Топологическая классификация интегрируемых систем типа Ковалевской-Яхьи (1105032), страница 4
Текст из файла (страница 4)
, fn (x)). Òàê êàê ñèñòåìà v èíòåãðèðóåìà ïî Ëèóâèëëþ, òî îïðåäåëåíî ãëàäêîå ñèìïëåêòè÷åñêîå äåéñòâèå àáåëåâîé ãðóïïûRn , ïîðîæäåííîå ïîëÿìè sgrad fi . Ïî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ ñâÿçíûå ðåãóëÿðíûåêîìïàêòíûå îðáèòû ýòîãî äåéñòâèÿ äèôôåîìîðôíû n-ìåðíîìó òîðó T n .Îïðåäåëåíèå 8. Ñëîåíèå íà ìíîãîîáðàçèèM 2n ,ñëîÿìè êîòîðîãî ÿâëÿ-þòñÿ ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ èíòåãðàëîâf1 , . .
. , f n ,íàçûâàåòñÿ ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ.Òàêèì îáðàçîì, ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ñîñòîèò èç ðåãóëÿðíûõ ñëîåâ (íåâûðîæäåííûõ îðáèò, ò.å. òîðîâ Ëèóâèëëÿ) è ñèíãóëÿðíûõ ñëîåâ (êîòîðûå, âîîáùåãîâîðÿ, ìîãóò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ îðáèò).Îïðåäåëåíèå 9. Áèôóðêàöèîííûì êîìïëåêñîìCnäàííîé èíòåãðèðóåìîéñèñòåìû íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî÷êàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñëîè ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ.Áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì.Ïðåäëîæåíèå 1. (A. Ò. Ôîìåíêî[25, 26, 27]) Ïóñòü èíòåãðèðóåìàÿ ãà-ìèëüòîíîâà ñèñòåìà íåðåçîíàíñíà.
Òîãäà áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñçàâèñèò îò âûáîðà îáðàçóþùèõ ãðóïïûH ôèêñèðîâàí, òî C nf2 , ..., fn .àíCníåRn .  ÷àñòíîñòè, åñëè ãàìèëüòîíè-íå çàâèñèò îò âûáîðà äîïîëíèòåëüíûõ èíòåãðàëîâÈòàê, áèôóðêàöèîííûé êîìïëåêñ C n ñîâïàäàåò ñ ïðîñòðàíñòâîì êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ïðîîáðàçîâ îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà µ è íå çàâèñèò (â íåðåçî21íàíñíîì ñëó÷àå) îò âûáîðà äîïîëíèòåëüíûõ èíòåãðàëîâ. Ïðè ýòîì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò îò ýòîãî âûáîðà.Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà µ ïðè n = 2:(1.2.1)µ = H × K : M 4 → R2 (h, k)Îïðåäåëåíèå 10.
Òî÷êàðàæåíèÿ ìîìåíòàµ,xåñëèM 4 íàçûâàåòñÿðàíã dµ(x) ìåíüøåèçêðèòè÷åñêîé òî÷êîé îòîá2. ż îáðàçµ(x)âR2 (h, k)íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì.Îïðåäåëåíèå 11. Îáðàç âñåõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåí-òà íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîéΣ.Çàìå÷àíèå 1. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ýòî îáðàç ìíîæåñòâà òî-÷åê äâóìåðíîãî áèôóðêàöèîííîãî êîìïëåêñàC 2,ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèíãó-ëÿðíûì ñëîÿì ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, ïðè ïðîåêöèè íà ïëîñêîñòüR2 (h, k),çà-äàííîé îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà.Îáû÷íî áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð ãëàäêèõðåãóëÿðíûõ êðèâûõ, èìåþùèõ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, êàñàíèÿ è âîçâðàòà.
