4 , −(I)C2α5−−→ (λα5 , λβ4 )(III)−−−→ (λα5 , λβ4 ),(I)−−→(II)−−→(I)Bα4 −−→ (λα4 , λα4 + λβ4 ),91(I)(I)(λβ4 , λα4 ) −−→ Bβ4−−→ (λβ4 , −λα5 )(III)−−−→ (λβ4 , −λα5 ).Ñòðåëêè íà ð¼áðàõ óêàçûâàþò íàïðàâëåíèå âîçðàñòàíèÿ èíòåãðàëà K . Ðèìñêèå öèôðû íàä ð¼áðàìè ïîêàçûâàþò íîìåðà ñåìåéñòâ òîðîâ Ëèóâèëëÿ, à èíäåêñû ó öèêëîâ λ è îáîçíà÷åíèé àòîìîâ ñîîòâåòñòâóþò äóãå áèôóðêàöèîííîéäèàãðàììû.Ðàññìîòðèì îñîáóþ òî÷êó X1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
