Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ýòè òîðû åñòåñòâåííûìîáðàçîì ãðóïïèðóþòñÿ â ñåìåéñòâà. Îíè îáîçíà÷åíû ðèìñêèìè öèôðàìèI − V II (ñì.ðèñ. 2.4). ×èñëî òîðîâ â êàæäîì ñåìåéñòâå óêàçàíî â ñëåäóþ-ùåé òàáëèöå:42Ðèñ. 2.3: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé è ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé-ßõüèâíóòðè êàìåð 1, 2, 6, 743ñåìåéñòâî÷èñëî òîðîâ ËèóâèëëÿI1II2III1IV1V1VI1VII2Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äîêàçàíà M. Ï. Õàðëàìîâûì â [29, 9]. Çäåñü îíà ïðèâîäèòñÿ â îáîçíà÷åíèÿõ, âçÿòûõ èç [1].Òåîðåìà 9. (Ì. Ï. Õàðëàìîâ) Ïðèλ=0â ïðîîáðàçàõ âñåõ ãëàäêèõ äóã áè-ôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ëåæàò áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè òîðîâ Ëèóâèëëÿ,êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè 3-àòîìàìè:äóãè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììòèï 3-àòîìàα1 , γ1 , γ4Aδ1 , δ2 , α2 , γ72Aγ22A∗β1 , γ3 , γ5Bβ3 , γ62Bβ2C2×èñëî òîðîâ Ëèóâèëëÿ â êàæäîì ñåìåéñòâå (1)-(5) (ñì.
ðèñ. 2.3) óêàçàíîâ ñëåäóþùåé òàáëèöå:ñåìåéñòâî÷èñëî òîðîâ Ëèóâèëëÿ(1)1(2)2(3)2(4)1(5)244Ðèñ. 2.4: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé-ßõüè ïðèÊîâàëåâñêîé-ßõüè âíóòðè êàìåð 1, 2', 6', 7'45g = 0è ñëó÷àÿ2.3.2Òåîðåìà î áîòòîâîñòè.Òåîðåìà 10. (Í. C. Ñëàâèíà [23])  èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè â ïðîîáðàçàõ âñåõ ãëàäêèõ äóã áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê íà íèõ, ëåæàò áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè òîðîâËèóâèëëÿ.Çàìå÷àíèå 4.  èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå Êîâàëåâñêîéßõüè áîòòîâîñòü ÿâ-íî íå äîêàçàíà.
Íî èç íåâûðîæäåííîñòè êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàíãà íîëü ñëåäóåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè ýòèõ òî÷åê ëåæàò áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè.Ýòà èäåÿ ëåæèò â îñíîâå äîêàçàòåëüñòâà ïðåäûäóùåé òåîðåìû.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðîâåðêà áîòòîâîñòè ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå íåâûðîæäåííî-ñòè ãåññèàíà d2 K . Äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë è ôóíêöèè, êîòîðûå çàäàþòáèôóðêàöèîííûå êðèâûå Σi íà ïëîñêîñòè R2 (h, k), ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû d2 K çàäà¼òñÿ ìíîãî÷ëåíîì. Òàêèì îáðàçîì ïðîâåðêà íåâûðîæäåííîñòè ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå òîãî, ÷òî ìíîãî÷ëåí íå ðàâåííóëþ.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íà êîíöå êàæäîé äóãè äèàãðàììû ëåæèò òî÷êà, ïðîîáðàç êîòîðîé ñîäåðæèò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ýòîò ôàêò, à òàêæåóòâåðæäåíèå î íåâûðîæäåííîñòè ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ (òåîðåìà 13) áóäóòäîêàçàíû äàëåå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè òàêèõ òî÷åê ïåðåñòðîéêèáîòòîâñêèå. Áîëåå òîãî, áîòòîâîñòü äîëæíà ñîõðàíÿòüñÿ íà ó÷àñòêàõ, óäàë¼ííûõ îò ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëàòî÷åê íà ýòèõ ó÷àñòêàõ.
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî áîòòîâîñòü íàðóøàåòñÿ íàêàêîì-òî ó÷àñòêå (íà öåëîé äóãå), òî ãåññèàí äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà, êîòîðûé çàäà¼òñÿ ìíîãî÷ëåíîì, äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ, ÷åãî íå ìîæåò áûòü,òàê êàê, åñëè àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ íà îòðåçêå, òî îíà òîæäåñòâåííûé íîëü. Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿíåâûðîæäåíû. Òåîðåìà äîêàçàíà.Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 8, 9, ìîæíî îïèñàòü ïåðåñòðîéêè òîðîâ â êàìåðàõ áëèçêèõ ê îñÿì.  ïðåäïîëîæåíèè áîòòîâîñòè ìîæíî îñóùåñòâèòü ïåðåõîä âíóòðü46êàìåð 1, 2, 2', 6, 6', 7, 7' ñ ãðàíèö, è òàêèì îáðàçîì ïåðåíåñòè ïåðåñòðîéêè èñåìåéñòâà òîðîâ.2.3.3Ïåðåõîä âíóòðü êàìåð 1, 2, 2', 6, 6', 7, 7' ñ ãðàíèö.