Âîçìîæíû òàêæå è èçîëèðîâàííûå òî÷êè.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ïåðåõîäÿò â ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ âåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ.1.2.4Îñîáûå òî÷êè áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.Îñîáûå òî÷êè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Σ ýòî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, êàñàíèÿ, èçëîìà ðåãóëÿðíûõ äóã äèàãðàììû èëè æå èçîëèðîâàííûå òî÷êè, êîòîðûå ýòèì äóãàì âîîáùå íå ïðèíàäëåæàò.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî òå òî÷êè,â êîòîðûõ Σ íå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé êðèâîé (ñì. [22, ò. 1, ãë. 9]).Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà H è èíòåãðàëà K íà M 4 , îáîçíà-e èKe ñîîòâåòñòâåííî.÷èâ èõ Hx ∈ M 4 íàçûâàåòñÿeedH(x)= dK(x)= 0.Îïðåäåëåíèå 12. Òî÷êàíèåì ðàâíîâåñèÿ), åñëè22òî÷êîé ðàíãà 0 (èëè ïîëîæå-Ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïåðåõîäÿò â òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû.  ïðîîáðàçàõ òî÷åê âîçâðàòà è êàñàíèÿ ëåæàò îäíîìåðíûå âûðîæäåííûå îðáèòû, ïîñêîëüêó áèôóðêàöèîííàÿäèàãðàììà äëÿ íåâûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòû âûãëÿäèò êàê äóãà ðåãóëÿðíîé êðèâîé (ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû Ýëèàññîíà; ñì. [22, 28]).Ïóñòü íà (M 4 , ω) çàäàíà ñèñòåìà c ãàìèëüòîíèàíîì H è äîïîëíèòåëüíûìèíòåãðàëîì K .
Ïóñòü òî÷êà x ∈ M 4 òî÷êà ðàíãà 0. Òîãäà íà Tx M êîððåêòíîîïðåäåëåíû äâà ñèìïëåêòè÷åñêèõ îïåðàòîðà AH = Ω−1 d2 H è AK = Ω−1 d2 K ,ïîðîæäàþùèå â àëãåáðå Ëèsp(4, R)íåêîòîðóþ êîììóòàòèâíóþ ïîäàëãåáðóh(H, K).Îïðåäåëåíèå 13. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿåñëè ïîäàëãåáðàh(H, K)xíàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííûì,ÿâëÿåòñÿ êàðòàíîâñêîé ïîäàëãåáðîé â àëãåáðå Ëèsp(4, R).Íàïîìíèì, ÷òî êîììóòàòèâíàÿ ïîäàëãåáðà âsp(4, R)ÿâëÿåòñÿ êàðòàíîâ-ñêîé åñëè è òîëüêî åñëè îíà äâóìåðíà è ñðåäè å¼ ýëåìåíòîâ íàéä¼òñÿ ëèíåéíûé îïåðàòîð ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè.Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïðîâåðèòü íåâûðîæäåííîñòü íàéäåííûõ ïîëîæåíèéðàâíîâåñèÿ, íóæíî ïðîâåðèòü êàðòàíîâîñòü ïîäàëãåáðû h(H, K).Äëÿ íà÷àëà çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû AH è AK ñîâïàäàþò ñ ëèíåàðèçàöèÿìè âåêòîðíûõ ïîëåé sgradH è sgradK ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêîâû÷èñëÿòü ìàòðèöû, êîòîðûìè îíè çàäàþòñÿ â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Äåéñòâèòåëüíî,2∂∂(sgradH)iik ∂Hik ∂ H=(ω)=ω= (Ω−1 d2 H)ij .jjkjk∂x∂x∂x∂x ∂xÈòàê, ñíà÷àëà íóæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îïåðàòîðû AH è AK ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è çàòåì ïðîâåðèòü, ÷òî íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ λAH + µAKèìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (òàêîé ýëåìåíò íàçûâàåòñÿðåãóëÿðíûì ýëåìåíòîìàëãåáðû Ëèsp(4, R)).23Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ èçsp(4, R)ðàçáèâàþòñÿ íà ïàðû âèäàλ, −λ.
Íåâûðîæäåííûå òî÷êè ðàíãà íîëü ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü ïî òèïóñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà â ïîäàëãåáðå Êàðòàíà h(H, K):1) öåíòð-öåíòð ÷èñòî ìíèìûå êîðíè ±iA, ±iB ;2) öåíòð-ñåäëî äâà âåùåñòâåííûõ è äâà ìíèìûõ êîðíÿ ±A, ±iB ;3) ñåäëî-ñåäëî âåùåñòâåííûå êîðíè ±A, ±B ;4) ôîêóñ-ôîêóñ ÷èñòî êîìïëåêñíûå A ± iB, −A ± iB .Íåâûðîæäåííûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáëàäàþò ìíîãèìè çàìå÷àòåëüíûìè ñâîéñòâàìè.