Îïðåäåëåíèå ïåðåñòðîåê âî âñåõ êàìåðàõ. êàìåðàõ 1, 1' - 9, 9' íà ðèñóíêàõ 2.5-2.13 ãëàäêèå äóãè áèôóðêàöèîííûõäèàãðàìì îáîçíà÷åíû ìàëûìè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè ñ èíäåêñàìè.Çàìå÷àíèå 5. Âíóòðü êàìåðû 1 ìîæíî ïîïàñòü ñ íèæíåé ãðàíèöû (è ñ ëåâîé áîêîâîé ãðàíèöû (g= 0)λ = 0)(ñì. ðèñ. 2.3, 2.4). Òàê êàê íà ýòèõ ãðà-íèöàõ îáîçíà÷åíèÿ íå ñîãëàñîâàíû, òî âîçíèêíóò ðàçíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿîäíèõ è òåõ æå äóã äèàãðàììû è ñåìåéñòâ òîðîâ (ñì. òåîðåìû 8, 9 ). Ïîýòîìó â[38] áûëè ââåäåíû åäèíûå îáîçíà÷åíèÿ âî âñåõ 18 êàìåðàõ (ò.å.äóãè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, êîòîðûå íå ïåðåñòðàèâàþòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû â êàìåðó, îáîçíà÷åíû îäèíàêîâî).
Òàáëèöà 2.1 (âçÿòàÿ èç [38])ïðèâîäèò ñîîòâåòñòâèå ðàçíûõ îáîçíà÷åíèé (âîçíèêøèõ èç òåîðåì 8, 9 èîáùåãî ñëó÷àÿ) îäíèõ è òåõ æå äóã áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íà ãðàíèöàõ êàìåð è âíóòðè íèõ. Ñ ó÷¼òîì òåîðåì 8, 9, 11 â òàáëèöå óêàçàí òèïïåðåñòðîéêè íà äóãàõ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.Òåîðåìà 11. (Í.
Ñ. Ñëàâèíà)  ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé-ßõüè â êàìåðàõ 1, 1' - 9,9' (ñì. ðèñ. 2.5-2.13) â ïðîîáðàçå âñåõ ãëàäêèõ äóã áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììëåæàò áîòòîâñêèå ïåðåñòðîéêè ñëåäóþùèõ òèïîâ:äóãè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììòèï 3-àòîìàα1 , β1 , α3 , β3 , γ1 , δ1Aβ6 , α8 , β8 , α10 , β10 , γ2 , δ22Aβ52A∗α2 , β2 , α4 , β4Bα7 , β7 , α9 , β92Bα5C247Ðèñ. 2.5: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 1, 1'48Ðèñ. 2.6: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 2, 2'49Ðèñ. 2.7: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 3, 3'50Ðèñ. 2.8: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 4, 4'51Ðèñ.
2.9: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 5, 5'52Ðèñ. 2.10: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 6, 6'53Ðèñ. 2.11: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 7, 7'54Ðèñ. 2.12: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 8, 8'55Ðèñ. 2.13: Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû â êàìåðàõ 9, 9'56Òàáëèöà 2.1: Ñîîòâåòñòâèå îáîçíà÷åíèé â ñëó÷àÿõ Êîâàëåâñêîé, Êîâàëåâñêîé-ßõüè èÊîâàëåâñêîé-ßõüè ïðèÑëó÷àéλ=0α1γ1−γ5−γ4β1γ3β2γ2−−γ6−γ7β3−α2−δ1 δ2−δ1γ1 γ4−−−−g=0Îáùèé ñëó÷àéα1β1α2β2α3β3α4β4α5β5β6α7β7α8β8α9β9α10β10α10 γ2β10 δ2α1 α3β1 β3γ1δ1γ2δ2Ñëó÷àég=0α1α2β3−α4−β2β1γδ1 , δ2α5 , α6β4−α7−−β5 , β6−α9 , α10−α3 , α8α11 , α12α3−−−−Òèï ïåðåñòðîéêèAABBAABBC22A∗2A2B2B2A2A2B2B2A2A4A4A2A2AAA2A2A57Äîêàçàòåëüñòâî.Çàìåòèì, ÷òî âåðòèêàëüíàÿ ëåâàÿ ãðàíèöà êàìåð 1, 2', 6', 7'ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ g = 0, à íèæíÿÿ ãðàíèöà êàìåð 1, 2, 6, 7 ñîîòâåòñòâóåòñëó÷àþ λ = 0. Íà ãðàíèöàõ èçâåñòíû ïåðåñòðîéêè è êîëè÷åñòâî òîðîâ (òåîðåìû 8, 9).