 ÷àñòíîñòè èõ îêðåñòíîñòè â M 4 ïðåäñòàâèìû â âèäå ïî÷òèïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ 2-àòîìîâ (ñì. [22, ò. 1, ãë. 9]).Íàïîìíèì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðà ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ âñëó÷àå äâóõ ñòåïåíåé ñâîáîäû.Ïóñòü V1 è V2 äâà àòîìà ñî ñâîèìè ñèìïëåêòè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè èôóíêöèÿìè Ìîðñà f1 è f2 . Ïóñòü íà êàæäîì àòîìå ñèìïëåêòè÷åñêè äåéñòâóåòîäíà è òà æå êîíå÷íàÿ ãðóïïà G, ñîõðàíÿÿ ôóíêöèè f1 è f2 . Òîãäà íà ïðÿìîìïðîèçâåäåíèè V1 ×V2 îïðåäåëåíà ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà, êàê ñóììà äâóõñòðóêòóð àòîìîâ. Îïðåäåëåíà òàêæå ñòðóêòóðà ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ, çàäàâàåìàÿ ïàðîé êîììóòèðóþùèõ ôóíêöèé f1 , f2 . Îïðåäåëåíî äåéñòâèå ãðóïïû G,çàäàâàåìîå ôîðìóëîé ϕ(g)(x1 , x2 ) = (ϕ1 (g)(x1 ), ϕ2 (g)(x2 )), ãäå ϕi äåéñòâèåG íà àòîìå Vi .
Äåéñòâèå ϕ ñèìïëåêòè÷åñêîå è ñîõðàíÿåò ñòðóêòóðó ñëîåíèÿËèóâèëëÿ. Ìîæíî ðàññìîòðåòü ôàêòîð-ìíîãîîáðàçèå (V1 × V2 )/G. Îíî ñèìïëåêòè÷åñêîå, èìååò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, è ÿâëÿåòñÿ4-ìåðíîé îêðåñòíîñòüþ ñâÿçíîãî îñîáîãî ñëîÿ.Îïðåäåëåíèå 14. Îïèñàííàÿ âûøå ÷åòûð¼õìåðíàÿ îñîáåííîñòü íàçûâàåò-ñÿ îñîáåííîñòüþ òèïà ïî÷òè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Ýòî, à òàêæå äðóãèå âàæíûå ñâîéñòâà íåâûðîæäåííûõ îñîáåííîñòåé ïîäðîáíî îáñóæäàþòñÿ â [22, ò.
1, ãë. 9].241.2.5Ïîíÿòèå 3-àòîìà è ïîñòðîåíèå ãðóáîé ìîëåêóëû.Èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Q3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîåñåìåéñòâî ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ Tξ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû H è K ,ïàðàìåòðèçîâàííîå çíà÷åíèåì äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà K . Îòîæäåñòâëÿÿêàæäóþ êîìïîíåíòó ñâÿçíîñòè ïîâåðõíîñòè Tξ ñ òî÷êîé, ïîëó÷èì íàáîð ð¼áåð(íåêîòîðûé ãðàô) áàçó ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ. Êàæäîå ðåãóëÿðíîå ñåìåéñòâîòîðîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñåìåéñâîì, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò êàêîìó-òî ðåáðó ãðàôà.
Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ, êàæäîìó ðåáðó ýòîãîãðàôà ñîîòâåòñòâóåò ìíîãîîáðàçèå äèôôåîìîðôíîå ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþT 2 × (0, 1), à âåðøèíàì ñîîòâåòñòâóþò ñâÿçíûå ñèíãóëÿðíûå ñëîè.Ðàññìîòðèì çàìêíóòóþ òð¼õìåðíóþ îêðåñòíîñòü îñîáîãî ñëîÿ â Q3 . Åñëèôèêñèðîâàòü êîëè÷åñòâî êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé íà ñèíãóëÿðíîì ñëîå, òî âáîòòîâñêîì ñëó÷àå ñ òî÷íîñòüþ äî ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ñóùåñòâóåòëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî âîçìîæíûõ áèôóðêàöèé (ïåðåñòðîåê).Îïðåäåëåíèå 15. (À. Ò. Ôîìåíêî) Êëàññ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè çà-ìêíóòîé îêðåñòíîñòè îñîáîãî ñëîÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íàçûâàåòñÿ 3-àòîìîì.3-àòîì ýòî òð¼õìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ñî ñòðóêòóðîé ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ, ñîäåðæàùåå ðîâíî îäèí ñâÿçíûé ñèíãóëÿðíûé ñëîé.