 ïðåäïîëîæåíèè áîòòîâîñòè ìîæíî îñóùåñòâèòü ïåðåõîä, ïðîäîëæàÿ ïåðåñòðîéêè è ñåìåéñòâà òîðîâ, ñ îñè g = 0 (ãðàíèöû êàìåð) âíóòðüêàìåð 1, 2' è ñ îñè λ = 0 (ãðàíèöû êàìåð) âíóòðü êàìåð 1, 2 (ñì. ðèñ. 2.4, ðèñ.2.3).  îñòàëüíûõ êàìåðàõ ïåðåñòðîéêè è ñåìåéñòâà òîðîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïóò¼ì ïåðåõîäà èç ñîñåäíèõ êàìåð (ñì. ðèñ. 2.1). Òàêèì ñïîñîáîì îïðåäåëÿþòñÿïåðåñòðîéêè íà âñåõ äóãàõ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, êðîìå äóã γ1 , γ2 , δ1 , δ2â êàìåðàõ 1', 3, 3' - 9, 9'. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïåðåñòðîéêè áóäóò îïðåäåëåíûâ ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ (ñì. ïðåäëîæåíèå 5). Çäåñü æå ïðèâîäèòñÿ îòâåò äëÿïîëíîòû.Êàìåðû 1, 2 è 2'Ïðè ïåðåõîäå ñ âåðòèêàëüíîé ãðàíèöû êàìåð 1 è 2' âíóòðü äóãà α3 , êîòîðîéñîîòâåòñòâîâàëà ïåðåñòðîéêà 2A, ðàñïàäàåòñÿ íà äâå äóãè ñ ïåðåñòðîéêàìè A.Îáîçíà÷èì ýòè äóãè β1 è β3 .
Òî÷êà z1 ïåðåõîäèò â òî÷êó âîçâðàòà B1 . Ïîÿâëÿåòñÿ íîâàÿ òî÷êà êàñàíèÿ U1 , ñïðàâà îò êîòîðîé îòñåêàåòñÿ ÷àñòü êðèâîéΣ2 (ñì. [19]), à íà êðèâîé Σ1 ïîÿâëÿåòñÿ íîâàÿ ïåðåñòðîéêà. Îáîçíà÷èì äóãóñ íîâîé ïåðåñòðîéêîé β2 . Ïðè òàêîì ïåðåõîäå îñòàëüíàÿ ÷àñòü äèàãðàììû íåìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó âñå ïåðåñòðîéêè ïåðåíîñÿòñÿ.Ïðè ïåðåõîäå ñ íèæíåé ãðàíèöû êàìåð 1 è 2 äóãà δ1 ñ ïåðåñòðîéêîé 2A ðàñïàäàåòñÿ íà äâå äóãè α1 è α3 ñ ïåðåñòðîéêàìè A, òî÷êà e1 ïåðåõîäèò â òî÷êóâîçâðàòà A1 , è ïîÿâëÿåòñÿ íîâàÿ òî÷êà êàñàíèÿ V1 . Ïåðåñòðîéêè âõîäÿùèõ èâûõîäÿùèõ èç íå¼ äóã èçâåñòíû â ñèëó ïåðåõîäà ñ îñè g = 0. Îñòàëüíàÿ ÷àñòüäèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ ïðè äàííîì ïåðåõîäå, ïîýòîìó îñòàëüíûå ïåðåñòðîéêè ïåðåíîñÿòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ èçâåñòíà ïåðåñòðîéêà íà äóãå β2(ñì. ðèñ. 2.3).Êàìåðà 3Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 2 â êàìåðó 3 êëþâ ñ òî÷êîé âîçâðàòà B2 ïåðåñåêàåò äóãó α3 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç X2 è X3 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êëþâà ñ äóãîé58α3 , à íîâóþ òî÷êó âîçâðàòà - ÷åðåç B3 . Íà äóãàõ X2 X3 , B3 X2 âîçíèêàþò íåèçâåñòíûå ïåðåñòðîéêè. Îáîçíà÷èì ýòè äóãè γ2 è δ1 ñîîòâåòñòâåííî. Äóãà B3 X3- ïðîäîëæåíèå äóãè β2 , ïîýòîìó ïåðåñòðîéêà íà ýòîé äóãå èçâåñòíà, è îáîçíà÷åíèå äóãè ñîõðàíåíî. Îñòàëüíûå ïåðåñòðîéêè ïåðåíîñÿòñÿ, òàê êàê äðóãàÿ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ.Êàìåðà 6Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 3 â êàìåðó 6 êëþâ ñ òî÷êîé âîçâðàòà B3 ïåðåñåêàåò äóãó α1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç X4 è X5 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êëþâà ñ äóãîéα1 .