Ãðàíèöà ñîñòîèò èçêîíå÷íîãî ÷èñëà òîðîâ. Ñëîæíîñòüþ àòîìà ðàâíà êîëè÷åñòâó êðèòè÷åñêèõîêðóæíîñòåé íà ñèíãóëÿðíîì ñëîå.  [22, ò. 1, ãë. 3] èçëîæåí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ÿâíî ïåðå÷èñëèòü âñå 3-àòîìû äàííîé ñëîæíîñòè. 3-àòîìû îáîçíà÷àþò ëàòèíñêèìè áóêâàìè ñ èíäåêñàìè è çâ¼çäî÷êàìè. Íàèáîëåå ÷àñòîâñòðå÷àþòñÿ ÷åòûðå àòîìà ñëîæíîñòè îäèí, êîòîðûå èçîáðàæåíû íà ðèñ.
1.1.2-àòîìîì íàçûâàåòñÿ ïàðà (P 2 , K), ãäå P 2 îðèåíòèðîâàííàÿ ñâÿçíàÿ êîìïàêòíàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì, à K ñâÿçíûé ãðàô â íåé òàêîé,÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) Ëèáî K ñîñòîèò òîëüêî èç îäíîé òî÷êè (èçîëèðîâàííîé âåðøèíû ñòåïåíè íîëü), ëèáî âñå âåðøèíû ãðàôà K èìåþò ñòåïåíü 4.2) Êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà P 2 \K ãîìåîìîðôíà êîëüöó S1 ×25Ðèñ. 1.1: Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ àòîìû26Ðèñ.
1.2: ÃðàôKÐèñ. 1.3: Ïðèìåðû àòîìîâ ñî çâ¼çäî÷êàìè(0, 1], è ìíîæåñòâî ýòèõ êîëåö ìîæíî ðàçáèòü íà äâà êëàññà ïîëîæèòåëüíûåêîëüöà è îòðèöàòåëüíûå êîëüöà òàê, ÷òîáû ê êàæäîìó ðåáðó ãðàôà Kïðèìûêàëî ðîâíî îäíî ïîëîæèòåëüíîå êîëüöî è ðîâíî îäíî îòðèöàòåëüíîå.Àòîìû ñî çâ¼çäî÷êàìè ñòðîÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè P âîçüì¼ì êîëüöî è îáúÿâèì ãðàôîì K ëþáóþ åãî îñåâóþ îêðóæíîñòü(ñì. ðèñ. 1.2).Îòìåòèì íà íåêîòîðûõ ð¼áðàõ ãðàôà K ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî âíóòðåííèõòî÷åê (íå ñîâïàäàþùèõ ñ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè). Îáúÿâèì èõ íîâûìè âåðøèíàìè ãðàôà K è îáîçíà÷èì èõ çâ¼çäî÷êàìè (âåðøèíû êðàòíîñòè2).
Íà ðèñ. 1.3 ñì. ïðèìåðû.Îïðåäåëåíèå 16. Àòîì(P 2 , K),ó êîòîðîãî åñòü õîòÿ áû îäíà âåðøèíà-çâ¼çäî÷êà, íàçûâàåòñÿ àòîìîì ñî çâ¼çäî÷êàìè. Åñëè òàêèõ âåðøèí íåò, òîáóäåì ãîâîðèòü îá àòîìå áåç çâ¼çäî÷åê.Îïðåäåëåíèå 17. Áóäåì íàçûâàòü 2-àòîìîì îðèåíòèðîâàííûé àòîìñî çâ¼çäî÷êàìè èëè áåç.27(P 2 , K)Ðàññìîòðèì 3-àòîì U (L) ñî ñòðóêòóðîé ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà íà í¼ì. Îáîçíà÷èì ÷åðåçπ : U (L) → P 2åãî ïðîåêöèþ íà äâóìåðíóþ áàçó P 2 ñ ãðàôîì K , ãäå â êà÷åñòâå K âîçüì¼ìîáðàç π(L) îñîáîãî ñëîÿ L ïðè ïðîåêöèè π .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