Íà äóãå X4 X5 âîçíèêàåò íåèçâåñòíàÿ ïåðåñòðîéêà. Îáîçíà÷èì ýòó äóãóα10 . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïåðåñòðîéêà áóäåò îïðåäåëåíà íèæå, â êàìåðå 7.Òàê êàê äðóãàÿ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ, òî äðóãèåïåðåñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêè ïåðåíîñÿòñÿ.Êàìåðà 7Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 6 â êàìåðó 7 òî÷êè X1 è X3 ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êåA1 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàåò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà A4 .
 ðåçóëüòàòåýòîãî ïåðåõîäà íå âîçíèêàåò íîâûõ äóã ñ íåèçâåñòíûìè ïåðåñòðîéêàìè.Òàêæå â êàìåðó 7 ìîæíî ïîïàñòü ñ íèæíåé ãðàíèöû (λ = 0). Ïðè òàêîìïåðåõîäå äóãà δ1 ñ ïåðåñòðîéêîé 2A ðàñïàäàåòñÿ íà äóãè α1 è α3 ñ ïåðåñòðîéêàìè A. Òî÷êà e2 ïåðåõîäèò â òî÷êó âîçâðàòà A4 , âîçíèêàþò äóãè δ1 è γ2 ñíåèçâåñòíûìè ïåðåñòðîéêàìè, ïîÿâëÿåòñÿ òî÷êà êàñàíèÿ V1 . Äóãà α2 ïåðåõîäèò â äóãó α10 , à çíà÷èò äóãå α10 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêà 2A.Êàìåðà 8Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 7 â êàìåðó 8 òî÷êè X2 è U2 ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êåA4 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàþò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà A3 , íîâàÿ òî÷êàêàñàíèÿ V3 è íîâàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ Z2 . Äóãè V3 Z2 è V3 A3 - ïðîäîëæåíèå äóãβ6 è α2 ñîîòâåòñòâåííî, ïîýòîìó ïåðåñòðîéêè íà íèõ èçâåñòíû, è îáîçíà÷åíèåäóã ñîõðàíåíî. Åù¼ îäíà íåèçâåñòíàÿ ïåðåñòðîéêà âîçíèêàåò íà äóãå A3 Z2 .Îáîçíà÷èì ýòó äóãó γ1 .
Îñòàëüíûå ïåðåñòðîéêè ïåðåíîñÿòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.Êàìåðà 9Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 8 â êàìåðó 9 òî÷êè V1 è V3 ïðèáëèæàþòñÿ äðóã ê59äðóãó, çàòåì îíè èñ÷åçàþò, ïðîïàäàþò ñîåäèíÿþùèå èõ äóãè β5 è α3 . Îñòàëüíàÿ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó ïåðåíîñèì ïåðåñòðîéêè.Êàìåðà 4Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 3 â êàìåðó 4 òî÷êè X1 è X3 ïðèáëèæàþòñÿ êòî÷êå A1 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàåò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà.
ż íóæíîîáîçíà÷èòü A4 , êàê è âîçíèêøóþ â êàìåðå 7 òî÷êó âîçâðàòà. Êàìåðà 4 ãðàíè÷èò ñ êàìåðîé 7 (ñì. ðèñ. 2.1), ïîýòîìó ìîæíî îñóùåñòâèòü ïåðåõîä èç îäíîéêàìåðû â äðóãóþ. Ïðè òàêîì ïåðåõîäå èç êàìåðû 7 â êàìåðó 4 ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó âîçâðàòà A4 , íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìóîáîçíà÷åíèå òî÷êè ïåðåíîñèòñÿ â êàìåðó 4.Êàìåðà 5Ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû 4 â êàìåðó 5 òî÷êè X2 è U2 ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êåA4 , çàòåì îíè èñ÷åçàþò, è âîçíèêàþò íîâàÿ òî÷êà âîçâðàòà A3 , íîâàÿ òî÷êàêàñàíèÿ V3 è íîâàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ Z2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
